Felix Klein, el programa Erlangen, fractales, Mandelbrot y los métodos numéricos en el plano complejo

La geometría en el s.XIX recorrió un “extraño” camino. De la geometría euclidiana, aparentemente la geometría del mundo que nos rodea, bien fundamentada axiomáticamente pero con la “lacra” del axioma de las paralelas, ¿es un teorema? ¿debe ser un axioma? ¿podemos definir geometrías que no lo cumplan? Gauss, la “zorra” de las matemáticas, que borraba con su “rabo” las huellas de su pensamiento, aunque gracias a su diario personal, recuperado más tarde, aunque de forma incompleta, sabemos que demostró que era posible una geometría con una variante de dicho axioma, válida para la esfera (durante muchos años, Gauss se dedicó a la geodesia). Otros la descubrieron más tarde, la geometría no euclídea, junto a otras variantes, nombres como Lobachevsky o Bolyai.

¿Pero qué hace que una teoría matemática sea o describa una geometría? El programa de Erlangen de Klein nos ofrece una respuesta. Un conjunto de objetos invariante ante la acción de un grupo ES una geometría, por lo que se denominan a las acciones del grupo como transformaciones “geométricas.” La teoría de grupos, que Galois elevó a la gloria del álgebra, era elevada por Klein al cielo de la geometría. Ya en el s.XX, la teoría de semigrupos la elevaría al sumum del análisis. La teoría de grupos como metamatemática. ¡Qué pensaría Klein de los fractales!

El libro “Indra’s Pearls: The Vision of Felix Klein,” de David Mumford, Caroline Series y David Wright, Cambridge University Press, 2002 , merece, en este sentido, una lectura cuidada y un disfrute gráfico con sus impresionantes figuras (como la mayoría que adornan los libros sobre fractales, de gran belleza y profundidad geométrica). La página web que los autores del libro han preparado, nos ofrece gratuitamente más perlas. En este libro, los matemáticos disfrutarán de los grupos de Schottky, un tipo de transformación de Möbius, también llamados grupos kleinianos.

La gran belleza “matemáticas” de los fractales es que normalmente están asociados a los números complejos y estos son la manera “ideal” de representar los números. De ello ya se dió cuenta Cardano, que codescubrió cómo reolver ecuaciones polinómicas de grados 3 y 4 de forma general. Sin embargo, su fórmula tenía un grave problema. A veces “no era aplicable”. Un ejemplo sencillo es el polinomio , cuya raíz entera igual a 4 no es fácilmente “visible” en el resultado obtenido utilizando la fórmula del propio Cardano, en concreto, la fórmula siguiente

. Los que conocen los números complejos sabrán que ambos resultados son equivalentes. A los que no, les recomiendo “aprenderlo” (merece la pena, “El Camino a la Realidad,” Roger Penrose, es un buen punto de partida para entender cómo los números complejos son “el lenguaje numérico” de la realidad). Cardano se vio “obligado” a “crear” (o quizás “descubrir”) los números complejos, que hasta Euler y Gauss, siglos más tarde, no ganaron el estatus que tienen hoy en día (que Penrose “disfruta” en su libro, un libro “disfrutón” donde los haya, aunqe pesa “demasiado” como lectura playera del verano).

Por cierto, yo leí “The Road to Reality” de Penrose al poco de salir en Gran Bretaña (encargé a un amigo que viajaba a Escocia que se hiciera con una copia para mí). “Supersesgado” hacia sus “twistors,” yo, que no soy “nadie”, hubiera escrito el mismo libro con un enfoque completamente diferente, sin embargo, he de reconocer que como “La nueva mente del emperador”, engancha, … “sesga” al lego… pero engancho incluso al técnico. Ya ha pasado a la la historia de la divulgación científica, no por lo que quiere Penrose, “reivindicar los twistors,” sino por que varias generaciones de jóvenes se formarán como físicos y matemáticos gracias a él. Amén, perdón, “que así sea,” en nombre de Penrose, digno hijo de su padre.



3 Comentarios

  1. Sobre Penrose. Quiero leer “El camino a la realidad” este verano. De todas formas, mi comentario va por el otro libro, “La nueva mente del emperador”, y sus dos secuelas “Las sombras de la mente” y “Lo grande, lo pequeño y la mente humana”.

    Si mal no recuerdo,y lo expreso correctamente, una de las tesis que maneja Penrose es que la inteligencia humana es no computable, y que la consciencia residiría en las estructuras de microtúbulos específicas de ciertas neuronas del cerebro del ser humano, siendo explicables unicamente mediante una “posible” teoría de gravitación cuántica ( ó algo así, cercano, cómo no a su teoría de twistors).

    Estas afirmaciones crearon cierta ( bueno, muuuucha) controversia en la comunidad de científicos de la Inteligencia Artificial. De hecho, aún recuerdo a algunos de mis profesores de dichas materias que bramaban, literalmente, contra un autor, Penrose, del que decían que era muy buen físico, pero que de esto de la IA, no tenía ni idea. En realidad, no fueron críticas tan inofensivas cuando la revista señera del área, “Artificial Intelligence”, dedicó uno ó dos números a rebatir las afirmaciones de Penrose. Posteriormente, y ya con más sentido del humor se nos dijo que, en realidad, Penrose es un tocapelotas, que tuviera razón ó no, provocó algunas reacciones positivas en el campo de la IA.

    Una de las críticas más duras, le vino sin embargo del filósofo Daniel Dennett, que afirmó en “La peligrosa idea de Darwin”, que Penrose cae en un razonamiento circular en sus tres libros sobre este tema, al afirmar que la IA es imposible, por el hecho de que nuestra inteligencia resida en una parte de las neuronas que harían la parte no computable de la inteligencia, y que dicha no-computabilidad quedaría demostrada con la existencia de una teoría de la gravitación cuántica ¡Que aún no existe!….

    La gran duda que creo aún persiste, es la de que parte de las neuronas es la encargada de los procesos de consciencia, sean ó no estos computables. ¿Sabes si se han realizado avances en el estudio de las nanoestructuras tubulares de las neuronas que suponía Penrose, sería donde residiría la parte no computable de la inteligencia humana?. ¿ Cual es el mecanismo físico de la consciencia inteligente del ser humano?.

    Saludos, gracias de antemano y perdón si alguno de los términos empleados es inexacto ó algún nombre incorrecto.

  2. Juanjo, yo he leído 3 de los 4 libros de Penrose que mencionas (no he leído “Lo grande, lo pequeño y la mente humana”). No creo que Penrose “el tocapelotas” estuviera exactamente de acuerdo con tu resumen, pero bueno.

    Sí, él piensa que efectos cuánticos (no locales) son los responsables de la inteligencia. Desde el punto de vista algoritmo, son computables, pero no de forma eficiente, que no es exactamente lo mismo. La gravedad cuántica se espera que sea una teoría que explique los efectos no locales (que violan la relatividad) en mecánica cuántica (no relativista). De ahí la conexión.

    Los artículos “The ‘hard problem’ and the quantum physicists” Part 1 and Part 2, sobre conciencia y mecánica cuántica, y “Toward physics of the mind: Concepts, emotions, consciousness, and symbols” enlace, pueden ser de tu interés.

    “¿De que parte de las neuronas es la encargada de los procesos de consciencia?” Que yo sepa no se ha avanzado en este sentido. Se supone que las neuronas se comunican con flujos de iones a través de conexiones sinápticas en sus dendritas, un proceso estadístico clásico, no cuántico. De todas formas, los artículos “Neurobiology of consciousness: an overview” enlace, algo antiguo, y “Consciousness: Concepts, Neurobiology, Terminology of Impairments, Theoretical Models and Philosophical Background,” enlace, algo más moderno, serán de tu interés.

    “¿Avances en el estudio de las nanoestructuras tubulares de las neuronas?” Sí, hay importantes avances en relación a los microtúbulos que forman el citoesqueleto celular de todas las células, incluidas las neuronas. Hay evidencia de que estos microtúbulos pueden interconectar dendritas de neuronas, y bajo ciertas circunstancias, mediar el proceso de canalización de iones que las unen (no hay pruebas de que siempre, pero sí a veces, deban estar canalizados de esta forma). Pero hasta donde yo sé este proceso tiene una interpretación clásica bastante coherente y no es un proceso cuántico. Recuerda que son microtúbulos y que no tienen nada que ver con los “famoso” nanotubos de carbono. Que yo sepa, ninguno de estos avances está relacionado con biocomputación y/o consciencia.

    “¿Cual es el mecanismo físico de la consciencia inteligente del ser humano?” Que yo sepa no ha habido avances en este sentido. La respuesta oficial es sencilla, la gran complejidad en la conectividad de las neuronas genera por “emergencia” la consciencia. No la entendemos porque en la actualidad la física no lineal de los procesos de “emergencia” de complejidad no son comprendidos. Periódicamente se celebran una serie de conferencias “‘Toward a Science of Consciousness” que empezaron en 1994, todavía el campo está muy verde pero buscando en Google encontrarás mucha información.

  3. Muchas gracias por la información y, como siempre, también gracias por los enlaces ( Tengo refrencias de uno de los autores, pero esos artículos concretamente, no los conocía).

    Espero disfrutar de la lectura de “El camino a la realidad” de la misma forma que en su momento lo hice de los otros tres libros de Penrose.

    Saludos.

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Por Francisco R. Villatoro
Publicado el ⌚ 7 julio, 2008
Categoría(s): ✓ Ciencia • Informática • Matemáticas • Personajes
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