La belleza de la teoría de grupos en física de partículas (o más sobre Garrett Lisi y E8)

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Murray Gell-Mann (1929-) dominó el campo de las partículas elementales en los 1960s con sus ideas sobre cómo sistematizar (cual Mendeléyev) la inmensa cantidad de datos experimentales sobre partículas “elementales” que se obtuvieron en dicha década (recibió el Nobel de Física en 1969). Utilizó como herramienta la teoría de grupos continuos (de Lie) compactos. Su introducción en 1964 de los quarks como “entes matemáticos,” independientemente también lo hizo George Zweig, útiles para sistematizar los hadrones, los bariones y los mesones conocidos en aquella época (hoy sabemos que estaban constituidos por los tres quarks más ligeros, arriba, abajo y extraño). Gell-Mann nunca pensó que fueran partículas de verdad. Si lo fueran, como tienen carga eléctrica no entera deberían haber sido fácilmente “vistos”. Por supuesto, tras los experimentos en el SLAC de Stanford en 1969 y su interpretación por parte de Richard Feynman y James Bjorken, entre otros, en términos de “subpartículas” elementales (partones, más tarde llamados quarks), Gell-Mann se convirtió en un gran defensor de la naturaleza “real” pero “oculta” de los quarks. Técnicamente, están confinados en los hadrones de tal forma de que no son accedibles experimentalmente. Hoy en día los físicos experimentales “ven quarks” por doquier en sus diagramas de bloques tipo LEGO (“mira un quark por aquí, mira, otro por allá).

Leí un artículo, hace ya bastantes años (ahora soy incapaz de encontrarlo en el “dios” Google), en el que Gell-Mann afirmaba que el mayor reto de la física teórica era descubrir cómo obtener la versión cuántica de (“cuantizar”) una teoría de campos basada en grupos de Lie no compactos. Problemas como la aparición de probabilidades negativas, es decir, la ausencia de unitariedad (por ejemplo, para el grupo SL(2,C), ver J.P. Hsu, M.D. Xin, “Incompatibility of unitarity and gauge symmetry in the SL(2,C) Yang-Mills field theory,” Phys. Rev. D 24: 471-474, 1981, o J.P. Hsu, T.Y. Shi, “Unitarity and invariant Lagrangians under Yang-Mills-Weyl transformations,” Il Nuovo Cimento A, 79: 321-332, 1984), o la no renormalizabilidad (entre otras dificultades técnicas) parecen extremadamente difíciles de resolver.

¿Por qué preocuparnos por las teorías de campos basadas en grupos no compactos? Este tipo de grupos aparecen siempre que se trata de “cuantizar” la gravedad. Un uso reciente es la “teoría simple para todo” de Garrett Lisi basada en el grupo excepcional E8 de la que ya hemos hablado. La propuesta de Lisi es el uso de la técnicas de cuantización BRST (Becchi-Rouet-Stora-Tyutin). Aplicada a la cuantización de teorías basadas en grupos compactos no parece muy complicada. Un ejemplo sencillo e ilustrativo en el caso abeliano lo tenéis en D. R. Bes and O. Civitarese, “Illustrations of the Becchi-Rouet-Stora-Tyutin invariance by means of simple toy models,” Am. J. Phys. 70: 548-555, 2002 . ¿Qué pasa en el caso no compacto? ¿Qué dificultades surgen? ¿Es prometedora en dicho caso esta técnica? La verdad no lo sé. El único artículo que parece agarrar el toro por los cuernos es el de A.E. Margolin, V.I. Strazhev, “Yang-Mills field quantization with noncompact gauge group,” Modern Physics Letters A, 7: 2747-2752, 1992, pero sólo ha sido citado 1 vez en el ISI WOS, lo que es “mala señal”.

¿Ha habido avances recientes en la cuantización BRST de teorías de campos basadas en grupos no compactos? La verdad es que no había estado al loro de este campo en los últimos años y no lo sé. Tendré que estar más al loro, es un campo que promete recibir mucha atención en los próximos años.


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