Cómo mejorar tu técnica a la hora de apostar a cara o cruz

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Ricardo Arjona: “A cara o cruz” (ojo y oído a la letra).

El lanzamiento de una moneda para apostar a cara o cruz lo hemos hecho todos alguna vez. ¿Es aleatorio el resultado? ¿TIenen la misma probabilidad ambos resultados? ¿Cómo apostar para maximimizar las posibilidades de ganar, aunque sea sólo un poco?

dibujo20081123kellerSi puedes elegir, elige cara o cruz, lanza la moneda con tu apuesta para arriba y recoge la moneda en el aire para ver el resultado, antes de que caiga al suelo. En dicho caso, el genial Keller demostró que la probabilidad de que salga tu apuesta es de 0.51 (algo mayor que 0.5) en su famoso artículo Joseph B. Keller, “The Probability of Heads,” The American Mathematical Monthly, 93: 191-197, 1986. La cara de la moneda que está inicialmente arriba es más probable que salga al final (rosa en la figura) que la otra (blanco en la figura) si recogemos la moneda en el aire antes de que empiece a rebotar en el suelo (como hace el árbitro en los partidos de fútbol).

La figura muestra el resultado en función de la velocidad lineal y la velocidad angular que la mano le da a la moneda en el momento justo del lanzamiento (condición inicial). La figura muestra que el movimiento en el aire de la moneda, que es determinista, no es caótico determinista, no hay efecto mariposa, dependencia fractal con respecto a las condiciones iniciales (los exponentes de Laypunov durante el vuelo son siempre negativos). La figura muestra que la posible aleatoriedad del lanzamiento de la moneda se tiene que encontrar en los rebotes en el suelo. Así lo han estudiado J. Strzałko, J. Grabski, A. Stefański, P. Perlikowski and T. Kapitaniak, “Dynamics of coin tossing is predictable,” Physics Reports, 469: 59-92, december 2008 .

Si no podéis evitar la condición de que la moneda caiga en el suelo. Lo más recomendable es que el suelo sea tal que evite en lo posible un gran número de rebotes de la moneda. Por ejemplo, el césped de un campo de fútbol, la arena de la playa o la tierra de un parque son ideales para sesgar el resultado de la moneda. Lo peor, un suelo rígido que provoque gran número de rebotes de la moneda. O lo mejor, si buscáis la justicia, ya que en ese caso el resultado es lo más “justo” posible.

dibujo20081123basinofattractionLa posible dependencia sensible con las condiciones iniciales de la moneda is introducida por los choques (rebotes) con el suelo, en los que la moneda pueda rotar alrededor de cualquiera de sus ejes (conduciendo a que el mayor exponente de Lyapunov sea positivo, igual a 0.024). De hecho la aplicación que transforma el punto de contacto en el borde de la moneda en un choque con el punto de contacto en el siguiente choque es caótica. Este comportamiento caótico se transfiere al de la moneda cuando el número de choques tiende a infinito. Sin embargo, el hecho de que los choques con el suelo sean inelásticos (hay pérdida de energía) limita el número de choques y hace que el resultado (cara o cruz) en función de las condición inicial de la moneda no sea caótico determinista: cerca de cualquier condición inicial siempre hay un entorno pequeño de condiciones iniciales que conducen al mismo resultado. Es decir, la moneda no es aleatoria en la práctica. Sin embargo, como dicho entorno es muy pequeño para la mayoría de las condiciones iniciales, la moneda “aparenta” ser bastante aleatoria.

Las figuras de la derecha muestran la cuenca de atracción de los resultados cara (negro) o cruz (blanco) si la moneda inicialmente mostraba cara tras 2 (arriba) y 5 (abajo) rebotes en el suelo. El resultado de abajo es “aparentemente” aleatorio, pero una ampliación de cualquier región muestra que la frontera entre ambas cuencas de atracción es suave y no tiene estructura fractal, con el el correspondiente atractor no es extraño y no hay comportamiento caótico.

Para los físicos, ingenieros industriales y demás interesados en los detalles matemáticos, un apunte breve. El artículo se lee fácil. El modelo es sencillo (salvo la parte aerodinámica, un poquito más técnica). Los resultados se han obtenido con un modelo mecánico en 3D que utiliza los parámetros de Euler (cuaterniones, lo normal en animación por ordenador de gráficos 3D). El modelo incluye fuerzas de fricción aerodinámicas (en ambas caras y en el borde de la moneda). Los parámetros de restitución en los choques con el suelo se han estimado en una serie de experimentos. En cualquier caso, los resultados del modelo 3D son similares (casi indistinguibles) a un modelo 2D (el de Keller era de 1D). Además, los resultados muestran que los efectos aerodinámicos son despreciables (las cuencias de atracción cambian muy poco, cualitativamente son muy similares). Finalmente, os comentaré que los autores han simulado su modelo utilizando Mathematica. En resumen, el artículo se lee fácil y, si así lo deseáis, se repite fácil.

Por cierto, el artículo a algunos os puede parecer una tontería, pero se ha publicado en Physics Reports, cuyo índice de impacto es 20.263 en 2007, lo que no es moco de pavo.


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