Cómo enseñar a los adolescentes a derivar sin utilizar límites

Newton y Leibniz derivaban funciones sin utilizar el concepto de límite. Concepto que hasta Cauchy no se popularizó. Sin embargo, hoy en día pretendemos que los adolescentes aprendan a derivar tras saber calcular límites. Les pedimos que ricen el rizo y aprendan un concepto “difícil” de principios del s. XIX para dominar un concepto “fácil” de finales del s. XVII. Les complicamos la vida. Más tarde el alumno se da cuenta que derivar es muy fácil. Aprenderse una pocas reglas sencillas y aplicarlas directamente. Y el alumno se pregunta ¿para qué me habrán enseñado el concepto de límite? Parece fácil la respuesta, para complicarle la vida al alumno. Ni más ni menos. ¿Se puede enseñar a calcular derivadas directamente? Por supuesto que sí, como ya se hizo durante más de un siglo. Nos lo recuerda, porque a veces es necesario que nos recuerden lo obvio, Michael Livshits, “You could simplify calculus,” ArXiv preprint, Submitted on 22 May 2009 .

Un profesor (P) le pide a un alumno (A) que calcule la derivada de x^4 en el punto x = a. El estudiante, inteligente donde los haya, escribe el siguiente cociente de diferencias frac{x^4 - a^4}{x - a}, tras ello, factoriza el numerador y lo reescribe como frac{(x - a) (x + a) (x^2 + a^2)}{x - a} , cancela los x - a, y obtiene como resultado (x + a) (x^2 + a^2), donde substituye x = a para obtener finalmente 4 a^3, que es la respuseta correcta, por supuesto. Al profesor no le gusta esta solución y discute con su alumno como sigue:

P: Tu respuesta es correcta, pero ¿por qué no has utilizado la definición de la derivada como un límite? Estas estudiando un curso de cálculo, debes hacerlo como hay que hacerlo.

A: ¿Realmente hay que utilizar límites? Me parece una pérdida de tiempo, es mucho más fácil simplificar y substituir x = a. Me parece más elegante. it looks like it works fine.

P: ¿Pero entiendes por qué funciona?

A: Hmmm, veamos. Creo que funciona porque el límite de (x + a) (x^2 + a^2) para x rightarrow a es 4 a^3, por tanto, en lugar de calcular el límite podemos introducir directamente x = a en (x + a) (x^2 + a^2).

P: ¿Cómo se llaman las funciones a las que les puede subsituir x = a directamente en lugar de calculando su límite en a?

A: ¿Función continua en a? Sí, ya me acuerdo.

P: ¡Correcto! Debes saber que los matemáticos diferenciaban polionomios, raíces cuadradas, y funciones trigonométricas en el s. XVII, mucho antes de que se inventaran los conceptos de función continua y los límites en el s. XIX. ¿Por qué no tratas de derivar a tu manera las siguientes funciones: sqrt[3]{x}, y frac{x^2}{3 + x^3} ?

A: Vale, lo haré. Creo que seré capaz de lograrlo.

Estimado lector, si eres aficionado a las matemáticas, ¿te atreves a lograrlo?

Te ayudaré un poco. ¿Cómo podemos calcular la derivada de sqrt{x}. Podemos escribir el cociente de diferencias frac{sqrt{x} - sqrt{a}}{x - a} y tratar de hacer que esta expresión tenga sentido bajo la sustitución x = a. ¿Cómo lograrlo? Podemos reescribir el denominador como (sqrt{x})^2 - (sqrt{a})^2 y factorizarlo como (sqrt{x} - sqrt{a}) ( sqrt{x} + sqrt{a}), de manera que frac{sqrt{x} - sqrt{a}}{x-a}=frac{sqrt{x}-sqrt{a}}{(sqrt{x}-sqrt{a})(sqrt{x}+sqrt{a})}=frac{1}{sqrt{x}+sqrt{a}}, expresión que tiene sentido al hacer x=a, resultando en la respuesta correcta (sqrt{x})' = 1 / (2 sqrt{x}).

Lo dicho, estimado lector, te atreves a emular esta proeza con sqrt[3]{x}, y frac{x^2}{3 + x^3}.

2 Comentarios

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EdwinEdwin

Soy profesor de enseñanza secundaria estoy completamente de acuerdo con este enfoque de la enseñanza de la derivada sin la aplicación “mecanica-sistematica” de los limites, y no solo de los limites tenemos tantos otros temas que no se enfocan necesariamente desde los puntos de vista y secuencia de contenidos como lo hicieron los precursores, que es obvio merecen mucho respeto, pero estarían éllos, digo yo, muy contentos por que se descubren (aplican)nuevos caminos que no le quitan el encanto y la presició n de la matematica además que estoy seguro haran el tema mucho más accesible para nuestros estudiantes que es el centro de nue4stro trabajo PERM ITIR Y HACER POSIBLE QUE MUCHOS MÁS ENTREN EN ESTE MUNDO CON LAS FACILIDADES QUE LES PODAMOS BRINDAR.

anpa

No estoy de acuerdo:

1º Se empieza el tema de derivadas dando una definición de derivada y se le explica al alumno el porqué del límite tanto de forma analítica cómo de forma gráfica.

2º Al empezar a derivar, las primeras derivadas sencillas se hacen con la definición, pero el resto se hacen de forma mecánica con la tabla de derivadas delante, ya que tal y cómo está el sistema educativo, lo largo que es el temario de 1º de bachillerato, y lo mal que vienen los alumnos, es imposible poder dedicar más tiempo.

3º Dices que no entiendes porqué se utiliza el concepto de límite que el alumno no va a entender y en cambio crees que el alumno va a pensar en el proceso que has explicado. Pocos alumnos de 1º de bachillerato has visto tú.

4º El proceso que has puesto tú es…la definición de derivada cuando x tiende al punto a. Es decir…estás aplicando el límite!!!

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