No se sabe si todos los números naturales están en Pi (o sobre los números anormales)

Todos los números están en Pi,” Microsiervos.com, nos recuerda que todos los números naturales estarían contenidos en la expresión decimal del número Pi, que es un número irracional y trascendente, si fuera un número normal. No se sabe si Pi es un número normal. Más aún, si fuera cierto, todo número natural estaría repetido en la expresión decimal de Pi infinitas veces.

Un número irracional es normal en base b si todos los números naturales escritos en base b aparecen infinitas veces en su represenatación (con infinitos dígitos) en base b (los matemáticos preferirán una definición más técnica). Un número irracional es (absolutamente) normal si lo es en todas las posibles bases b. Borel demostró en 1909 (la idea original es de 1898) que todo número irracional en [0,1] (y por ende, todo número real irracional) es normal con probabilidad 1, es decir, “lo normal es que un número irracional sea normal.” Turing también lo demostró pero no lo publicó (se publicó en 1992). El primer ejemplo explícito de número normal fue introducido por Sierpinski en 1916. Obviamente, lo normal es que un número normal no sea computable (como le ocurre a los números reales). Que yo sepa el único número normal que se haya demostrado que no es computable es la constante de Chaitin.

¿Es Pi un número normal en alguna base? No se sabe. Mucha gente cree que sí, pero hay que demostrarlo. ¿Por qué? Porque a los matemáticos les gusta demostrar estas cosas. Sí, pero no. Se ha demostrado que existen números irracionales (absolutamente) anormales. El primero fue encontrado por Greg Martin, “Absolutely Abnormal Numbers,” The American Mathematical Monthly 108: 746-754, 2001 (ArXiv preprint).

¿Podría ser Pi un número anormal? Sí, hasta que no se demuestre lo contrario (que es normal). Los interesados en más información sobre constantes famosas que pueden o no ser normales les recomiendo el artículo de David H. Bailey and Richard E. Crandall, “On the Random Character of Fundamental Constant Expansions,” Experimental Mathematics 10: 175-190, 2001. Los interesados en la historia de los número normales durante el s. XX disfrutarán de Glyn Harman, “One hundred years of normal numbers,” que se puede leer gracias Google Books. También disfrutaréis del breve artículo de Davar Khoshnevisan “Normal Numbers are Normal,” 2006.

Dibujo20090705_Generalized_by_Entire_Functions_of_Champernowne_and_Copeland_Erdos_normal_numbers

Uno de los números normales (en base 10) más famosos es el de David Champernowne (1933), buen amigo de Alan Turing, que ves arriba (que “Champ” publicó cuando era estudiante de matemáticas, antes de acabar la carrera). Obviamente, demostrar que es un número normal es trivial en base 10, por construcción, pero ¿es normal en otras bases? Que yo sepa, nadie lo sabe aún, por cierto, el número se ha demostrado que es irracional transcendente. El genial Erdös, con Copeland, encontró un número normal (en base 10, no se ha demostrado que sea absolutamente normal) casi maravilloso, que también veis arriba (sus dígitos son los de los números primos). En trabajos posteriores, Erdös demostró que las dos construcciones de más arriba (las dos primeras líneas de la figura) con una función f que sea un polinomio también conduce a un número normal (en base 10). Recientemente se ha demostrado cómo generalizar dicha demostración cuando f es una función entera (de orden logarítmico), en Manfred G. Madritsch, Jörg M. Thuswaldner, Robert F. Tichy, “Normality of numbers generated by the values of entire functions,” Journal of Number Theory 128: 1127-1145, May 2008 (copia gratis).

¿Qué pasaría si f fuera un algoritmo? En dicho caso, Pi sería un número normal, ya que podemos construir un algoritmo que calcule el n-ésimo dígito de su desarrollo decimal (en cualquier base). No parece fácil seguir esta línea de razonamiento pero a mí se me antoja prometedora. Debe ser que no trabajo en teoría de números.

1 Comentario

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javcasta

Mi gozo en un pozo. Bueno, mis simpatias hacia PI, no han menguado, ya que contiene mi nº de tlf, mi fecha de nacimiento y mi dni, tendré que comprobar si tiene mi nº de la SS . Lo “fastidioso” de la computación, es que no vale para demostrar nada en cuanto sale el concepto de infinito (infinitos decimales de PI). Es decir que aunque tuviera un superordenador cuántico, ni por fuerza bruta de cálculo llegaria a demostrar nada … A ver si se ilumina algún matemático.

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