Dualidad, ergodicidad y caos en sistemas hamiltonianos infinitamente perturbados

El caos determinista en sistemas hamiltonianos (que conservan la energía) se llama estocasticidad y es muy diferente al caos en sistemas disipativos (como el atractor de Lorenz). Marco Frasca nos presenta un buen ejemplo de esta diferencia. El teorema KAM garantiza que una pequeña perturbación de un sistema hamiltoniano lo modifica muy ligeramente. ¿Qué pasa cuando la perturbación es infinitamente grande? Uno esperaría que el sistema se volviera ergódico y la estocasticidad se mantuviera, sin embargo, pasa todo lo contrario, el sistema se recupera y se comporta como si hubiera sido perturbado ligeramente. Es algo que parece paradójico, pero es una de las claves de la diferencia entre el caos en sistemas disipativos y en sistemas hamiltonianos. La demostración de Frasca utiliza técnicas de dualidad en teoría de perturbaciones, ahora muy de moda en teoría de cuerdas, pero es sencilla (cualquiera que haya estudiado mecánica analítica puede comprenderla). Marco nos lo resume en su blog ”KAM theorem and ergodicity,” The Gauge Connection, June 25th, 2009. El artículo técnico es de fácil lectura para cualquier físico o matemático: Marco Frasca, “Dual Lindstedt series and KAM theorem,” ArXiv, 29 May 2009, aceptado para publicación en el Journal of Mathematical Physics, 9 Sep 2009 ["KAM tori reforming to be published," The Gauge Connection, September 9th, 2009].

Las trayectorias “naturales” de un sistema hamiltoniano integrable son cuasiperiódicas, se descomponen en un conjunto de trayectorias periódicas (se suele decir que el sistema se mueve en toros, es decir, “donuts” multidimensionales). Una perturbación pequeña (extremadamente pequeña en el teorema original de Kolmogorov, probado por Arnold y Moser, llamado teorema KAM) preserva estas trayectorias cuasiperiódicas (preserva los toros). Conforme la perturbación crece, los toros empiezan a destruirse y para una perturbación (suficientemente) grande todos los toros se destruyen y el sistema dinámico recorre gran parte del espacio de fases a su alcance, lo que técnicamente se denomina ergodicidad o, si lo prefieres, caos hamiltoniano.

¿Qué pasa cuando la perturbación no es grande sino infinitamente grande? Es decir, la inversa de la escala de la perturbación es infinitamente pequeña. Uno esperaría que la ergodicidad y el caos completamente desarrollado se mantuviera en este caso. Sin embargo, la sorpresa descubierta por Marco es que ocurre completamente lo contrario. Ha demostrado un teorema KAM dual por el cuál una perturbación infinitamente grande provoca la reaparición de los toros y el retorno a un movimiento cuasiperiódico no caótico. La ergodicidad para perturbaciones grandes desaparece para perturbaciones infinitamente grandes. Si no lo veo, no lo creo.

¿Entonces por qué la mayoría de los sistemas hamiltonianos (p.ej. en mecánica celeste) parecen comportarse de forma ergódica? La respuesta es sencilla, porque están compuestos por un gran número de partículas (o componentes). Su ergodicidad la explica la mecánica estadística y no la presencia de perturbaciones debido a sus interacciones mutuas.

¿Cuál es la importancia de este resultado? La mecánica cuántica no relativista está descrita por un sistema hamiltoniano que cumple la teorema KAM. Según el nuevo teorema KAM dual, la transición entre lo cuántico y lo clásico no hay que buscarla en una constante de Planck infinitamente pequeña, sino en el número de objetos (estados) cuánticos. Cuando el número de constituyentes del sistema cuántico es suficientemente grande, se comportará como un sistema clásico.

Es curioso lo lejos que nos lleva un resultado sencillo en mecánica clásica cuando lo contextualizamos en el marco de la mecánica cuántica. Si no me equivoco, el trabajo de Marco Frasca dará bastante que hablar.

5 Comentarios

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SófolesSófoles

El argumento del “nuevo” límite clásico no me quedó claro. El número de constituyentes puede verse de dos formas,

i) En física semiclásica el límite hbar -> 0, quiere decir que la razón entre hbar y la acción caracteristica del sistema tiende a cero. Por ejemplo, en el caso del pozo doble descrito por el hamiltoniano, H = p^2/(2 m) – 1/4 m w^2 q^2 + m^2 w^4 q^4/(64 Eb), es posible asociar a Eb con la acción característica del sistema, de manera que el límite semiclásico de este sistema estará definido por el límite Eb -> infty. Por otro lado, Eb también representa, grosso modo, el doble del número de estados debajo de la barrera, entre más grande Eb “más constituyentes”. Lo anterior implica que el límite semiclásico está definido por el límite, números de estados -> infty. Esta línea de razonamiento es standard en física semiclásica.

ii) Todas las grandes moléculas (aminoácidos, polímeros, etc) son tratados usando física clásica por varias razones, algunas ténicas y otras físicas. Entre las físicas está el hecho de que su gran número de constituyentes las hace llegar, de manera efectiva, al mundo macro. Sin embargo, el número de constituyentes no siempre es un obstáculo para la expresión cuántica de algunos fenómenos, los condesados de Bose-Einstein son un claro ejemplo.

Aunque sin lugar a dudas el paper parece muy interesante, aún no veo la relación directa entre éste y una nueva visión del límite clásico. Alguién me lo puede aclarar?

mfrascamfrasca

Hola Sófoles,

Sorry but I have to write this in English as my Spanish is too bad. The question is quite simple: If you have non-ergodic motion in most part of parameter space for a classical system, the range where such an ergodic motion may happen is really small. This makes looking at classical mechanics to understand ergodicity not so useful. Indeed, Boltzmann claimed that, to overcome Loschmidt paradox, a hypothesis must be added called “molecular chaos”, a statistical hypothesis that classical mechanics cannot explain unless motion is chaotic.

In quantum mechanics a theorem exists, due to Elliot Lieb and Barry Simon, that shows that a quantum system with a very large number of particles is well-described by a Thomas-Fermi approximation that is a semiclassical one. Of course, there are situations where such an approximation fails and this is where large scale quantum coherence is observed, much like phase transitions appear in statistical mechanics. An effect of the thermodynamic limit on unitary evolution rather than density matrix.

Best,

Marco

emulenewsemulenews

Thanks, Marco, for your answer to Sófoles. Please, let me traslate it to Spanish.

“El problema es bastante sencillo: si tienes un movimiento no ergódico en la mayor parte del espacio de parámetros de un sistema clásico, la región donde puede observarse movimiento ergódico es muy pequeña. Por ello, tratar de utilizar la mecánica clásica para entender la ergodicidad no es útil. De hecho, ya Boltzmann afirmó que para resolver la paradoja de Loschmidt paradox se debe utilizar la hipótesis del “caos molecular,” es decir, la hipótesis estadística de que la mecánica clásica no puede explicar la paradoja si el movimiento no es caótico.

En mecánica cuántica existe un teorema de Elliot Lieb y Barry Simon que afirma que un sistema cuántica con un número enorme de partículas se describen bien por la aproximación semiclásica de Thomas-Fermi. Por supuesto, hay situaciones en las que dicha aproximación falla, los sistemas en los que se observa coherencia cuántica a gran escala; algo parecido ocurre en las transiciones de fase que aparecen en mecánica estadística. Ello es debido al límite termodinámico de la evolución unitaria en lugar de el de la matriz densidad.”

El teorema está publicado en Elliott H. Lieb, Barry Simon, “Thomas-Fermi Theory Revisited,” Phys. Rev. Lett. 31: 681-683 (1973).

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