Dinámica no lineal, biestabilidad y oscilaciones en ciclos límites en el interruptor genético (toggle switch)

La Biología Sintética se define como “una aproximación rigurosa a la Biología desde la Ingeniería basada en la aplicación del diseño de sistemas a procesos biológicos complejos” [fuente]. Su objetivo fundamental es desarrollar una biblioteca de BioBricks (bioladrillos), “unidades modulares básicas de ADN que realizan una función simple. Un BioBrick es un fragmento de ADN que codifica el código genético de un elemento funcional conocido y que puede ser empalmado con cualquier otro BioBrick para formar un módulo complejo.” Uno de los biobricks más famosos es el interruptor genético (genetic toggle switch) que se utiliza para controlar el apagado/encendido de la expresión de un gen. Desde un punto de vista matemático, un interruptor biológico es un sistema biológico que presenta una biestabilidad, que puede estar en dos estados posibles. Este sistema permite la generación de comportamiento oscilatorio autosostenido (un ciclo límite). Su análisis dinámico y numérico se presenta en bastante buen detalle en el artículo técnico de Didier Gonze, “Coupling oscillations and switches in genetic networks,” Biosystems, Article in Press, 2009, que desde aquí recomiendo no sólo a los aficionados a la biología sino también a los aficionados a la matemática.

He de confesar que recientemente yo mismo analicé el comportamiento matemático de este sistema biológico y descubrí por mí mismo muchos de los resultados que aparecen revisados en el artículo de Didier Gonze. Una revisión bibliográfica a posteriori me permitió comprender que lo que yo creía descubriemientos novedosos en realidad eran conocidos ya hace una década. Coronar una montaña, aunque uno no sea el primero en lograrlo, siempre es todo un logro. Contemplar el camino recorrido con los ojos de otros siempre nos muestra detalles que estuvieron a nuestro alcance pero que omitimos por distracción o ignorancia.

Dibujo20091025_toggle_switch_simplified_mathematical_model_and_genetic_circuitEl interruptor o toggle switch está compuesto de dos genes que se reprimen mutuamente, es decir, el gen X expresa una proteína PrX que reprime al gen Y y viceversa, el gen Y expresa a PrY que reprime a X, y fue introducido por Timothy S. Gardner, Charles R. Cantor, James J. Collins, “Construction of a genetic toggle switch in Escherichia coli,” Nature 403: 339-342, 20 January 2000 [en la figura de la izquierda se omite la representación de las proteínas]. Es habitual modelar matemáticamente la inhibición (represión) mediante una ley de Hill con un exponente de cooperatividad n. La formulación matemática de la izquierda está adimensionalizada.

Dibujo20091025_toggle_switch_phase_plane_three_fixed_points_solutions_in_time_and_histeresis

La figura de arriba ilustra la dinámica del interruptor cuando los parámetros permiten la biestabilidad, cuando el parámetro a1 se encuentra en el intervalo entre las dos bifurcaciones de punto de silla (SN1=1.4 y SN2=6.8) que muestra la figura superior izquierda. En dicho caso, la intersección de las dos nullclinas (funciones no lineales del miembro derecho del modelo matemático) presenta tres puntos fijos, dos estables y uno inestable central (figura abajo izquierda). Las trayectorias en tiempo típicas del sistema se muestran en la figura superior derecha. Dependiendo de las condiciones iniciales el sistema puede converger a uno de los dos posibles estados estacionarios estables. Es importante recordar que cuando a1>SN2 o a1<SN1 el sistema se comporta de forma monoestable (sólo hay un punto estacionario estable), no ilustrado en la figura de arriba. El comportamiento oscilatorio es debido a la histéresis del sistema que se muestra en la figura inferior derecha y que conduce a oscilaciones autosostenidos de tipo ciclo límite (siguiendo las flechas en la figura). La variación del parámetro a1 requiere que se acople al gen X una proteína que active su expresión, normalmente mediante una ley de Michaelis-Menten. Esta proteína P1 se suele denominar represilador (no mostrada en el modelo matemático).

Dibujo20091025_toggle_switch_coupled_with_reprisellator_effect_of_its_parameters_on_bifurcation_diagrams

La parte más bonita del análisis matemático de este problema es el estudio del efecto de los parámetros del represilador P1 (que actúa como un forzamiento) en los diagramas de bifurcación del sistema. La figura de arriba muestra la aparición de comportamiento birrítmico para forzamientos alrededor de los dos puntos en los que se presenta la bifurcación de punto de silla. En este caso, las variables X o Y presentan una comportamiento oscilatorio de pequeña amplitud alrededor de sus valores en estado estacionario. Hasta dos ciclos límites estables se pueden observar en este caso. Todo depende del forzamiento introducido por el represilador, que permite inducir un comportamiento oscilatorio en un estado inicialmente estable.

Sin entrar en más detalles de este análisis dinámico me gustaría acabar recalcando que este su simplicidad permite utilizarlo como modelo de nivel intermedio en cursos de dinámica no lineal y caos. En dicho caso, conviene recalcar al alumno que este tipo de sistemas se ha observado biológicamente y ponerle algunos ejemplos (son fáciles de encontrar en la literatura).

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