Gravedad Cero: Newton, Gauss, Birkhoff, Milgrom y la teoría MOND

Gravedad cero. Imagina, como Newton, que la Tierra fuera hueca y te encontraras en su interior. Estarías flotando, completamente ingrávido, como los astronautas en el espacio, pero por una razón diferente. En el interior hueco de una distribución esférica de masa el campo gravitatorio es nulo. Newton lo demostró geométricamente como muestra este extracto de los Principia. Considera un punto P en el interior y dos conos con el mismo ángulo que atraviesan el cascarón. Como la ley de la gravead decae con la inversa de la distancia al cuadrado y la cantidad de masa en el cascarón contenida en cada cono depende de la distancia al cuadrado, la fuerza ejercida en P por ambos cascarones es idéntica pero de sentido opuesto. Sea cual sea P, la fuerza gravitatoria en P debida al cascarón es exactamente cero. Obviamente cualquier objeto exterior al cascarón que rompa la simetría esférica, como la Luna o el Sol en nuestro ejemplo, introducirá una fuerza gravitatoria muy débil pero matemáticamente no nula.

La demostración de Newton es geométrica e intuitiva. La clave es que la fuerza de la gravedad se proporcional al inverso del cuadrado de la distancia. La masa en el punto P puede ser cualquiera, siempre que sea puntual (su volumen es muy pequeño comparado con el de la esfera hueca). En los primeros cursos de física es habitual presentar una demostración más técnica de este teorema de Newton basada en el teorema de la divergencia de Gauss. Por ende, aplicable a la fuerza de Coulomb dentro de una distribución esférica de carga eléctrica.

En la teoría de la gravedad de Einstein, la relatividad general, el teorema de Newton o el teorema de Gauss también son aplicables aunque con una ligera salvedad. En el punto P la masa ha de ser nula, ya que por muy pequeña que sea deforma el espaciotiempo a su alrededor y la distribución esférica de masa deja de serlo, la simetría esférica se rompe (salvo que P se encuentre justo en el centro). Este resultado de la gravitación de Einstein se llama teorema de Birkhoff y es aplicable incluso al universo entero en su conjunto. Sus aplicaciones son múltiples. Por ejemplo, permite demostrar que la gravedad de la materia puede frenar la expansión del espaciotiempo debida a la Gran Explosión.

El teorema de Newton-Gauss-Birkhoff no se cumple en todas las variantes de la gravedad que han sido propuestas en las últimas décadas. Una de las más famosas es la teoría MOND, una modificación empírica de la gravedad newtoniana propuesta en origen para explicar la curvas de rotación de las galaxias sin necesidad de recurrir a la materia oscura. Para campos gravitatorios muy débiles, la teoría MOND corrige la ley inversa del cuadrado de Newton con un pequeño término de aceleración. La teoría MOND no cumple el teorema de Newton-Gauss-Birkhoff. Todo punto P dentro de una distribución esférica de masa hueca sufre una pequeñísima fuerza en dirección hacia el centro de la distribución de masas. La gravedad cero deja de serlo si la teoría MOND es correcta. Los interesados en los detalles matemáticos de la demostración pueden recurrir a Reijiro Matsuo, su PPT “Does Birkhoff’s law hold in MOND?,” 2008, o su artículo técnico De-Chang Dai, Reijiro Matsuo, Glenn Starkman, “Birkhoff’s theorem fails to save MOND from non-local physics,” ArXiv, 10 Nov 2008, last revised 16 Jun 2009.

Seguramente pensarás que los efectos del incumplimiento del teorema de Birkhoff por parte de la teoría MOND son despreciables a escala galáctica y a escalas mayores, pero no es así, como nos han contado recientemente Reijiro Matsuo, Glenn Starkman, “Screening and Antiscreening of the MOND field in Perturbed Spherical Systems,” ArXiv, 18 Nov 2009. Las dificultades de la teoría MOND a la hora de poder describir el comportamiento de los cúmulos de galaxias y de los supercúmulos de galaxias (donde se requiere la presencia de materia oscura) están relacionados con este problema técnico, como nos cuentan Pedro G. Ferreira, Glenn Starkmann, “Einstein’s Theory of Gravity and the Problem of Missing Mass,” ArXiv, 6 Nov 2009.

Resulta curioso que el problema de una nueva propuesta como teoría de la gravedad sea la Gravedad Cero.

Esta la contribución de la Mula Francis a “El Carnaval de la Física en Gravedad Cero. Hoy 30 de noviembre con motivo de la primera observación por parte de Galileo de un objeto celeste con su telescopio.” He de confesar que me enteré de esta iniciativa gracias a MiGUi, que a su vez se enteró en un tweet de Ciencia Kanija. Menéame y otros foros se han hecho eco de la misma. Enhorabuena, Carlo (Ferri) y Roi (Oliva).

PS (29 Nov. 2009): Los interesados en una introducción breve a la teoría MOND de Milgrom disfrutarán de J.C. Fabris, H.E.S. Velten, “MOND virial theorem applied to a galaxy cluster,” Braz. J. Phys. 39: 592-595, [online]. 2009 [PDF gratis en SciELO].

1 Comentario

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Nelson FalconNelson Falcon

Excelente tus apreciaciones y precisión del review, sin embargo hay teorias MonD que resuelven el problema de la masa perdida en los cumulos de galaxias, de la ecuacion de Friedmann y de la Energia oscura sin recurrir a la materia exotica o dark matter no barionica, por ejemplo ver:
Journal of Modern Physics, 2013, 4, 10-18
http://dx.doi.org/10.4236/jmp.2013.48A003 Published Online August 2013 (http://www.scirp.org/journal/jmp)
Modification of the Newtonian Dynamics in ᴧFRW-Cosmology an Alternative Approach to Dark Matter and Dark Energy
Nelson Falcón

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arXiv:1407.8445v1 [astro-ph.CO] 31 Jul 2014

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