Tras mi participación en la Primera Edición del Carnaval de Matemáticas, organizado por Tito Eliatron, no podía ser posible mi ausencia en la «Segunda Edición del Carnaval de Matemáticas,» organizada en esta ocasión por Juan de Mairena en su blog «Juan de Mairena [v.2.71828],» el 15 de marzo de 2010. Por cierto, gracias a Tito me enteré de que ocupé en febrero de 2010 el noveno puesto entre «Los 20 mejores blogs científicos en Wikio,» aunque en marzo bajé al trigésimo puesto.

La idea de que la Naturaleza es fractal parte del famosísimo libro del genial Benoit B. Mandelbrot, «The Fractal Geometry of Nature,» Freeman, 1982. Los fractales tienen una belleza geométrica que atrae a todo el mundo. Libros tan bien ilustrados como el de Heinz-Otto Peitgen, Peter H. Richter, «The beauty of fractals: images of complex dynamical systems,» Springer, 1986, han tenido una repercusión enorme tanto en matemáticas como en el resto de la ciencia. ¿Realmente es fractal la Naturaleza? Obviamente no, en un sentido matemático estricto, un fractal tiene que ser autosemejante a todas las escalas y esto es físicamente imposible («todas» son infinitas). La Naturaleza ha de ser necesariamente prefractal, autosemejante sólo en cierto número de escalas. Un objeto parecerá fractal si este número de escalas es grande. ¿Grande como qué? Tres o cuatro órdenes de magnitud parecen más que suficientes. La cuestión sobre si la Naturaleza es o no es fractal se reduce a comprobar si los sistemas físicos que se proclaman como fractales son autosemejantes en escalas de al menos 3 órdenes de magnitud (de 1 a 1000, de 10⁰ a 10³). La verdad es que la mayoría de los artículos (no matemáticos) en física que proclaman la naturaleza fractal de algún fenómeno medido experimentalmente no logran alcanzar 3 órdenes de magnitud en el número de escalas que presentan autosemejanza, como nos mostró el estudio estadístico realizado por David Avnir, Ofer Biham, Daniel Lidar, Ofer Malcai, «Is the Geometry of Nature Fractal?,» Science 279: 39-40, 2 January 1998. La Naturaleza tiene una naturaleza prefractal. Obviamente, no tardó en leerse la respuesta del propio Benoit B. Mandelbrot a dicho artículo (Benoit B. Mandelbrot; Peter Pfeifer; Ofer Biham, Ofer Malcai, Daniel A. Lidar, David Avnir, «Is Nature Fractal?,» Correspondence, Science 279: 783, 6 February 1998), replicada por los propios autores entre otros. Permitidme recordar los hechos… pero antes un vídeo de Redes para hacer boca.

Los fractales son hermosas contrucciones matemáticas caracterizadas por una cascada interminable de detalles estructurales autosemejantes que se revelan conforme los escalamos (los vamos aumentando con una lupa). Matemáticamente un fractal es autosemejante a todas las escalas posibles. En las últimas dos décadas, muchos científicos han creido observar estructuras fractales por doquier en cualequier estructura física de geometría compleja que han observado en sus datos experimentales. Hasta en mecánica cuántica se ha proclamado la observación experimental de funciones de onda cuánticas fractales en la superficie de un semiconductor cerca de la transición entre metal y aislante (Gregory A. Fiete, Alex de Lozanne, «Seeing Quantum Fractals,»  Perspectives, Science 327: 652-653, 5 February 2010; Anthony Richardella et al., «Visualizing Critical Correlations Near the Metal-Insulator Transition in Ga1-xMnxAs«, Reports, Science, 327: 665-669, 5 February 2010).

La declaración de fractalidad en un sistema físico está asociada a su autosemejanza: Un objeto es autosemejante si se puede construir a partir de copias semejantes a sí mismo, es decir, copias idénticas a sí mismo a las que se ha aplicado un factor de escala (transformación geométrica denominada escalado, semejanza u homotecia). Un objeto fractal no tiene ninguna escala característica sino que todas las escalas son “buenas” para representar dicho objeto. La fractalidad de ciertos resultados experimentales requiere observar las repeticiones de cierto patrón de autosemejanza en múltiples escalas que recorran varios órdenes de magnitud. Sin embargo, en la mayoría de los artículos que se publican hoy en día esta condición no se cumple y la posible fractalidad se limita a sólo unas pocos órdenes de magnitud en las escalas.

Avnir et al. estudiaron artículos en revistas de la APS (American Physical Society), en concreto, Physical Review Letters y Physical Review desde la A a la E, publicados durante los años de 1990 a 1996, cuyos autores proclamaran haber descubierto la fractalidad de sus resultados experimentales (96 artículos en total). Para su sorpresa descubrieron que la mayoría de dichos sistemas físicos presentan autosemejanza sólo en factores de escala en dos órdenes de magnitud, entre 1 y 100, y ninguno lograba observarla en más de 3 órdenes de magnitud (ver el histograma que abre esta entrada extraído de su artículo). Matemáticamente, la fractalidad de una propiedad P se observa empíricamente si dicha propiedad depende de una cierta dimensión (resolución) r con una expresión en forma de ley de potencia dada por

P = k r  ^f(D),

donde D es la dimensión fractal calculada experimentalmente, k es una constante y el exponente f (D) es una función simple de D. En la mayoría de los casos dicha ley de potencia es ajustada utilizando regresión lineal (un procedimiento que es matemáticamente incorrecto, más detalles por ejemplo en «Todo lo que siempre quisiste saber sobre leyes de potencia,» este blog, 21 jun. 2009, o en «Qué hace un físico con las estadísticas del blog (y 2),» Pseudópodo, 18 feb 2008). Además, muchas veces la región «lineal» en la que se ajustan los datos es determinada «a ojo de buen cubero» por parte del investigador.

Para Avnir et al. sus resultados indican claramente que la naturaleza fractal proclamada por los autores de los artículos que han estudiado es muy discutible. En su opinión la etiqueta fractal aplicada por los autores de los artículos que han estudiado es, ellos dicen tal vez, errónea. Yo pondría la etiqueta de prefractal. Más aún, no ven claro que declarar la fractalidad de unos resultados experimentales tenga ningún tipo de utilidad («A more basic question should be asked: Is this useful?«). Se preguntan: ¿de qué sirve una ley de potencias para describir una geometría complicada? ¿en qué ayuda la ley de potencias a la hora de entender la formación de dicho patrón geométrico? ¿en qué ayuda saber que una geometría es prefractal?

La geometría fractal es una rama de las matemáticas que estudia objetos geométricos abstractos muy complejos, por ejemplo, cuyo contorno es continuo pero no diferenciable. Sin embargo, una geometría prefractal no es tan complicada y puede ser estudiada con las herramientas estándares de la geometría convencional (no fractal). ¿Por qué no se limitan los investigadores a proclamar el descubrimiento de una ley de potencias en sus datos en lugar de proclamar su fractalidad? Avnir et al. no se mojan, dejan la pregunta en el aire. Yo me atrevo a afirmar que «fractal» suena mucho mejor, es más «comercial,» a la hora de tratar de «vender» un artículo para que sea aceptado en una revista de impacto.

Avnir et al. acaban su artículo con una pregunta final: ¿es la geometría de la Naturaleza fractal? («Is the geometry of nature fractal?«). Hay teorías físicas sin escala («scale-free«) para describir fenómenos en equilibrio crítico (en imanes, líquidos y transiciones de fase) y fuera de del equilibrio (ciertos modelos de crecimiento por agregación). Dichas teorías físicas conducen de forma natural a una ley de potencias y a un comportamiento autosemejante (a todas las escalas donde se aplicables). Sin embargo, la mayoría de los artículos que proclaman la fractalidad no parecen estar ligados a este tipo de modelos y no presentan un fundamento físico subyacente que explique sus resultados. Los experimentalistas prefieren la etiqueta «fractal» para los objetos en los que han encontrado leyes de potencia. Acaban su artículo Avnir et al. con un contundente: esta es la geometría fractal de la Naturaleza («This is the fractal geometry of nature«).

Esta última frase en su artículo es la que más dolió a Mandelbrot quien quiso dejar claro en un comentario de respuesta al artículo que el hecho de que haya muchos investigadores abusando de la palabra «fractal» no quita ápice a que la geometría fractal se observe en la Naturaleza por doquier y su descubrimiento en muchos sistemas físicos no tenga interés. Más bien al contrario, la geometría fractal está siendo encontrada por doquier en todo tipo de estudios. Mandelbrot nos recuerda que en todos los campos científicos hay artículos cuyos análisis son discutibles.

Mandelbrot nos recuerda que los fractales no son una panacea, no están en todas partes en la Naturaleza. Pero hay muchos sistemas que sí los presentan y su descubrimiento a permitido avanzar el conocimiento. Nos pone el ejemplo de la fractalidad en las fracturas de metales, descubierta hace unas décadas, que permitió introducir nuevas medidas de la rugosidad de las fracturas. En estos sistemas la autosemejanza alcanza hasta 5 órdenes de magnitud en las escalas (recientemente hablamos en este blog de un trabajo en  esta línea «Publicado en Nature: Un físico catalán estudia mediante ordenador la propagación de fracturas en materiales frágiles,» 4 marzo 2010). Mandelbrot nos recuerda que sus propios estudios con Berger sobre los errores de transmisión en comunicaciones de datos demostraron la fractalidad en escalas entre 7 y 9 órdenes de magnitud.

Para Mandelbrot los resultados de Avnir et al. se entendienden mejor como desafortunados efectos colaterales del entusiasmo de los autores a la hora de reportar nuevas estructuras fractales, permitidas por una labor deficiente por parte de los revisores de dichos artículos, y no como un descrédito a una nueva herramienta matemática de gran utilidad práctica. ¡Qué va a decir un padre sobre su hijo!

Peter Pfeifer nos comenta que él ha desarrollado técnicas matemáticas que permiten discernir si una estructura geométrica candidata a fractal realmente lo es o no. Además, nos recuerda, también lo hizo Mandelbrot, que Avnir et al. son especialistas en hacer lo que critican, calificar de fractales muchos de sus resultados experimentales modelados con leyes de potencias en menos de un orden de magnitud («Avnir, and I, have presented, inter alia, scaling ranges of less than a decade as fractals«). Pfeifer nos recuerda que el descubrimiento de fractales requiere un análisis más profundo que sólo ajustar una ley de potencias.

Avnir et al. contestan a ambos recordando que ellos son expertos en el estudio experimental de fractales y que han publicado el artículo de revisión más completo sobre el tema (Ofer Malcai, Daniel A. Lidar, Ofer Biham, David Avnir, «Scaling range and cutoffs in empirical fractals,» Physical Review E 56: 2817–2828, 1997). No comprenden el estupor de Mandelbrot. Su artículo en Science tiene como único objeto destacar que los descubrimientos de fractales en datos experimentales son muy excepcionales y han de ser tratados como tales. Ellos no pretenden desprestigiar o degradar artículos publicados en revistas internacionales de prestigio, que seguramente serán de utilidad para muchos otros investigadores, lo único que pretenden es destacar que hay que replantearse la fractalidad de muchos de los sistemas experimentales para los que ha sido proclamada. Ponen el ejemplo del estudio original de Richardson sobre la fractalidad de la costa de Gran Bretaña (uno de los paradigmas de los fractales desde que Mandelbrot lo presentó en su libro). Este comportamiento se extendiende sólo entre 1 y 2 órdenes de magnitud.

Según Avnir et al. los ejemplos en la literatura científica de fractales «verdaderos» (autosemejantes en escalas de más de 3 órdenes de magnitud) son muy escasos. Para Avnir et al. es muy discutible decir que la costa de Gran Bretaña, las fracturas en metales, las nubes, y muchos otros ejemplos más son fractales. Un análisis más riguroso muestra que son sólo prefractales. La mayoría de los sistemas físicos calificados como fractales sólo presentan autosemejanza en 1’3 órdenes de magnitud y muy excepcionalmente llegan a 3. Los ejemplos con más órdenes de magnitud suelen depender de un análisis concreto de los datos y dichos órdenes de magnitud desaparecen ante una inspección más cuidadosa.

Avnir et al. se reafirman en que la parca evidencia empírica de fractales en la Naturaleza no permite afirmar que «la Naturaleza tenga una geometría fractal.» Hay que reanalizar y estudiar cuidadosamente la fractalidad en todos los sistemas en los que ha sido proclamada con objeto de entender mejor su posible origen en dichos sistemas. Concluyen su comentario preguntándose en voz alta: «¿Por qué la Naturaleza es prefractal?» («Why are these limited-range fractals common?«).

Quizás es el momento de descansar un poco… aquí tenéis una entrevista de Punset a Mandelbrot para Redes… espero que la disfrutéis.

Quizás el problema de Avnir et al., que Mandelbrot no acaba de aclarar,  es que confunden fractalidad y autosemejanza. La fractalidad es una propiedad topológica, pero la autosemejanza es morfológica. Están relacionadas entre sí, pero son cosas diferentes. Nos lo cuenta muy bien el genial Federico García Moliner, Premio Príncipe de Asturias de Investigación Científica y Técnica de 1992, en «Quasiregular heterostructures: An overview of the current situation,» Microelectronics Journal 36: 870-875, October 2005.

Consideremos el conjunto de Cantor. Su contrucción geométrica es la siguiente. En primer lugar se toma el intervalo [0, 1]. En segundo lugar se le quita el tercio interior, es decir, el intervalo abierto (1/3, 2/3). En tercer lugar se repite la operación anterior con los dos segmentos que han quedado, es decir, se quitan los intervalos abiertos (1/9, 2/9) y (7/9, 8/9). Y así sucesivamente ad infinitum: se quita el tercio central de todos los intervalos que quedan. El conjunto de Cantor es fractal, su dimensión de Hausdorff es menor que uno, concretamente log(2)/log(3), y además es autosemejante, por construcción está formado por dos copias de sí mismo escaladas por un factor de 1/3. Ahora bien, podemos obtener un conjunto de Cantor que es fractal pero no es autosemejante de la siguiente forma. Volvemos a tomar en primer lugar el intevalo [0,1]. Ahora en segundo lugar tomamos dos puntos aleatorios en este segmento y eliminamos el intervalo abierto entre ellos. En pasos sucesivos repetimos este procedimiento con los segmentos resultantes, tomando siempre valores aleatorios para seleccionar el subsegmento que eliminamos. El resultado (como el de la figura de la izquierda) es un conjunto fractal, pero no es autosemejante. Muchos de los sistemas físicos que son fractales en la Naturaleza no son exactamente autosemejantes y por eso los órdenes de magnitud de las escalas en las se observa dicha autosemejanza son muy limitadas. En la terminología de García Moliner son fractales cuasiregulares.

Fractal o prefractal, lo que está claro es que nuestra manera de ver muchos objetos de la Naturaleza está marcado por la visión y la profundidad del gran matemático Benoit Mandelbrot (Yale University, USA). Por eso creo que el mejor final para esta entrada es recomendaros la conferencia que impartió en Madrid en 2006 con motivo del Congreso Internacional de Matemáticos: «The nature of roughness in mathematics, science and art,» Special Lecture, ICM 2006, Madrid, 27 Aug 2006. Podéis disfrutar del vídeo en http://www.icm2006.org/video/ (pinchad en «Table of Contents» > «Seventh Session» > «Special lecture»). Aquí podéis descargar directamente el vídeo en formato flv, son 104 Mb.