D.E.P. Vladimir Igorevich Arnold: “Siempre la verdad aunque escandalice”

Vladimir I. Arnold nació en Odesa, el 12 de junio de 1937, y ha fallecido en París el 3 de junio de 2010. Alumno aventajado de Kolmogórov, resolvió en su tesis doctoral el décimo tercer problema de Hilbert (que trata de las soluciones para ecuaciones de séptimo grado). Arnold trabajó en una gran cantidad de temas: sistemas dinámicos, ecuaciones diferenciales, mecánica clásica, mecánica celeste, geometría algebraica, geometría simpléctica, hidrodinámica, teoría de singularidades, etc. Escribió numerosos libros, algunos de los cuáles se han convertido en auténticos clásicos. Entre sus resultados más notables está el llamado Teorema KAM (por Kolmogorov-Arnold-Moser) sobre la estabilidad de los sistemas dinámicos y la persistencia de órbitas cerradas; el descubrimiento de lo que se conoce como difusión de Arnold; resultados sobre la teoría de singularidades y cáusticas que complementan la teoría de catástrofes de Thom; la teoría de subvariedades lagrangianas, etc. Nos lo resume magistralmente Manuel de León, “Vladimir Igorevich Arnold, el hombre que amaba los problemas,” Instituto de Ciencias Matemáticas, 4 Junio, 2010. Manuel nos recuerda la entrevista de S. H. Lui, “An Interview with Vladimir Arnol’d,” Notices of the American Mathematical Society 44: 432-438, April 1997 [entrevista realizada el 11 de noviembre de 1995]. Permitidme algunas notas de dicha entrevista.

La primera experiencia matemática real de Arnold fue cuando su maestro de escuela I. V. Morozkin le planteó a sus alumnos el siguiente problema: “Dos ancianas comienzan a andar al amanecer a velocidad constante. Una va desde A a B y la otra de B hacia A. Se encuentran al mediodía y continúan andando sin parar. La primera llega a B a las 16:00 horas y la segunda a A a las 21:00 horas. ¿A qué hora salió el sol ese día?” Arnold, niño, pasó todo el día pensando en el problema. La solución de este problema fue para él toda una revelación. La misma revelación que ha vivido muchas veces durante su carrera de matemático.

Arnold nos recuerda que la teoría KAM fue consecuencia del trabajo docente de Komogórov que impartía un curso de sistemas hamiltonianos en el segundo año de carrera. En este curso se estudiaban diferentes sistemas completamente integrables, como el movimiento de una partícula en la superficie de un toro de revolución (un dónut) colocado horizontalmente. En una época en la que no había ordenadores estos problemas que presentan órbitas cuasiperiódicas le parecían demasiado sencillos para sus alumnos. Kolmogórov buscaba problemas más complicados, en sus palabras, con trayectorias “mezcladas” (lo que hoy en día llamamos “caos determinista”). Buscó problemas integrables perturbados que mostraran estas trayectorias y no los encontró. Esta búsqueda le llevó al descubrimiento del teorema KAM. Arnold compara a Kolmogórov con Colón. Buscaba un nuevo camino hacia Las Indias y encontró el Nuevo Mundo.

Arnold recuerda haber dirigido unas 40 tesis doctorales (en el MGP aparecen sólo 29). Nunca asignaba un tema de tesis a sus doctorandos (sería como buscarles una mujer para casarse). Se limitaba ha mostrarle lo que se sabía y lo que no se sabía sobre diferentes temas. Sus seminarios en Moscú, en los que intervenían más de 30 matemáticos, la mayoría ex-doctorandos suyos, eran el medio más adecuado para hacerlo. Estos seminarios se mantuvieron durante más de 30 años.

Rusia y EEUU son dos universos matemáticos completamente diferentes. Arnold confiesa que siempre se ha preguntado cómo es posible que tantos estadounidenses lleguen a ser grandes matemáticos si el nivel de las enseñanzas de matemáticas en EEUU es pésimo, comparado con Rusia. Por ejemplo, ningún catedrático ruso de matemáticas sería capaz de resolver correctamente el siguiente problema que Arnold vio en un examen para el acceso a un doctorado de matemáticas: “Encontrar el par más cercano a (ángulo, grado) entre los pares: (tiempo, hora), (área, pulgada cuadrada), y (leche, cuarto de galón).” Cualquier matemático estadounidense lo resuelve correctamente de inmediato. La explicación oficial de la respuesta correcta (área, pulgada cuadrada) es la siguiente: un grado es la medida mínima del ángulo, una pulgada cuadrada es la medida mínima de un área, mientras que una hora contiene minutos y un cuarto de galón contiene dos pintas. Arnold también se quedó boquiabierto cuando H. Whitney le contó que sólo 30% de los niños de 14 años en escuelas norteamericanas eran capaces de resolver correctamente el siguiente problema: “El 120% del número 80 es un número mayor que, menor que, o igual a 80.” Whitney le contó que los que proponían este problema pensaban que este porcentaje indicaba que el 30% de los adolescentes estadounidenses comprendían el manejo de porcentajes. Sin embargo, como es obvio, una respuesta aleatoria conduce a un porcentaje de acierto del 33%, con una incertidumbre del 5%.

Louis Pasteur afirmaba que “no existen ciencias aplicadas, sino aplicaciones de las ciencias.” Igualmente no podemos hablar de matemática aplicada versus matemática pura, sino de aplicaciones de la matemática. Las diferencias entre un matemático aplicado y un matemático puro son sociales, no científicas. Cuando Colón fue a descubrir una nueva ruta a Las Indias actuó como matemático aplicado, cuando descubrió el Nuevo Mundo actuó como matemático puro. En realidad, ambas cosas fueron la misma, el Descubrimiento de América.

4 Comentarios

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jaumejaume

En mas de una ocasion he intentado leerme el libro de arnold sobre “singularidades de causticas y de frentes de ondas”, pero siempre he acabado dejandolo (es lo que tiene hacerlo por “hobby”, que no le dedicas el tiempo necesario). Me parece un libro muy bonito por las aplicaciones de ramas mas puras de las matematicas a sistemas fisicos.

Ulises Sánchez pachecoUlises Sánchez pacheco

Referente al teorema de KAM, seria ideal tener mayor informacion técnica de estudio para asi poder establecer un entendimiento mas relacionado ademas de poder solucionar los problemas establecidos en dicho teorema..gracias

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