Qué pasaría si el espaciotiempo tuviera n dimensiones espaciales y m dimensiones temporales

Buena pregunta. El artículo de Max Tegmark, “On the dimensionality of spacetime,” Class. Quantum Grav. 14: L69–L75, 1997 [gratis en el MIT y en ArXiv], estudia esta cuestión en el contexto de la clasificación de ecuaciones en derivadas parciales en elípticas, hiperbólicas y ultrahiperbólicas. Su respuesta: la propagación de ondas solo puede estar descrita por ecuaciones covariantes hiperbólicas (las elípticas no lo permiten y las ultrahiperbólicas están mal puestas). Además, si requerimos que el espaciotiempo tenga una complejidad mínima para permitir la existencia de seres conscientes, tenga un futuro que sea predecible y permita la existencia de movimientos orbitales estables, necesariamente debe tener tres dimensiones espaciales y una temporal, espaciotiempo 3+1. Obviamente, este artículo ha sido objeto de comentarios en blogs por doquier. Pondré un solo ejemplo, Bee, “Why do we live in 3+1 dimensions?,” Backreaction, May 8, 2006. Bee nos enlaza a otros blogs y a otros artículos sobre el mismo tema, como Andreas Karch, Lisa Randall, “Relaxing to Three Dimensions,” Phys. Rev. Lett. 95: 161601, 2005 [ArXiv preprint].

Antes de continuar y para entender la figura debemos recordar que una ecuación en derivadas parciales de segundo orden, como la que corona la figura, donde la matriz A es simétrica, sin pérdida de generalidad, se puede clasificar en función del signo de sus autovalores (todos son reales por ser simétrica) como elíptica si todos tienen el mismo signo (todos positivos o todos negativos), parabólica si alguno es cero y el resto tienen el mismo signo (sea positivo o negativo), hiperbólica si uno es positivo y el resto son negativos (o viceversa), y finalmente ultrahiperbólica en el resto de los casos (al menos dos son positivos y al menos dos son negativos).

Vivimos en un espaciotiempo con (3+1) dimensiones, es decir, tridimensional en espacio y unidimensional en tiempo. ¿Qué pasaría si viviéramos en un espaciotiempo con (n+m) dimensiones? Recuerda, n son las dimensiones espaciales y m las temporales. ¿Puede un espacio tiempo (n+m) dimensional contener observadores conscientes como nosotros? Max Tegmark afirma que sólo es posible en un espaciotiempo con cierta complejidad, predictibilidad y estabilidad. La física es impredecible si m·n=0, es decir, si las ecuaciones en derivadas parciales que describen el universo son elípticas, como la ecuación de Laplace o la ecuación de Poisson. En ese caso el universo es inmutable y no hay futuro posible que predecir. Para n=1 o m=1, la ecuación es hiperbólica. Para n=1 y m>3, o n>3 y m=1, fallaría la estabilidad, como ya observó Enhrenfest en 1917: el problema de dos cuerpos (puntuales) en un potencial que sea solución la ecuación de Laplace (como lo es para el potencial electrostático y el gravitatorio) es inestable porque dicha ecuación en dimensión n tiene una función de Green que decae como r2-n. Ni los átomos (mecánica cuántica) ni las órbitas planetarias (mecánica clásica) podrían ser estables. ¿Qué pasaría en el caso n<3? Básicamente falla el requisito de la complejidad mínima. Seres “conscientes” en planilandia (2D) sufrirían terribles problemas topológicos, por ejemplo, a la hora de conectar su cerebro con el resto del cuerpo vía terminaciones nerviosas. Más aún, como ya aclaró Wheeler, la fuerza gravitatoria en relatividad general no puede existir para n < 3. Tegmark tiene muy claro que un mundo con n=2, 1 y 0 no puede permitir seres conscientes como nosotros. El caso n,m≥2, es decir, si son ultrahiperbólicas, lo estudiaremos en el próximo párrafo.

Veamos en más detalle el caso ultrahiperbólico en el que el número de dimensiones temporales, m>1. Para Tegmark, un universo con m>1, con dos o más tiempos, no prohibe que los observadores estén limitados a percibir la realidad sólo con un único tiempo, por lo que no genera necesariamente problemas de causalidad (la nieta que mata a su abuela antes de parir a su madre). Sería un mundo muy extraño, por ejemplo, en mecánica relativista la energía sería un vector de m dimensiones, en lugar de una constante, pero estas ideas difícilmente rebaten la posible existencia de seres conscientes. Para Tegmark la clave está en la ultrahiperbolicidad de las ecuaciones covariantes que describan los campos físicos en dicho universo.

La realidad que conocemos está modelada por campos descritos mediante ecuaciones covariantes como la ecuación de onda u_{;mumu}=0 y la ecuación de Klein-Gordon u_{;mumu} + hat{m}^2 u=0. Por ejemplo, los fermiones (electrones, positrones, quarks, …) están descritos por la ecuación de Dirac cuyas soluciones también cumplen la ecuación de Klein-Gordon. Otro ejemplo, los bosones vectoriales (fotón, gluones, bosones W y Z, …) en el gauge de Lorentz cumplen la ecuación de onda (la luz se propaga como una onda). Estas dos ecuaciones covariantes cumplen con la propiedad de que el signo de los autovalores de la matriz A tienen el mismo signo que la signatura de la métrica del espaciotiempo. En 3+1 dimensiones, con (n,m)=(3,1), tienen la signatura (+–––), o si se prefiere (–+++). Una ecuación elíptica correspondería a una signatura euclídea para la métrica (+++++) y una ultrahiperbólica a una signatura como (++––-). El tipo de la ecuación en derivadas parciales determina la estructura causal de las soluciones posibles (cómo las condiciones de contorno especifican el problema). Un problema está bien puesto si las condiciones de contorno determinan una solución única que depende de forma continua con los datos del contorno. En un problema mal puesto, un observador tendría que medir los datos iniciales y de contorno con precisión infinita para poder determinar (predecir) la solución. Dado un punto p del espaciotiempo podemos definir su cono de luz como la hipersuperficie que recorrería un haz de luz que partiera de p (hipersuperficie nula). El interior del cono de luz son los puntos del espaciotiempo separados de p por intervalos temporales y el exterior los separados espacialmente. En una ecuación ultrahiperbólica si la condición inicial está dada en una hipersuperfice que contiene intervalos espaciales y temporales respecto a un punto p, el problema de Cauchy está mal puesto.

21 Comentarios

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Luis

saludos Francis
de nuevo, felicidades por el excelente blog, respecto de esta entrada, me pregunto si el proceder en el razonamiento es válido, ya que se intenta aplicar la física y sus leyes como la conocemos (se que no tenemos otro recurso), pero que pasaría si un universo diferente de 3+1 tuviese (respondiera a) otras leyes físicas, ya nuestra física no prohíbe el viaje en el tiempo, sin embargo, no vemos viajeros temporales, en fin, una simple duda que me asalta que mi estrechez mental, no logra captar.

un abrazo

El CidEl Cid

1) Atendiendo a la notación utilizada en título del post, donde n son las dimensiones espaciales y m las temporales, entonces:

- “¿Qué pasaría si viviéramos en un espaciotiempo con (m+n) dimensiones? Recuerda, m son las dimensiones espaciales y n las temporales. ¿Puede un espacio tiempo (m+n) dimensional contener observadores conscientes como nosotros?

- “¿Puede un espacio tiempo (m+n)

se tendría que cambiar por:

- “¿Qué pasaría si viviéramos en un espaciotiempo con (n+m) dimensiones? Recuerda, n son las dimensiones espaciales y m las temporales. ¿Puede un espacio tiempo (n+m) dimensional contener observadores conscientes como nosotros?

- “¿Puede un espacio tiempo (n+m)

2) Por motivos de claridad también se podría cambiar:

- “Para m>3 (y n=1), o n>3 (y m=1)

por

- “Para n=1 y m>3, o n>3 y m=1

3) En la ecuación de Klein Gordon, m no tiene nada que ver con el número de dimensiones espaciales ni temporales, sino que es una contaste. ¿No es así?

4) Y ya que me he animado a escribir el comentario, una reflexión que bien pudiera ser errónea. En el abstract del paper, Tegmark dice que su análisis se realiza sobre espacio-tiempos clásicos, que son límites de baja energía de los espacios tiempos cuánticos. Ésto salvaría de la quema a los espacio-tiempos (10+1) y (11+1) que se fijan en los modelos fenomenológicos de la teoría de cuerdas. En estos espacio-tiempos las dimensiones extra presentan efectos cuánticos muy significativos al estar arrolladas y tener longitudes extremadamente pequeñas. Por tanto, no se pueden estudiar utilizando la teoría clásica. ¡La teoría de cuerdas se ha vuelto a salvar!

emulenewsemulenews

El Cid, gracias por tus erratas, creo que ya están corregidas.

En cuanto a (4) tienes razón. No solo una teoría cuántica, incluso una teoría clásica con dimensiones compactificadas encontraría resquicios en los argumentos de Tegmark (por ejemplo, sustituir cada punto 3+1 por la solución compactificada de una ecuación elíptica con n arbitrario no afectaría a la predictibilidad en 3+1 ya que no tendría sentido hablar de predictibilidad en un punto o variedad compactificada).

Asier

Hola Francis,

gracias por acercarnos trabajos interesantes, ¡me ha sorprendido que este artículo sea del 97! Estas ideas no las había escuchado antes…

Solo quería comentar que el autor del artículo remarca dos veces que no pretende demostrar que solo para 3+1 se permite la existencia de observadores (o la vida como la conocemos):

“In both cases, we are not attempting to rigorously
show that merely (n,m) = (3, 1) permits observers.
Rather, we are simply arguing that it is far from obvious
that any other (n,m) permits observers, since radical
qualitative changes occur in all cases, so that the burden
of proof of the contrary falls on the person wishing to
criticize ensemble theories with fine-tuning arguments.”

“Needless to say, we have not attempted to rigorously
demonstrate that observers are impossible for other dimensionalities.”

Está bien encontrar un poco de humildad ya que a veces cuando se presenta un trabajo “rompedor” no logro captar la importancia y relevancia de los resultados hasta que leo/oigo comentarios de otras personas. en ese aspecto ¡se agradece tu excepticismo en general!

Juan Manuel Dato Ruiz

Esto confirma mi teoría sobre el pulgar hacia abajo: no debería existir. Cuando una persona recibe un pulgar hacia arriba no necesita que le expliquen porqué lo ha recibido. Pero cuando recibe uno el pulgar hacia abajo, lo normal es que se necesite una explicación.

Por eso el mejor sistema de voto es el del veto: donde cuando ya no hace falta explicaciones sólo deberían contabilizarse los pulgares hacia abajo. Pero en este tipo de blogs (científico) sólo deberían haber pulgares hacia arriba y comentarios que disientan. De lo contrario podríamos crear un troll tipo “compulsivo”, con ganas de mostrar su propio talento y sin capacidad de juicio social de lo que hace.

Alfonso Jativa Gomez

AGRIMENSURA O TOPOGRAFIA
Medición de un polígono por triangulación
lo conocido: lado b=133 mts., lado c=305 mts
Angulo < Aº=48.46º
Lado a=(b^2+c^2-2bc.cos Aº=238.56 mts.,
<Aº=Acos((b^2+c^2-a^2)/(2bc))=48.46º
<Bº=Acos((a^2+c^2-b^2)/(2ac))=24.66º
<Cº=Acos((a^2+b^2-c^2)/(2ab))=106.88º
<Aº+<Bº+<Cº=180º ok

lado “x”=b.cosAº=88.20 mts.,
lado “y”=c-x= 216.80 mts.,
lado “h” (altura triang.)=b.senAº= 99.55 mts.
Atan(h/x)=48.46=<Aº ok
S=(a+b+c)/2=338.28
Area=((S-a)(S-b)(S-c))^.5=15181.31 mts^2
Area=a^2.senBº.senCº/(2.senAº)=15181.31
Area=a.b.senCº/2=15181.31 mts^2
Area=c.h/2=15181.31 mts^2
a/senAº=319 b/senBº=319 c/senCº=319 0k
principals ecuaciones de los triangulos planos
por Alfonso Játiva Gómez

Alfonso Jativa Gomez

REDES ELECTRICAS
Tendidos de Cables y perdidas de Potencia

DATOS:
V= 50.000 voltios (tensión del generador)
E= .99 eficiencia = 99% (de las redes eléctricas)

Dv=(1-.99)*V= 500 voltios (perdida de voltaje)

F=50.000 feet (largo de las líneas) = distancia
Kw= 10.000 Kilowatts (potencia máxima)

Hp=10.000*1000/ 737=13.568 horse power
A=I=amperes=1000Kw/(V-Dv)= 202.02 amps.
Mc=A*2F*10.8/(Dv)= 436363 circulars mills
O=Mc^.5/1000 =.660” plg. diam., de los cables
R=Ohms de las líneas=2F*/(Mc/1000)=229 ohms
r=Ohms= Dv/A= 2.48 ohms resistencia eléctrica

Otras ecuaciones eléctricas

I=V/R= amps=volts/ohms W=watts
I*V=W=watts R*I^2=W V^2/R=W
W/1000= Kw W/ 736= Hp= horse power
1 Hp= 75 Kilogrametros 75 =736/ 9.81
75 Kgm *9,81 =736 watts = 1 Hp
1 watts = .24 calorias

Por Alfonso Játiva Gómez

Alfonso Jativa Gomez

TRIANGULO DE NAVEGACIÓN
… para Sextante y Cronometro

GMT= Greenwich mean time=5.30’=5.5=
O= 10. 30’ am=10.5 horas (hora local)
Diferencia con GMT=5 horas=10.5-5.5 h
L=latitud (obligda conocerla prox.)=8.9º N
(caso este sólo para antes del medio día)<12h
G=(10.5+5-12)*15=52.5 GHA decl Sol=14ºd
<º de Sextante con el Sol=54º45’=54.75º
90º-<º54.75º=c 90º-d=76=a 90º-L=b=81.1
p=(a+b+c)/2=96.175
K=Atan((sen(p-a)sen(p-b)sen(p-c)/senp)^.5)
K=15.685220
<AH=H=Atan(tank/(sen(p-c))*2=35,62º
Si la hora local es am se suman: G+H=Fix
G+H=52.5º+35.6 2º=88.12º al Oeste de Greenwitch
Si la hora local fuera pm se restan
Si funcionmos sin hora local then:
G=(GMT-12)*15 =?y el Sol estaría en este particular caso al Este de Greenwich.

por Alfonso Játiva Gómez

Alfonso Jativa Gomez

CORREGIDA…..OJO
UNA FORMA FACIL…, de ubicar la Longitud en alta Mar: Atlántico o Pacifico

Datos que son indispensables:

O=GMT=15h 30’=15.5 hora de Grenwich

A=altura de sextante del Sol=55.62º

D=declinación del Sol= 14º15’=14.25º por el Almanaque Naútico (del año en curso)

L=8.99º=Latitud se conoce facil a la hora meridiana, pero eso es otra historia (siempre hay que conocerla)

G=(15.5-12)*15=52.50 º West of Grenwich (Sol)

CORRECCION de la anterior…..abajo
H=90º-Asin(sinA-sinD*sinL)/(cosD*cosL))=34.72º West of Grenwich
… si la hora local es am (antes que el Sol alcance su Zenith) then:
Fix= G+H=87.22º West Grenwich Lat=8.99º N

… si l hora local fuese pm then: G-H…?

Como se vera la cosa es muy sencilla…!

por Alfonso Játiva Gómez

Alfonso Jativa Gomez

CALCULOS PARA YATES
… con respecto a la Potencia, las rpm y el Diametro
de las Helices

DATOS:
P=hp=1oo

Si rpm=R=3500
Solve(P=.068(1000/9.81)(R/60)^3*D^5)

then: si P=100 R=3500 rpm. then D=0.353 mts
D= dim., de la helice

F=.095(1000/9.81)(R/60)^2*D^4=509 kgs (empuje)

V=.7(R/60)D=14.40 mts/Segundo velocidad (lancha)
(3600V/1000)/1.85=28.02 millas por hora

Coef. De empuje=F/(1000/9.81*(R/60)^2D^4=0.095

Q=agua desplazada=3.14D^2/4*V=1.41 mts^3

1000Q=1410 kgs de agua dulce Ojo:p=3.1416

U=-(v1)+((v1)^2+8F/((1000/9.81)pD^2/4))^.5=
U= estela del agua que desplaza la hélice

<V= (v1+v4)/2

Por Alfonso Játiva Gómez

Alfonso Jativa Gomez

COMO CALCULAR LA POTENCIA.., de un Barco, según su tonelaje “Tons” y su velocidad “V”
en “Knots” (millas por hora), además de su largo “LWL” en feet. =L

Valores de “K” según Largo en feet (pies) en el LWL
Largo en feet Valores de K
30’ 70=K
50’ 95=K
75’ 120=K T=toneldas V=knots
100’ 150=K
200’ 200=K V= velocidad en Knots (millas
300’ 250=K por hora)
400’ 345=K P= HP=potencia
600’ 400=K Ojo: se puede sacar por Grafica
800’ 500=K Estadística

Datos: Tons=500 V=12 knots L=100’ then K=150

P=horse power=P=T^(2/3)*V^3/K=725 hp.

La Grafica: y=8.7522X^.60148

U=Mts/seg=1.85V*1000/3600=6.17 mets. Seg=U
F=75P/U=8826 kgs. R=rpm=300
D=dim. de la Helice en mts.=
D=(F/(1000/9,81*(R/60)^2))^.25=1.36 mts.
A=area aprox. de la sección transversal=
A=2*75P/(1000/9.81*U^2)=28 mts^2

Por: Alfonso Játiva Gómez

Alfonso Jativa Gomez

CALCULOS DE UN EJE

Según Potencias= “HP”, revoluciones “RPM”=R
L=Largo del eje, factores de seguridad, etc.,

DATOS:
P=HP=450 R=RPM=750 L=120” plg
Ojo: p=3.1416 G=12000000 57.3= un radian
<Oº=O=ángulo de torsión J=mon. Inercia Polar

Oº=Solve(63000P/R)L/(G(p((125P/R)^((1/3)))^4/32))*
57.3=.7º=<º de torsión en el Eje

D=diam. eje=(125P/R)^(1/3)=4.22” plg
J=pD^4/32=31.05 plg^4
I=pD^4/64=15.53 plg^4
E=29000000 G=12000000
T= Torsión=63000P/R=37800 lbs.plg

Oº=TL/(GJ)*57.3=.7º <º de torsión
A=Area=pD^2/4=13.97 plg^2
Q=peso del eje=.2841AL=476 lbs
M=Mf=QL/8=7142 lbs.plg (momento flexionnte)
S=psi (pounds square inch)=6000

New D=D=(16/S*(M^2+T^2)^.5)^(1/3)=4.68”
y=dfx=5QL^3/(384EI)=.024” ok
V=Velocidad Critica=9.54(386/y)^.5=1215 rpm

Por Alfonso Játiva Gómez

Alfonso Jativa Gomez

NAVEGANDO CON ESTRELLAS
y logrando a Aries sin el “Almanaque Náutico”
…, aunque se le recomienda a todo Navegante tener uno actualizado.

DATOS: Antares N=días del año (transcurridos)
L=Latitud=9.00º GMT=3.7 am=O
S=”Sideral hour angle” (de l estrella)=113º
D= declinación de la Estrella=-.26º Sur
A=Sextante=38.24º (lectura)

T=(O*1.002738+(N*.0657098-17.366410))*15=-51.08
T= Meridiano de Aries=-51.08 al Este de Grenwich

Estrella: (según tabla de Stars no actualizada
Antares: S=113º D= Sur 26º =-26º
U=-51.08+113=61.92º W =(meridiano de Antares)
A=sextante=38.24º (lectura)

H=90º-(Asen(senA-senDsenL)/(cosDcosL)))=45.88º

Ojo: como Antares estaba al Este se suma U+H=
U+H=107.79º West of Grenwich
Ojo: si Antares hubiese estado al Oeste se restarían

Then: nuestro Fix=107.79º W, Lat=9.00º Norte

(como esto es solo un ejercicio las coordenadas de
Antares no están actualizadas al “centavo”).

Por: Alfonso Játiva Gómez

Alfonso Jativa Gomez

Sistema Gravitacional Solar-Planetario establecido por Galileo, Keppler y Newton
más tarde ajustado por Einstein (relatividad)

G=6.67E-11 constante gravitacional Newton
MS= masa Sol=2E30 kgs
Ojo:p=3.1416 E=exponente
MT= masa Tierra=5.98E24 kgs
D= dist. Sol-Tierra=1.5E11 mts.
V=(G(MS)/D)^.5=29828 mts. seg.=veloz
O=orbita de la Tierra=2pD=9.42E11 mts.
Tiempo recorrido=O/(24*3600*V)=365.7 días
Potencia=G(MS)(MT)/D^2=3.55E22 watts
Gravedad del Sol en la Tierra=G(MS)/D^2=.059 mts/seg=gSol
R=(6(MT)/(p5500))^(1/3)/2=6378000 mts=radio de la Tierra
Velocidad escape=(9.81*2R)^.5=11187 m/s
Gravedad= G(MT)/R^2=9.81 m/s
Area Tierra=p(2R)^2=5.11E14 mts^2
=4pR^2=5.11E14 mts^2
(MS)/(MT)=334448 veces más pesado el Sol

Procesado por Alfonso Játiva Gomez

Alfonso Jativa Gomez

TRIANGULOS ESFERICOS
<Aº, <Bº,<Cº= angulos con la Superficie de la Esfera <Aº+<Bº+180º
<aº, <bº, <cº=angulos con el centro de la Esfera<180º, o lados del triangulo en grados
<Aº=58.16º, <Bº=42.49º,
El angulo <cº=134.05º,(que los une al centro)
<Cº=Acos(-cosA.cosB+(senA.senB.cosc)=
=150,00º=<Cº de superficie
<aº=Acos((cosa-(-cosB.cosC)/(senB.senC)) =97.39º (con el centro de la esfera)
<bº=Acos((cosB-(-cosA.cosC)/(senA.senC))
=52.04º
Senc/senC=senb/senB=sena/senA (idem)
then: <Aº+<Bº+<Cº=242,65º
Exceso=242.65º-180.00º=62.65º

Area=3.14(3438^2*62.65)/180=12923839 millas nauticas cuadradas (superficie)

<hº=Asen(senA/senb)=42.06º altura
<xº=Atan(cosA/ctgb)=34.07º
<bº=Acos(cos.h*cos.x)=52.04º

por: Alfonso Játiva Gómez

Alfonso Jativa Gomez

RAJOY ES ZORRO SABIO Y VIEJO, de Ermita y Campanario, que mucho aprendió de sus viejos y Santurrones Maestros… Golpe político: Cortar presupuestos, botar parásitos, cerrar anexos y subirle las subvenciones a la Iglesia y otras prebendas… Se tiene lo que se paga y Dios es muy caro para los Gobiernos; pero no para los pobres, honestos y buenos!.
Su plan de Gobierno es austero, sabio y responsable, y no es en si de Rajoy sino de la Santa Iglesia, que la está pagando y mereciendo. Pues su política huele a sensatez y prudencia y a cera, velas e incienso… Oh brujo certero!…
Que la Iglesia sabe más de Política y Sociología, que de Religión o Teología y sin ella mal se gobierna y deforman las familias… De donde Rajoy entonces está pagando y comprando Clero, seriedad, gravedad; Ley, Férula y mano dura; Y no sólo para España sino para toda Europa que la necesita con urgencia, por Atea y Hedonista!.
…Y yo estoy seguro que el Gobierno de Rajoy, va a ser doloroso, pero sano, Santo y Glorioso… Pues no hay un pueblo más anárquico y hedonista que el español, cuando esta sin rienda…
Alfonso Játiva Gómez

emulenewsemulenews

Alfonso, lo siento, pero varios lectores me han dicho que tus comentarios no son de su agrado. Así que a partir de ahora consideraré tus comentarios como spam

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