Laudationes de las medallas Fields 2010

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Harry Furstenberg nos ha contado las contribuciones del Medalla Fields 2010 Elon Lindenstrauss. Elon es especialista en teoría ergódica y sus aplicaciones en teoría de números. Harry ha destacado su aproximación a la conjetura de Littlewood (c. 1930) y su teorema que demuestra que el conjunto de los contraejemplos de esta conjetura, si existen, tienen medida nula (publicado en Manfred Einsiedler, Anatole Katok, Elon Lindenstrauss, “Invariant measures and the set of exceptions to Littlewood’s conjecture,” Ann. of Math. 164: 513–560, 2006 [gratis en ArXiv]). También ha destacado su teorema sobre la unicidad de la ergocidad cuántica (Elon Lindenstrauss, “Invariant measures and arithmetic unique ergodicity,” Ann. of Math. 163: 165-219, 2006 [gratis en CiteSeerX]). PS: Philip Gibbs nos cuenta una curiosa anécdota en “A Fields Medal for Elon Lindenstrauss,” viXra log, August 19, 2010, que Lindenstrauss cumplió 40 años el 1 de agosto de 2010. Quizás sea el primer Medalla Fields que recibe el premio tan ajustado. Según Philip son buenas noticias para Manjul Bhargava que cumplirá 40 años el 8 de agosto de 2014, por lo que aún tiene oportunidad de lograr una Medalla Fields.

James Arthur nos ha contado las contribuciones del Medalla Fields 2010 Ngô Bao Châu. Las contribuciones de Ngô son bien conocidas: demostró en 2009 el Lema Fundamental de la conjetura (o programa) de Langlands para grupos reductivos, ya lo había hecho para grupos unitarios con G. Laumon. Hasta TIME se hizo eco de este resultado (uno de los 10 hitos científicos del 2009). Los artículos en los que se presenta este resultado son G. Laumon, B. C. Ngo, “Le lemme fondamental pour les groupes unitaires,” ArXiv, 26 Apr 2004 (99 pages), y Ngo Bao Chau, “Le lemme fondamental pour les algebres de Lie,” ArXiv, 3 Jan 2008 (197 pages). Estos resultados matemáticos son bastante técnicos para mí y conectan la teoría de números con la teoría de representación de grupos. El programa de Langlands es una de las ramas más difíciles de las matemáticas ya que requiere dominar muchos campos diferentes simultáneamente, pero tiene muchas aplicaciones en física teórica, en teoría de cuerdas, claro. Ahora mismo hay una miniconferencia en el KITP sobre este tema “Langlands-Type Dualities in Quantum Field Theory (August 9-27, 2010),” en el que podéis ver vídeos de las charlas, incluidas dos de Edward Witten, “A New Look At The Path Integral Of Quantum Mechanics” y “Fivebranes and Knots.”

Harry Kesten nos ha contado las contribuciones del Medalla Fields 2010 Stanislav Smirnov. Ha destacado su trabajo en la teoría de la percolación, una teoría que está logrando dar rigor matemático a muchos resultados de la física estadística (publicaciones en ArXiv). Harry ha empezado destacando el trabajo reciente de Hugo Duminil-Copin y Stanislav Smirnov, “The connective constant of the honeycomb lattice equals $latex \sqrt{2+\sqrt{2}}$,” ArXiv, 4 Jul 2010. Las contribuciones más famosas de Smirnov son relativas a la fórmula de Cardy para el valor de los exponentes críticos en la teoría de la percolación para redes triangulares, que utilizó técnicas de invarianza conforme y que ha sido ampliamente citado (publicado en S. Smirnov, “Critical percolation in the plane: Conformal invariance, Cardy’s formula, scaling limits,” Comptes Rendus de l’Académie des Sciences – Series I – Mathematics 333: 239-244, 1 August 2001 [gratis en PS, aquí una versión más larga]). El teorema de Smirnov demostró (estaba conjeturado por Aizenman) que la invarianza conforme es clave para el estudio de la percolación en redes bidimensionales y ya constituye parte de cualquier libro de texto sobre teoría de la percolación (recomiendo Béla Bollobás, Oliver Riordan, “Percolation,” Cambridge University Press, 2006 [323 páginas], cuyo capítulo 7 discute el teorema de Smirnov en detalle).

Horng-Tzer Yau nos ha contado las contribuciones del Medalla Fields 2010 Cédric Villani. Destacado físico matemático especializado en teoría cinética, la ecuación de Boltzmann y el estudio matemático del concepto de entropía. La entropía fue introducida por Carnot y Clausius de forma intuitiva y por L. Boltzmann de forma rigurosa gracias a la física estadística del equilibrio. Todavía no conocemos la solución a la cuestión fundamental: la conexión entre la naturaleza de la entropía y la flecha del tiempo. J. von Neumann recomendó a C. Shannon el uso del término entropía en su teoría de la información porque “nobody knows what entropy really is, so in a debate you will always have the advantage.” Las soluciones de la ecuación de Boltzmann son irreversibles, la entropía no decrece y aparece una flecha del tiempo, pero la mecánica clásica que subyace a las colisiones entre partículas que modela la teoría cinética es una teoría reversible. El secreto de la entropía puede que se encuentre en el análisis matemático riguroso de la ecuación de Botlzmann, una ecuación en derivadas parciales no lineal muy difícil de estudiar. Hay dos grandes problemas aún abiertos. Por un lado, el problema de regularidad, ¿son diferenciables las soluciones de la ecuación de Boltzmann para una condición inicial suficientemente diferenciable?, y por otro lado, ya que el teorema-H de Boltzmann que afirma que la entropía no decrece, queda por saber ¿cuán rápido las soluciones de la ecuación de Boltzmann se acercan a los estados (maxwellianos) de equilibrio? Este segundo problema es en el que Villani ha hecho importantes contribuciones. En 1936, Lav Landau aplicó la teoría cinética de las colisiones a la física de plasmas y obtuvo la ecuación de Landau-Fokker-Planck que observó que los estados de equilibrio se podían relajar incluso si la entropía no crecía. Un concepto revolucionario que Landau estudió utilizando la versión lineal de la ecuación de Vlasov-Poisson. Villani y Clément Mouhot han logrado extender los resultados de Landau a la ecuación no lineal de Vlasov-Poisson, demostrando varias conjeturas del propio Landau. El propio Villani ha publicado un curso sobre “Landau damping,” Cemracs 2010 program on plasma physics and mathematic of ITER. Villani tiene muchas otras publicaciones relevantes sobre estos temas, entre las que habría que destacar F. Otto, C. Villani, “Generalization of an Inequality by Talagrand and Links with the Logarithmic Sobolev Inequality,” Journal of Functional Analysis 173: 361-400, 1 June 2000 [PDF gratis].

Gil Kalai nos ha contado las contribuciones del Premio Nevanlinna 2010 Daniel Spielman. Destacado informático y matemático especializado en la teoría de la complejidad de algoritmos, donde ha introducido nuevas técnicas llamadas análisis diferenciable (smooth analysis). Normalmente la complejidad de un algoritmo (el costo de ejecutarlo) se estudia en el peor caso. La complejidad en el peor caso es el número de operaciones necesarias para resolver el algoritmo para los datos “excepcionales” en los que el algoritmo encuentra más dificultades. En la práctica la complejidad en el peor caso aporta poca información y es más intersante estudiar la complejidad computacional de un problema seleccionado aleatoriamente, pero los problemas en la práctica no son aleatorios. Spielman ha introducido técnicas de análisis que permiten estudiar la complejidad para un problema aleatorio perturbado, con una perturbación pequeña (este tipo de análisis se encuentra a la mitad entre un análisis en el peor caso y un análisis en el caso medio). Este tipo de problemas se parecen más a los problemas que se encuentran en la práctica que los problemas aleatorios. Spielman ha estudiado la complejidad computacional del método del símplice para la resolución de problemas de optimización lineal (maximizar o minimizar una función lineal satisfaciendo un conjunto de desigualdades lineales). Kalai ha mencionado en su charla el resultado reciente del español Francisco Santos (que ha refutado la conjetura de Hirsch). La complejidad del método del símplice para un problema aleatorio se sabe que es polinómica, sin embargo, Spielman ha demostrado que ciertas perturbaciones de un problema aleatorio conducen a una complejidad no polinómica (publicado en D. Spielman, S.-H. Teng, “Smoothed analysis of algorithms: why the simplex, algorithm usually takes polynomial time,” Journal of the ACM 51: 385-463, 2004 [gratis en ArXiv]). También hizo con anterioridad contribuciones en el campo del análisis matemático de códigos correctores de errores (D.A. Spielman, “Linear-time encodable and decodable error-correcting codes,” IEEE T. on Information Theory 42: 1723-1731, Nov 1996 [gratis en CiteSeer]).

Ingrid Daubechies nos contará mañana día 20 las contribuciones del Premio Gauss 2010 Yves Meyer. Meyer es indiscutiblemente el padre de la Teoría de Ondículas (Wavelets) y Análisis de Multirresolución de enorme repercusión no solo en matemáticas sino también en múltiples campos aplicados, desde la ingeniería a la economía, pasando por la física, geofísica, tratamiento digital de imágenes, etc. Pero Meyer también trabajó en otros temas con anterioridad. Ingrid nos resume su carrera en las siguientes etapas: Análisis Armónico y Teoría de Números (1964-1973), Operadores Integrales Singulares y Teoría de Calderón (1974-1984), Procesado de Señales y Tratamiento de Imágenes (1983-1993), Ecuaciones de Navier-Stokes (1994-1999), y su trabajo más reciente se ha centrado en Ecuaciones de Evolución No Lineales.

Finalmente, Yan Yan Li, también mañana, nos contará las contribuciones del Medalla Chern 2010 Louis Nirenberg (este premio está dotado con 250 000 dólares). El trabajo de Nirenberg en el estudio de las ecuaciones elípticas no lineales está fuera de toda duda y además ha sido motor de toda una generación de analistas en el mundo entero. Nunca recibió la Medalla Fields, pero está considerado uno de los mayores analistas del s. XX, ya cuenta con 95 años a sus espaldas. En 1953, a partir del trabajo de su tesis doctoral en 1949, resolvió dos problemas clásicos de Weyl y Minkowski. También en 1953 extendió el método del principio del máximo a ecuaciones elípticas no lineales (hoy estándar en todo libro de texto sobre la materia). A los interesados en detalles sobre su vida y obra les recomiendo la entrevista de Allyn Jackson, “Interview with Louis Nirenberg,” Notices of the AMS, April 2002, pp. 441-449. Se organizó en Toledo un workshop en honor de Peter D. Lax y Louis Nirenberg, “Recent advances in nonlinear partial differential equations and applications,” June, 7-10, 2006, Toledo, Spain, al que asistieron gran número de investigadores españoles de reconocido prestigio que no son matemáticos como Amable Liñán y Javier Jiménez (Actas en Google Books).

PS: En relación al trabajo técnico de los 4 nuevos Medalla Fields recomiendo la entrada del genial Terence Tao, “Lindenstrauss, Ngo, Smirnov, Villani,” What’s New, 19 August, 2010, que como siempre, lo borda.


2 Comentarios

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JorgeJorge

No estoy en condiciones de hacer un comentario, pero no conocía vuestro sitio y me resulta muy interesante, más allá de las dificultades inherentes a la materia ya que no soy matemático profesional, sólo un aficionado curioso.

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