Según un estudio publicado en Science, no reduciría el número de errores arbitrales. Si los dos árbitros están de acuerdo, no hay problema. Si no lo están, pueden negociar entre ellos, pero si tras negociar tampoco se ponen de acuerdo, es imposible saber quién tiene razón. La decisión del árbitro está basada en sus percepciones sobre la jugada y está sujeta a cierto nivel de ruido sensorial. La cantidad de ruido depende de la situación particular (distancia a la jugada, condiciones de iluminación, etc.). El árbitro con menor ruido sensorial será el que se equivocará menos, pero cómo saber quien es. El estudio de Bahador Bahrami (University College, Londres) y sus colegas indica que los humanos no somos capaces de comunicar a los demás el grado de confianza que tenemos en nuestras propias decisiones, ya que no sabemos estimar el nivel de ruido sensorial que ha afectado a dichas decisiones. Según estos investigadores, dos árbitros yerran menos que uno solo, sólo si se informa a los árbitros, de alguna forma, del nivel de ruido estimado en su decisión. Además, convendría instruir a los árbitros sobre la forma correcta de agregar (combinar) dicha información. Los humanos no sabemos agregar información con ruido y debemos ser instruidos para ello. Sin un curso de matemáticas y sin adelantos tecnológicos que asesoren a los árbitros, la mejor decisión para la FIFA es seguir usando un único árbitro (apoyado por los árbitros asistentes o jueces de línea, claro). Nos lo cuenta Marc O. Ernst, «Behavior: Decisions Made Better,» Perspectives, Science 329: 1022-1023, 27 August 2010, que se hace eco del artículo técnico de Bahador Bahrami, Karsten Olsen, Peter E. Latham, Andreas Roepstorff, Geraint Rees, Chris D. Frith, «Optimally Interacting Minds,» Science 329: 1081-1085, 27 August 2010.

La figura que abre esta entrada ilustra el caso de que los dos árbitros no estén de acuerdo sobre si el esférico ha entrado o no en la portería. Cada uno opina que el balón ha alcanzado una distancia (d_i) respecto a la línea de gol, sea d₁>0 (fuera) y  d₂<0 (dentro). Un sistema independiente informa a los árbitros que la incertidumbre (ruido) en sus decisiones viene dado por una distribución de probabilidad gaussiana con una desviación típica dada (σ_i). Según el estudio de Bahrami y sus colegas, los humanos tendemos a apreciar nuestra certeza sobe la decisión con el cociente z_i = d_i/σ_i. Durante el proceso de negociación, tendemos a tomar como decisión de consenso usando el valor de la expresión d₁/σ₁ + d₂/σ₂, de tal forma que si este valor es positivo la decisión será la del árbitro 1, balón fuera, y si es negativo la del árbitro 2, balón dentro. Sin embargo, la teoría matemática de la probabilidad afirma que está manera de combinar la incertidumbre no es correcta. La manera correcta de ponderar la incertidumbre es utilizar la expresión matemática d₁/(σ₁)² + d₂/(σ₂)². Esta regla permite tomar la decisión óptima, la que integra mejor la incertidumbre sensorial. Sin embargo, pedirle a un árbitro que aplique dicha fórmula matemática para ponerse de acuerdo con otro árbitro en pleno partido no tiene sentido. Más aún cuando para incertidumbres iguales, σ₁ ≈ σ₂, la expresión matemática correcta y la que aplicamos los humanos de forma intuitiva conducen al mismo valor. Bahrami y sus colegas demuestran en los experimentos de su artículo que incluso para σ₁ < 0’4 σ₂, la decisión de consenso intuitiva funciona bien. Eso sí, si de alguna forma los árbitros deben tener acceso a una estimación fiable de su grado de incertidumbre. No parece fácil lograrlo.