X Carnaval de Matemáticas: Una suma finita para calcular la función de partición

¡¿Una teoría que revela la naturaleza de los números?! Kanijo, “Nueva teoría revela la naturaleza de los números,” Ciencia Kanija, 21 ene. 2011, que traduce a Carol Clark, “New theories reveal the nature of numbers,” Emory University Research News, 20 jan. 2011, nos deja con la miel en los labios. Menos mal que Sarah C. Kavassalis, “Finite formula found for partition numbers,” The Language of Bad Physics, 20 Jan. 2011, nos aclara un poco el asunto (se hace eco de un EurekaAlert a partir de la noticia de Clark).

¿Qué es lo que ha hecho Ken Ono? Muy fácil, ha encontrado una expresión matemática con un número finito de términos para la función de partición. Una suma con un número finito de términos, en lugar de una serie con un número infinito de términos, como la famosa fórmula de Rademacher. ¿Es esto un avance importante en teoría de números? Sí, porque la función de partición aparece en muchos problemas tanto de matemáticas puras como aplicadas; la nueva fórmula promete muchas aplicaciones en física estadística, mecánica cuántica, e incluso teoría de cuerdas.

Kavassalis afirma que todo esto huele a Medalla Fields, no lo creo, hay que recordar que Ono supera los 40 (aunque sus coautores son más jóvenes). Aprovechando que organizo el X Carnaval de Matemáticas creo necesario aclarar algo todo este asunto, en la medida de mis posibilidades.

La función de partición p(n) cuenta el número de maneras de descomponer el número n como suma de enteros positivos (menores que n, claro) teniendo en cuenta que dos sumas que solo difieren en el orden de los sumandos se cuentan una sola vez. Pongamos un par de ejemplos. El número 4 se puede escribir de 5 formas, en concreto, 4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1, es decir, p(4)=5. El número 6 se puede escribir de 11 formas, en concreto, 6 = 5 + 1 = 4 + 2 = 4 + 1 + 1 = 3 + 3 = 3 + 2 + 1 = 3 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2 = 2 + 2 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1. Los primeros ocho valores de la función de partición aparecen en la figura de arriba, llamada diagramas de partición de Ferrer. La función de partición crece bastante rápido como muestran sus primeros valores: p(1)=1, p(2)=2, p(3)=3, p(4)=5, p(5)=7, p(6)=11, p(7)=15, p(8)=22, p(9)=30, p(10)=42, p(11)=56, p(12)=77, p(13)=101, p(14)=135, p(15)=176, …, p(100)=190569292, …, p(1000) = 24061467864032622473692149727991, …

En el siglo XVII, Leonhard Euler obtuvo la función generatriz de la función p(n), dada por

\displaystyle{}\sum_{n=0}^\infty{}p(n),q^n=\prod_{n=1}^\infty\frac{1}{1-q^n}.

Como bien dice Kanijo en su entrada, esta fórmula permite obtener un algoritmo recursivo para calcular p(n). Pero “el método es lento y poco práctico para números grandes. En los siguientes 150 años, el método sólo se implementó con éxito para calcular las primeras 200 particiones de números.

En 1918, Srinivasa Ramanujan y G.H. Hardy inventaron el “método del círculo” que permite obtener una aproximación asintótica a la función de partición. Ken Ono ha escrito sobre la historia de este descubrimiento en su recomendable artículo “The Last Words of a Genius.” El trabajo parte de un descubrimiento de Ramanujan, como muchos otros junto a Hardy. Para ciertos valores de n la función de partición se puede evaluar utilizando aritmética modular. Por ejemplo, p(5 m + 4) = 0 (mod 5), es decir, el resto de dividir p(5m+4) entre 5 es 0; de hecho p(4)=5, p(9)=30, p(14)=135, … Igualmente, p(7 m + 5) = 0 (mod 7), de hecho, p(5)=7, p(12)=77, etc., y p(11 m + 6) = 0 (mod 11), de hecho p(6)=11, p(17)=297, etc. Estas fórmulas se pueden generalizar a potencias de 5, 7 y 11, así como a ciertos otros números. El trabajo conjunto de Ramanujan y Hardy permitió obtener la aproximación asintótica para la función de partición dada por

\displaystyle{} p(n)\sim\frac{\exp(\pi\sqrt{2n/3})}{4n\sqrt{3}},\qquad{}n\rightarrow\infty.

En 1937, Hans Rademacher encontró una fórmula exacta para la función de partición basada en una serie infinita pero convergente; hay varias formas de escribir esta fórmula, yo copio aquí ésta

\displaystyle{}p(n)=\frac{1}{\pi\sqrt{2}}\sum_{q\ge{}1}\sqrt{q}A_q(n)\frac{d}{dn}\frac{\sinh(K_q\lambda_n)}{\lambda_n},

\displaystyle{}K_q=\frac{\pi}{q}\sqrt{\frac{2}{3}},

\displaystyle{}\lambda_n=\sqrt{n-\frac{1}{24}},

\displaystyle{}A_q(n)=\sum_{p~\rm{mod}(q)}\omega_{pq}\exp(-2i\pi{}n\frac{p}{q}).

Como esta serie es convergente, para evaluarla numéricamente basta truncarla con un número suficiente de términos como para garantizar que su valor redondeado al entero más próximo no cambia debido al resto de los términos. De hecho, hay cotas al error que se comete que ayudan a utilizar esta fórmula en la práctica. Aún así, lidiar con una serie infinita en múltiples aplicaciones tiene ciertos inconvenientes.

¿Qué es lo que han logrado Ken Ono y sus colegas? En 2007 obtuvieron una fórmula para calcular p(n) que tiene solo un número finito de términos. En concreto la fórmula es

\displaystyle{}p(n)=\frac{1}{24n-1}\sum_{Q\in\cal{Q}_n}P(\alpha_Q),

donde P(z) es una forma débil de Maass; por lo que parece demuestran en el nuevo artículo de 2011 que su expresión también se puede evaluar con un número finito de sumandos, pero mis parcos conocimientos en estos tópicos no me permitirán entender con detalle por qué es así. De hecho, la representación de esta función que presentan los autores en el artículo de 2007 es en forma de serie infinita, pero cuando la evalúan en un ejemplo concreto resulta que la convierten mágicamente en una expresión con un número finito de sumandos. En el nuevo trabajo, parece ser, han logrado demostrar que eso siempre es posible utilizando una expresión matemática recurrente que los autores afirman que tiene una forma “fractal” (funciones l-ádicas fractales, les llaman). Ayer 21 de enero dieron una conferencia técnica sobre el nuevo trabajo que el lunes próximo aparecerá en forma de preprint. Habrá que estar al tanto, aunque no creo que yo sea capaz de entender los detalles.

Espero haber aclarado un poco el asunto. El trabajo previo de estos autores es muy técnico para mí. Los interesados en más detalles podrán ver la demostración de la nueva fórmula obtenida en 2007 por Jan Hendrik Bruinier y Ken Ono en “An algebraic formula for the partition function,” y un trabajo posterior sobre las congruencias de Ramanujan y su relación con la nueva fórmula “fractal” en Amanda Folsom, Zachary A. Kent y Ken Ono, “l-adic properties of the partition function.” En qué avanza el trabajo que se publicará el lunes próximo sobre este último trabajo, habrá que esperar al lunes para saberlo.

6 Comentarios

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FFSFFS

De verdad, sin guasa:¿ no es p(2)=1 y p(3)=2? Que a mi leer un articulo tuyo me cuesta un buen rato… Hasta que abandono sin entender nada

emulenewsemulenews

FFS, quizás lo veas mejor de esta forma: p(2)=2 porque 2 es igual a 2+0 y a 1+1; p(3)=3 porque 3 es igual a 3+0+0, a 2+1+0, y a 1+1+1; y p(4)=5 porque 4 es igual a 4+0+0+0, a 3+1+0+0, a 2+2+0+0, a 2+2+1+1, y a 1+1+1+1.

espaidualespaidual

éste dibujo (las piezas de tetris) corresponde a un subconjunto de los llamados lattice animals de dimension 2. Son muy importantes a la hora de estudiar las posibles configuraciones de clusters pequeños. Hay para linux una version del Tetris que usa piezas de hasta 7 unidades, creo, i lo que hace es explorar todos los posibles lattice animals en esa dimensión (son los que aparecen aquí más las permutaciones de filas y columnas)

Al principio pensé que el articulo trataba de ésto pero por lo que veo es un estudio mucho más matemático (y es que a estos matematicos no les basta que las cosas funcionen …)

emulenewsemulenews

Gracias, Raúl, tienes razón. He corregido la fórmula en la entrada (por cierto, he verificado con Mathematica que la fórmula de la wiki que indicas es correcta).

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