X Carnaval de Matemáticas: Una suma finita para calcular la función de partición

¡¿Una teoría que revela la naturaleza de los números?! Kanijo, “Nueva teoría revela la naturaleza de los números,” Ciencia Kanija, 21 ene. 2011, que traduce a Carol Clark, “New theories reveal the nature of numbers,” Emory University Research News, 20 jan. 2011, nos deja con la miel en los labios. Menos mal que Sarah C. Kavassalis, “Finite formula found for partition numbers,” The Language of Bad Physics, 20 Jan. 2011, nos aclara un poco el asunto (se hace eco de un EurekaAlert a partir de la noticia de Clark). ¿Qué es lo que ha hecho Ken Ono? Muy fácil, ha encontrado una expresión matemática con un número finito de términos para la función de partición. Una suma con un número finito de términos, en lugar de una serie con un número infinito de términos, como la famosa fórmula de Rademacher. ¿Es esto un avance importante en teoría de números? Sí, porque la función de partición aparece en muchos problemas tanto de matemáticas puras como aplicadas; la nueva fórmula promete muchas aplicaciones en física estadística, mecánica cuántica, e incluso teoría de cuerdas. Kavassalis afirma que todo esto huele a Medalla Fields, no lo creo, hay que recordar que Ono supera los 40 (aunque sus coautores son más jóvenes). Aprovechando que organizo el X Carnaval de Matemáticas creo necesario aclarar algo todo este asunto, en la medida de mis posibilidades.

La función de partición p(n) cuenta el número de maneras de descomponer el número n como suma de enteros positivos (menores que n, claro) teniendo en cuenta que dos sumas que solo difieren en el orden de los sumandos se cuentan una sola vez. Pongamos un par de ejemplos. El número 4 se puede escribir de 5 formas, en concreto, 4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1, es decir, p(4)=5. El número 6 se puede escribir de 11 formas, en concreto, 6 = 5 + 1 = 4 + 2 = 4 + 1 + 1 = 3 + 3 = 3 + 2 + 1 = 3 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2 = 2 + 2 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1. Los primeros ocho valores de la función de partición aparecen en la figura de arriba, llamada diagramas de partición de Ferrer. La función de partición crece bastante rápido como muestran sus primeros valores: p(1)=1, p(2)=2, p(3)=3, p(4)=5, p(5)=7, p(6)=11, p(7)=15, p(8)=22, p(9)=30, p(10)=42, p(11)=56, p(12)=77, p(13)=101, p(14)=135, p(15)=176, …, p(100)=190569292, …, p(1000) = 24061467864032622473692149727991, …

En el siglo XVII, Leonhard Euler obtuvo la función generatriz de la función p(n), dada por

sum_{n=0}^infty p(n),q^n = prod_{n=1}^infty frac{displaystyle 1}{displaystyle 1 - q^n}.

Como bien dice Kanijo en su entrada, esta fórmula permite obtener un algoritmo recursivo para calcular p(n). Pero “el método es lento y poco práctico para números grandes. En los siguientes 150 años, el método sólo se implementó con éxito para calcular las primeras 200 particiones de números.

En 1918, Srinivasa Ramanujan y G.H. Hardy inventaron el “método del círculo” que permite obtener una aproximación asintótica a la función de partición. Ken Ono ha escrito sobre la historia de este descubrimiento en su recomendable artículo “The Last Words of a Genius.” El trabajo parte de un descubrimiento de Ramanujan, como muchos otros junto a Hardy. Para ciertos valores de n la función de partición se puede evaluar utilizando aritmética modular. Por ejemplo, p(5 m + 4) = 0 (mod 5), es decir, el resto de dividir p(5m+4) entre 5 es 0; de hecho p(4)=5, p(9)=30, p(14)=135, … Igualmente, p(7 m + 5) = 0 (mod 7), de hecho, p(5)=7, p(12)=77, etc., y p(11 m + 6) = 0 (mod 11), de hecho p(6)=11, p(17)=297, etc. Estas fórmulas se pueden generalizar a potencias de 5, 7 y 11, así como a ciertos otros números. El trabajo conjunto de Ramanujan y Hardy permitió obtener la aproximación asintótica para la función de partición dada por

p(n) sim frac{displaystyle exp(pisqrt{2 n/3})}{displaystyle 4 n sqrt{3}}, qquad nrightarrowinfty.

En 1937, Hans Rademacher encontró una fórmula exacta para la función de partición basada en una serie infinita pero convergente; hay varias formas de escribir esta fórmula, yo copio aquí ésta

p(n)=frac{displaystyle 1}{displaystyle pi sqrt{2}}sum_{qge 1}sqrt{q}A_q(n)frac{displaystyle d}{displaystyle dn} frac{displaystyle sinh(K_qlambda_n)}{displaystyle lambda_n},

K_q=frac{displaystyle pi}{displaystyle q}sqrt{frac{2}{3}}, lambda_n=sqrt{n-frac{1}{24}}, A_q(n)=sum_{p ~rm{mod}(q)}omega_{pq}exp(-2ipi nfrac{p}{q}).

Como esta serie es convergente, para evaluarla numéricamente basta truncarla con un número suficiente de términos como para garantizar que su valor redondeado al entero más próximo no cambia debido al resto de los términos. De hecho, hay cotas al error que se comete que ayudan a utilizar esta fórmula en la práctica. Aún así, lidiar con una serie infinita en múltiples aplicaciones tiene ciertos inconvenientes.

¿Qué es lo que han logrado Ken Ono y sus colegas? En 2007 obtuvieron una fórmula para calcular p(n) que tiene solo un número finito de términos. En concreto la fórmula es

p(n) = frac{displaystyle 1}{displaystyle 24 n -1}sum_{Qincal{Q}_n} P(alpha_Q),

donde P(z) es una forma débil de Maass; por lo que parece demuestran en el nuevo artículo de 2011 que su expresión también se puede evaluar con un número finito de sumandos, pero mis parcos conocimientos en estos tópicos no me permitirán entender con detalle por qué es así. De hecho, la representación de esta función que presentan los autores en el artículo de 2007 es en forma de serie infinita, pero cuando la evalúan en un ejemplo concreto resulta que la convierten mágicamente en una expresión con un número finito de sumandos. En el nuevo trabajo, parece ser, han logrado demostrar que eso siempre es posible utilizando una expresión matemática recurrente que los autores afirman que tiene una forma “fractal” (funciones l-ádicas fractales, les llaman). Ayer 21 de enero dieron una conferencia técnica sobre el nuevo trabajo que el lunes próximo aparecerá en forma de preprint. Habrá que estar al tanto, aunque no creo que yo sea capaz de entender los detalles.

Espero haber aclarado un poco el asunto. El trabajo previo de estos autores es muy técnico para mí. Los interesados en más detalles podrán ver la demostración de la nueva fórmula obtenida en 2007 por Jan Hendrik Bruinier y Ken Ono en ”An algebraic formula for the partition function,” y un trabajo posterior sobre las congruencias de Ramanujan y su relación con la nueva fórmula “fractal” en Amanda Folsom, Zachary A. Kent y Ken Ono, “l-adic properties of the partition function.” En qué avanza el trabajo que se publicará el lunes próximo sobre este último trabajo, habrá que esperar al lunes para saberlo.

13 Comentarios

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José Antonio Palos

Saludos Francis.
Al final podrá ver por que este post de la función patición tal vez merezca este comentario.
Acabo de leer:
http://www.tendencias21.net/La-infor..._a5278.html
Como verás en mi blog, “comulgo” con la primacia Genoformacinal Seldrakiana.
Entonces:
Si es la información la base del la configuración matérico energético que percibimos como realidad, es la memoria el medio de “acercarse” a ella.
Si suponemos que el presente, el momento del ahora, es solo “El acceso consciente a la Memoria de lo Experimentado”.
Es decir, primero percibo y luego memorizo, luego analizo y actuó en consecuencia, Ergo Evoluciono.
Si entonces es la percepción del cambio en función de la capacidad de memorizarlo y “traerlo” como “experiencia” y/o “mi-nuestra interpretación de la experiencia”, base de todos mis demás raciocinios, no importa si es en binario, hexa, octa, deca o doddecacimal y/o en modo semiológico o semiótico.
La pregunta:
Por que no racionalizar, logizar, filosofar y cientizar “desde” el incremento de la capacidad de memoria?
La Razón, la Ratio, es la base de toda lógica, filosofía y matemática, por lo menos desde Grecia, y la lógica-matemática base de de la teoría de conjuntos y la suma del tiempo al la Teoría de Conjuntos es la base de la teoría de Sistemas, base de la ciencia moderna, mas, si memoria, no hay razón, por lo menos para el espectador, como lo somos todos.
Entonces, si ubicamos la memoria como la base de la capacidad de homeosteasis, de auto regulación y el fundamento de la función del ADN y ARN, si suponemos que:
“Somos porque RECORDAMOS”.
Si entendemos que Cogito Ergo Sum, y “Cogito” porque puedo recordar que “EXISTE” algo que percibo como Ratio, como relación entre una o mas cosas y el tiempo, y UNA DE ESAS COSAS SOY YO, EL ESPECTADOR, podemos comprender el gran error de occidente en a interpretación renacentista ego-centrica de:
“El Hombre Es la Medida de Todas las Cosas”
Cuando podemos reationalizarla o recordarla en su mejor interpretación:
“En, Dentro del Hombre, SE ENCUENTRA, La medida de todas las Cosas”—
Entramos en holokinética pura, macro cosmos y microcosmos, El Todo en Uno-MI y el UNO-Yo en el Todo.
En esta idea, el lenguaje es medio, nunca destino.
Entonces, Siendo un factor desconocido el Tiempo en su aspecto futuro y en su aspecto como “Experimentacion ajana”, “La Memoria En-Del Otro”, es decir, siendo lo que desconocemos:
1.-El Futuro cualquiera, como memoria por llegar.
2.-La Experiencia del OTRO, Lo Vivenciado por y en Los Otros, como memoria ajena.
Se puede postular que Evolucionamos en un ciclo de expansión de acceso a la memoria en al VIGILIA, en expansion de la Conciencia, Conciencia como MENTE de VIGILIA, la que cuida lo que “pasa” como recuerdo deexperiencia en lo que llamamos realidad hacia la supestamente MENTE INCONCIENTE, que puede ser entendidad como la adminsitradora de la MEMORIA PROFUNDA, tal vez muy ligada a la Epigenómica, y esta EPIGENÖMICA como ANTESALA DEL ADN, la SUPER MEMORIA BIOLOGICA.
Si esto es correcto, podemos partir el tiempo en 4 partes, dos pasado y dos futuros.
1.-Mi pasado, (El acceso enzimático, celular, pro y eu-cariotico, vegetativo, simpático, parasimpático, subconsciente y de vigilia a mis experiencias, por eso irradio infrarrojo en el espectro lejano, mi nariz está en mi cara y puedo hablar, en español, acerca de lo que recuerdo creemos que es la información) y mi futuro, lo que recuero y lo que aun no recuerdo, pues no lo he experimentado…o no tengo acceso en vigilia a ELLO.
2.-El Pasado de los demás y el Futuro de los demás, lo anterior del punto uno a los demás.
Y si así se pude racionalizar, también se puede establecer que la ciclicidad, la armonía en el tiempo entre sucesos, la ratio inherente a los periodos de manifestación de la información en el proceso genoformativo como lo recordamos y lo podemos re-experimentar empíricamente se puede postular de manera diferente.
Es decir, podemos re-postular desde otro marco teórico, desde otra topología, desde otro punto de vista a los posibles escenarios, plantear desde otro paradigma el modo en que podemos racionalizar lo que percibimos y como lo analizamos y sintetizamos al recordarlo utilizando todos los aspectos de nuestra capacidad de recordar, desde todos los puntos de vista en los que accesamos en vigilia a nuestras memorias, lugar mismo donde radican todos nuestros axiomas, dogmas, miedos y paradigmas.
Esta otra forma tiene que ver con los descubrimientos del láser, la matemáticamente de los fractales, la holografía y la teoría del caos, de la coherencia y el entrelazamiento cuánticos, de las estructuras de Froolich y los nanotubos de carbono buky-balls del cito-esqueleto celular, de la bioferritamegnetita en el cristal liquido que son la sangre y la sabia con su agua clathrato o H2O37.
Podemos postular que accedemos a la evolución de una manera rítmica-oscilante holofractal acumulativa en el o en el sentido de el incremento de nuestra capacidad de acceder a la memoria en vigilia, en el incremento de la conciencia del ahora…y del futuro.
Es decir la vida avanza en ciclos saltos holofractales de incrementos de capacidad de acceso a las experiencias para o en función de la supervivencia, de la complejidad y la homeosteasis con relación del ecosistema cambiante, en todos los niveles de manifestación genoformacoinal.
Este proceso Genoformativo es holofractal ene el espacio y aparentemente, desde nuestro estado evolutivo estandar, “Atravez del discurrir de la flecha del Tiempo”.
En este sentido, se puede establecer una diferenciación, una relación-ratio holofractal entre los diferentes estados de evolución en el tiempo de los diferentes sistemas biológicos dependiendo de su capacidad de acceso en vigilia a la memoria de sus experiencias en el espacio tiempo.
El quark y el gluón, como sistemas, solo sabrían.recordarían, tendrian acceso a un cantidad mínima de memoria.
Del orden 3, X/Y Dimesional con una X siempre mayor que Y y una Y Tendiente a Cero y/o siempre menor a una cuarta parte de X (Recordemos que arbitrariamente partimos la cuarta dimensión, el tiempo, en 4).
El protozoo, en este paradigma, tiene mucho mas acceso a su memoria de sus experiencia en el tiempo, es mucho mas complejo, ya cuenta con ADN y lo usa en su VIGILIA con una cantidad significativamente mayor de acceso a su experiencia memorizada. Podríamos postular que oscila entre el 3,1/12 Dimensional.
Un delfín o un simio o primate sería muy difícil de diferencia de un humano estandar, pues:
¿Acaso no tiene lenguaje, no tiene emociones, fidelidad, sentimientos, ADN, ARN, Epigenética y es mamífero?
su acceso cociente-en vigilia a sus memorias de sus experiencias en el tiempo es muy similar al nuestro, aqui oscilando en el 3,1/4 Dimensional, se recuerda a si mismo, a los suyos, a los atacantes, sus códigos de comunicación, sus códigos biológicos de procreación e incluso envejece, como nosotros.
Aqui llegamos al limite de nuestra capacidad de acceso en vigilia a nuestra memoria estándar, en lo que corresponde a nuestra capacidad de interpretar el proceso genoformacional al cual pertenecemos en ese fantasma al que llamamos tiempo o 4a Dimensión dependiendo de lo que somos capaces de recordar en los oscilantes estados de conciencia llamados estados de vigilia, deseando que no nos falle el simpático ni el parasimpático, ni el sistema inmune, ni la digestión y que la alopecia deje de atacarnos
espero poder contestar algún interés de como se ha nombrado-clasificado histórica y místicamente al ser humano en un estado de percepción-recuerdo en vigilia en el estado evolutivo 3,1/2 D, 3/3/4 d y el mítico 3,11/42 Dimensional.
Para algunos nos es mas fácil pensar en una sola dimensión espacial-energético-matérica que se nos aparece en la vigilia como si TODO, cada cosa incluido uno mismo se estuviera desenvolviendo el el tiempo, relacionándose cada cosa con todo lo demás a través del tiempo en un caótico-determinista mas holofractal frenético y oscilante ritmo.
En este orden, la información se desenvolvería como fenómeno unidimensional evolutivo del 1/X Espacio Dimensional con respecto al tiempo, aquí como dimensión 2 como número entero.
Asi el quark y el gluón, el boson de Higs y los fotones, los neutrinos y gravitones, las unidades de mateaia oscura y de energia oscura serian 1/X espacio dimensionales con respecto al tiempo debido a su capacidad de acceso a su experiencia en el mismo tiempo, donde el valor X sería el entero equivalente al total de la suma de cada individualidad, de cada ladrillo individual, de cada mínimo escalable de cuantos de energía y materia oscura y energía y materia, siendo este numero entero finito y probablemente escalable, mas hasta el día de hoy, en nuestro estado de evolución como humanos (Oscilante en el 3,1/4 D estándar al tiempo o el 1/4 d para una sola dimensión espacio-energético-dimensional mas el tiempo, según E=mC2) y en el estado de la evolución de nuestros subproductos humanos como los son la filosofía, la ciencia y la tecnología, INCONMENSURABLE, mas no INFINITO.
Se podrán usar las aproximaciones de KEN OTO para aplicarse en el “dividendo inconmensurable” de la fracción que representa “cada ladrillo” que conforma la realidad de la información manifestada en el espacio como energía-materia y/o mismo espacio sobre el que percibimos deicurre el tiempo, y conforma nuestra idea estándar de capacidad de memoria y análisis?
Espero les sea de interés.
Todo el arte de hacer ciencia y la ciencia para hacer arte se instalan sobre:
“La capacidad que tenemos para poder saber que desconocemos”.
Re-interpretando a A. Einstein, en regiomantano.
http://nuevapiedraroseta.blogspot.com
Viva la Ratio!
Viva la Lógica!
Vivan las Matemáticas!

FFSFFS

De verdad, sin guasa:¿ no es p(2)=1 y p(3)=2? Que a mi leer un articulo tuyo me cuesta un buen rato… Hasta que abandono sin entender nada

emulenewsemulenews

FFS, quizás lo veas mejor de esta forma: p(2)=2 porque 2 es igual a 2+0 y a 1+1; p(3)=3 porque 3 es igual a 3+0+0, a 2+1+0, y a 1+1+1; y p(4)=5 porque 4 es igual a 4+0+0+0, a 3+1+0+0, a 2+2+0+0, a 2+2+1+1, y a 1+1+1+1.

espaidualespaidual

éste dibujo (las piezas de tetris) corresponde a un subconjunto de los llamados lattice animals de dimension 2. Son muy importantes a la hora de estudiar las posibles configuraciones de clusters pequeños. Hay para linux una version del Tetris que usa piezas de hasta 7 unidades, creo, i lo que hace es explorar todos los posibles lattice animals en esa dimensión (son los que aparecen aquí más las permutaciones de filas y columnas)

Al principio pensé que el articulo trataba de ésto pero por lo que veo es un estudio mucho más matemático (y es que a estos matematicos no les basta que las cosas funcionen …)

emulenewsemulenews

Gracias, Raúl, tienes razón. He corregido la fórmula en la entrada (por cierto, he verificado con Mathematica que la fórmula de la wiki que indicas es correcta).

OeLOeL

PARA JOSE ANTONIO PALOS: (con el permiso de Francis, porque es importante): Si lees esto, con todo cariño, debes saber que estás enfermo. Con alta probabilidad trastorno bipolar de tipo I, en plena fase denominada “maníaca”. Seguramente incluso ya estés diagnosticado, pero como suele ser habitual en este tipo de enfermedad, hayas dejado la medicación. Necesitas medicación psiquiátrica (estabilizadores del ánimo, sean estándares o atípicos) y apoyo psicológico. Apóyate en tu familia y amigos (y confía en tus médicos). Puedes salir y llevar una vida plena y normal. Tu enfermedad es como la diabetes u otra similar, y se puede controlar. Pero es imposible sin medicación y sin ayuda. Recibe un abrazo sincero.

José Antonio Palos

Hola OeL, seas lo que seas.
Es curiosos como incluso Jhon Madox, quién por mas de 20 años fue director de la revista Nature; La Eco-Nómica-Ley-Código-de-Hamurabi que habla y legitimiza lo que es cierto-legitimo en occidente científico; Madox como Investigador y publicista decía en los albores del Siglo XXI algo mas o menos así, (por la traducción al español de Juan Manuel Ibeas) en su edición de 1999, Serie; Pensamiento, Editoral Debate, “Conclusión”, Lo que nos aguarda:

“Este libro trata de la ciencia de hoy y del futuro.
Lo más destacable es que no existe ningún campo de la ciencia que esté libre de ignorancias flagrantes, incluso de contradicciones.
Siguen existiendo abundantes cabos sueltos, que a lo largo de la historia han dado origen a nuevas maneras de entender el mundo.
En semejantes circunstancias,
¿Quién puede creer que la ciencia de dentro de un siglo será una insípida extrapolación de lo que ahora se sabe?”
(Las negritas-itálicas y la separación del texto en líneas no consecutivas y menores al largo de la línea original, son mías).”
La Nueva Pierdra Poseta, Pag. 89, JAPalos, DR. 2008.
Es curioso la palabra “extrapolación” que el utiliza.
Tal vez te sirva para hablar con tu familia lo que la Dra. Esther del Río Serrano, Del IPN (Instituto Politécnico Nacional MÉXICO) ha descubierto de los clathratos de agua (H2O)37 y la bioferritamagnetita del cuerpo humano, si buscas su nombre y el titulo “Por la venas corre Luz” tal vez tangas un poco de ella.
Por otro lado, busca “Humanfotosistesis”, del Dr. Arturo Solís Herrera MD, PhD.. otro MEXICANO ILUSTRE:
http://humanphotosynthesis.com/info.html
Verás que la Luz y nosotros estamos mas ligados de lo que creemos.
Pero volvamos al codigo de AMURABI CONTEPORÄNEO PARA BUSCAR AL Dr. Herrera:
http://precedings.nature.com/documen...2/version/1
Espero que ya interesado, puedas, tal vez, “hacerte Lokus” Moverte, loko-mocion neuro mental, y tal vez buscar en google:
http://casanchi.com/fis/cmb01.pdf
Dc. Alfredo Bennun.
Que elegantemente propone:
El Espacio-Tiempo en Función de la Energía de CMB.
De verdad, honestamente, a Fancis y al Kanijo.
Hë puesto evidencia empirica que somos otra cosa.
Hay mas, mucha mas.
Si les interesa saber, pues le seguimos.
Si no, tan Lokus como siempre.
Como estos cubanitos:
http://www.friendsofcomplexitytheory...olume2.html
En especial:
alexisjardines58@yahoo.es
Para par parafrasear a Galileo:
A Y sin embrago, Se Mueve????
Somos mas de un “Lokus”!!!!
Espero tengamos la “humanidad” para siquiera postular que es falsaeable lo que propongo y como lo es….
Un abrazo!

OeLOeL

Jose Antonio, imprime tus comentarios de esta página y visita a tu médico. Muestráselos. Coméntale qué te preocupa. Ten confianza en tu familia y amigos.
Debes saber que lo que escribes no es cierto ni falso: es un completo sin sentido, y es un síntoma de tu enfermedad.
Considérame sólo un amigo preocupado por tí, porque conozco tu enfermedad (por tener un familiar cercano afectado por lo mismo).
Si como supongo tienes un trastorno bipolar de tipo I, muchos de tus escritos denotan un estado de crisis completa.
Tu enfermedad es común (la tiene entre el 1% y el 2% de la población).
Lee esto:
http://www.mundobipolar.org/MB2006/0...olleto2.htm
Tu médico y familia podrá ayudarte.
Ten un poco de confianza: tú no puedes verte a tí mismo y por desgracia la gente de tu alrededor simplemente te ignora (porque nadie quiere afrontar la desagradable tarea de decirte la verdad de tu situación).
Lo dicho, es un consejo de un amigo: confía en tu familia, amigos y visita SIN FALTA a tu médico.
Un abrazo de todo corazón.

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