En topología diferencial se descubrió que el espacio cuatridimensional euclídeo admite estructuras diferenciables exóticas que no son equivalentes a la convencional; se sabe que existen las exóticas pero su descripción explícita en coordenadas es muy complicada, salvo bajo ciertas restricciones. Hay un número infinito no numerable de estructuras diferenciables en R4, pero sólo existe una en Rn, para n≠4. Esta propiedad de un universo con cuatro dimensiones lo distingue de un universo con cualquier otro número de dimensiones posibles. Por ello, algunos físicos han tratado de utilizar las estructuras diferenciables exóticas en física como una manera de «elegir» un espaciotiempo de cuatro dimensiones entre todos los posibles. Las supercuerdas en la teoría de cuerdas se mueven en un espaciotiempo plano (de Minkowski) de 10 D (9 dimensiones espaciales y una temporal), sea M10. En un espaciotiempo plano 4D (sea M4), como en el que vivimos, la versión cuántica de la teoría presenta inconsistencias (probabilidades negativas y violaciones de la invarianza relativista). ¿Por qué solo observamos 4 dimensiones? Afirmar que las otras 6 dimensiones extra son muy pequeñas y compactas no nos explica el porqué; lo habitual es descomponer M10 = M4 × V6, donde V6 es una variedad de Calabi-Yau. Pero ¿es la única opción posible? Asselmeyer-Maluga y Krol nos proponen descomponer M10 = R4 × W6, donde R4 es una versión exótica del espaciotiempo plano euclidiano y W6 no tiene por qué ser de Calabi-Yau. Este «exotismo» es una idea realmente sugerente que todavía está en fase germinal pero que parece que capta adeptos en el contexto de la teoría de cuerdas. En mi opinión, este asunto dará bastante que hablar en los próximos años, opinión que comparto con Javier, «String theory in exotic R^4,» DiY quantum gravity, February 17, 2011; Lubos Motl también se ha hecho eco de ellos en «Are pathological mathematical structures important in physics?,» The Reference Frame, February 17, 2011. Los artículos técnicos son Torsten Asselmeyer-Maluga, Jerzy Krol, «Exotic smooth R^4, geometry of string backgrounds and quantum D-branes,» ArXiv, 14 Jun 2010; «Exotic smooth R^4 and certain configurations of NS and D branes in string theory,» ArXiv, 17 Jan 2011; y «Quantum D-branes and exotic smooth R^4,» ArXiv, 16 Feb 2011.
Os recuerdo, aunque estos temas no son fáciles de explicar. Una estructura diferenciable exótica en una variedad topológica es una que no es difeomorfa (equivalente) a la estructura diferenciable natural o estándar en dicha variedad. Milnor (1956) encontró los primeros ejemplos en las esferas S7 (de 7 dimensiones); una esfera (no exótica) S7 hereda su estructura diferenciable natural del espacio euclídeo R8 (de 8 dimensiones) en el que reside y las esferas exóticas tienen una que no es equivalente a esta última (en este blog puedes leer «Esferas exóticas, el invariante de Arf-Kervaire y la hipótesis del día del juicio final«). Edward Witten, como no, fue el primer físico en utilizar las esferas exóticas en física, en 1985, aunque su uso más famoso es en su artículo de 1988 sobre la teoría topológica de campos cuánticos (topological quantum field theory). Desde entonces muchos otros físicos las han utilizado, incluso en teoría de cuerdas, pero el gran objetivo sigue aún lejano. En este sentido estos nuevos trabajos de Asselmeyer-Maluga y Krol me parece que renuevan el interés en estos asuntos (aunque yo no soy capaz de entender los detalles técnicos).
Hola Francis, me alegra que te interesase la noticia.
Desde que puse esa entrada he tenido tiempo de leerme con cierto detalles los artículos. Hay partes bien argumentadas, otras que parecen traídas de los pelos y otras tocan partes de la teoría de cuerdas que no conozco lo bastante como para tener una opinión fiable al respecto.
Lo que si descubrí, indagando en las referencias, es que hay un libro entero dedicado a la exploración de esas posibilidades http://www.worldscibooks.com/physics/4323.html.
Actualmente hay tantas cosas interesantes, y urgentes, yendo y viniendo que no puedo dedicar a ese libro más que ratos libres, y además me estoy repasando -también a ratos libres- el libro de Milnor «lectures in the h-cobordism theorem», para leerme ese libro en condiciones de apreciarlo mejor.
Mi idea, desde luego, es que este es uno de los mecanismos mas naturales que parece brindar la matemática para intentar entender porque el universo observado tiene 4 dimensiones en vez de las 10/11 que le son propias a la teoría de cuerdas. Es más, si tenemos en cuenta que da la casualidad de que la única esfera en la que existen estructuras diferenciables diferentes es la 7 esfera y que 11=4+ 7 ya tenemos una maravillosa correspondencia de numerología pura y dura entre el universo observado y la teoría M. Por supuesto lo difícil es pasar de la numerologia a una matemática mas seria. Pero que tiene mejor pinta que otras numerologias que he visto por ahí (me refiero a numerologia hecha por gente seria, de otro tipo mejor no considerarla mientras no haya motivos para ello) me parece bastante obvio.
El posible mayor obstáculo al respecto es que la teoría de cuerdas parece que está mas ceñida a la estructura conforme que a la simetría. En particular tenemos que la teoría de cuerdas puede cambiar la topologia de las dimensiones extra sin cambiar la estructura conforme (resultados clásicos de Brian Green en los 90, ampliamente comentados en su libro «el universo elegante»).
Física aparte estamos ante una matemática preciosa ;).
Gracias, Javier, muy interesantes tus comentarios y tu recomendación del libro de Torsten Asselmeyer-Maluga y Carl H Brans, «EXOTIC SMOOTHNESS AND PHYSICS. Differential Topology and Spacetime Models.»
La 7 esfera tiene un secretillo mas, y es que la base de su fibrado de Hoft S3 –> S7 —>S4 tiene escondida una simetria SU(3): esto es, a pesar de que la simetria de S4 es SO(5), resulta que S4 tiene un «branched covering» por CP2, y la simetria de CP2 es SU(3). A eso le añades que la simetria de la fibra S3 es SO(4), usea, SU(2)xSU(2), y tienes que los grupos del modelo estandar no son tan ad-hoc como puede parecer. Ademas, a su vez el fibrado de Hoft de S1 –> S3 –> S2 lo puedes emplear para poner mas exactamente U(1) x SU(2), simetrias respectivamente de S1 y de S2.
En cuanto a 11=4+7, no tengo claro como encaja. La sospecha (ej, al final del tomo III del Weinberg creo que lo cuentan) es que el tensor antisimetrico de sugra en D=11 es lo que fija que tenga que existir una pieza de dimension 4. Seria interesante que alguna estructura exitica en esta pieza obligara, por consistencia, a que la parte de dimension 7 tenga que sufrir ese «branched covering» y por ello el SU(3). Como dices, es dificil hacerlo en serio, dado que a las compactificaciones del tipo Freund-Rubin nunca se les ha dado tanta riqueza como para jugar con estructuras exiticas.
En realidad muchas esferas tiene estructuras exóticas, por ejemplo la esfera de dimensión 11 tiene 992 estructuras exóticas, un apunte interesante es que no se sabe si la esfera de dimensión 4 posee tales estructuras.
Creo también que algo importante se encierra dentro de esta característica de nuestro espacio de cuatro dimensiones y que el estudio de las posibilidades que brindan las estructuras diferenciales exóticas deben ser investigadas en profundidad, algo que supongo tendrán muy en cuenta los estudiosos de las cuerdas. Saludos a todos:
Alejandro Álvarez