Hay muchas maneras de mostrar por qué la gravedad es una teoría cuántica no renormalizable. El argumento habitual se basa en el estudio de cómo varía la constante de acoplamiento gravitatoria conforme la energía crece, sin embargo, Assaf Shomer, de la Universidad de California en Santa Cruz, nos presenta un argumento alternativo basado en la aparición de agujeros negros que dominan la física gravitatoria a alta energía. El artículo, aunque técnico, es bastante pedagógico. Recomiendo su lectura a los interesados en este tema (y que no lo hayan leído aún). Assaf Shomer, «A pedagogical explanation for the non-renormalizability of gravity,» ArXiv, 22 Sep 2007. Por supuesto, el argumento no es nuevo; el propio Shomer afirma haberlo comprendido gracias a Ofer Aharony y Tom Banks, «Note on the Quantum Mechanics of M Theory,» JHEP 9903: 016, 1999 [ArXiv, 28 Dec 1998]

Trataré de explicar en lo que sigue la idea del argumento de Shomer, que se resume en una sola frase: «El límite a muy alta energía de una teoría cuántica de campos renormalizable en d dimensiones es una teoría conforme de campos en d dimensiones. Pero para la gravedad no lo es, luego no puede ser renormalizable.» Más en concreto, la densidad de estados del espectro de alta energía de la gravedad, compatible con la fórmula de la entropía de Bekenstein-Hawking, está en contradicción con la densidad de estados del espectro de una teoría cuántica de campos renormalizable. La ventaja de este argumento es que, al contrario que el argumento basado en el comportamiento de la constante de acoplamiento gravitatoria, no puede ser rebatido gracias al concepto de «seguridad asintótica» (asymptotic safety) introducido por Steven Weinberg, Premio Nobel de Física 1979. Los aficionados a la revista Investigación y Ciencia (IyC) habréis leído algo sobre este tema en Amir D. Aczel, «Perspectivas de unificación. Entrevista a Steven Weinberg, uno de los padres del modelo estándar de la física de partículas,» IyC 412: 58-61, enero 2011 (este artículo el último que aparece recopilado en el «Universo cuántico,» Temas – Investigación y Ciencia, nº 63, abril 2011. Una cosa me ha recordado la otra y al final me ha quedado una entrada más técnica de lo habitual en el carnaval, pero ya se sabe que sobre gustos no hay nada escrito.

En la teoría general de la relatividad se predice la formación de un agujero negro cuando mucha energía/masa se concentra en una pequeña región del espaciotiempo. Por ello, el comportamiento de la gravedad a alta energía (escala de Planck) está dominado por la formación ingente de agujeros negros. Estos agujeros negros son la contribución más importante al comportamiento asintótico para alta energía de la densidad de estados en la gravedad. El cálculo no es difícil, aunque técnico. Si asumimos que el término de constante cosmológica es despreciable (Λ=0) en la gravedad cuántica a alta energía, la fórmula de la entropía de Bekenstein-Hawking para la solución de Schwarzschild para un agujero negro en un espaciotiempo con d dimensiones indica que la entropía S (os recuerdo que la entropía cuenta el número de estados alcanzables) en función de la energía E toma la forma log(S) ≈ log(E) (d-2)/(d-3). Si asumimos que el término de constante cosmológica es importante (Λ≠0) en la gravedad cuántica a alta energía, entonces podemos usar la solución para el espaciotiempo Anti de Sitter (AdS), que también admite un agujero negro como solución, aunque la entropía en función de la energía toma ahora la forma log(S) ≈ log(E) (d-2)/(d-1). En ambos casos el comportamiento de S(E) difiere del esperado para una teoría cuántica de campos renormalizable a alta energía, por lo que la gravedad cuántica no puede ser una teoría cuántica renormalizable. Veamos este último argumento en el próximo párrafo.

Toda teoría cuántica de campos renormalizable se comporta como una teoría conforme de campos (CFT) a alta energía. Sin entrar en detalles técnicos, la entropía para el número de estados de una teoría CFT en d dimensiones toma la forma log(S) ≈ log(E) (d-1)/d. Comparando con las fórmulas para la gravedad observamos que en el caso de que Λ=0, el número de estados gravitatorios es muchísimo mayor que los de una teoría CFT; de hecho, (d-1)/d es un número menor que 1 y por el contrario (d-2)/(d-3) es siempre mayor que 1. Para Λ≠0, tanto (d-1)/d como (d-2)/(d-1) son menores que la unidad pero nunca coinciden. La teoría de la gravedad no puede ser renormalizable. Sin embargo, el lector inquieto observará en acción en la frase anterior la dualidad CFT/AdS (entre una teoría conforme de campos y una teoría de la gravedad con constante cosmológica): La gravedad en d dimensiones en un espaciotiempo AdS es equivalente a una teoría CFT en d-1 dimensiones. La «holografía» AdS/CFT nos indica la equivalencia entre la frontera del espaciotiempo AdS (que tiene una dimensión menos que dicho espacio) y una teoría CFT con la misma dimensión que la frontera.

El lector perspicaz observará que hemos tomado un espaciotiempo AdS, es decir, con constante cosmológica negativa (Λ<0), pero nuestro universo en expansión acelerada presenta una constante cosmológica positiva (Λ>0), es decir, se modela por un espaciotiempo de De Sitter (dS). Determinar la relación entre la entropía y la energía en este espaciotiempo es muy difícil, casi imposible, ya que dicho espaciotiempo no es compatible con la supersimetría. Por ejemplo, en teoría de supercuerdas (donde la supersimetría es conditio sine qua non) predecir una constante cosmológica positiva requiere artificios técnicos que «afean» la teoría. Por todo ello, para muchos físicos, una teoría cuántica de la gravedad (como pretende ser la teoría de cuerdas) no se puede describir de forma adecuada en un espacio dS, o en su caso se trataría de una solución efectiva inestable (o en el mejor caso metaestable) de la teoría correcta. Esto no es ningún problema ya que en el límite clásico (o semiclásico) de un espaciotiempo AdS cuántico puede ser un espaciotiempo dS sin ningún problema. Y toda la evidencia que tenemos sobre la existencia de la energía oscura y de una constante cosmológica positiva es clásica.

En resumen, recomiendo la lectura del artículo de Assaf Shomer a todos los interesados en apreciar el feeling de una demostración de la no renormalizabilidad de la gravedad cuántica como teoría de campo para partículas puntuales. A mí me ha gustado, aunque algunos puntos del argumento puede que no satisfagan del todo a todo el mundo.