Los primeros 25 años de la gravedad cuántica de bucles contados por Carlo Rovelli

Por Francisco R. Villatoro, el 27 junio, 2011. Categoría(s): Ciencia • Física • Physics • Relatividad • Science ✎ 13

Carlo Rovelli fue invitado por la revista Classical and Quantum Gravity para resumir los primeros 25 años de la gravedad cuántica de bucles (LQG por Loop Quantum Gravity), porque fue en 1986 cuando se usó por primera vez la representación basada en un espacio de bucles para la versión cuántica de la relatividad general. El resultado ha sido el artículo «Loop quantum gravity: the first 25 yearsClassical and Quantum Gravity 28: 153002, 7 Aug. 2011 (gratis en Arxiv).

Rovelli empieza resumiendo la LQG en solo tres ecuaciones cuánticas (ver la figura, omito tratar de explicarlas aquí) que son invariantes Lorentz, que se pueden acoplar a campos de fermiones y de bosones de Yang-Mills, e incluso a una constante cosmológica. Tres ecuaciones sencillas en apariencia pero que representan una física difícil de interpretar. Los símbolos que aparecen en estas ecuaciones tienen connotaciones físicas, pero todavía nadie sabe qué significan realmente. La conjetura de los expertos en LQG es que estas tres ecuaciones se reducen a las ecuaciones de Einstein en el límite clásico, no presentan divergencias ultravioletas y describen la geometría cuántica del espaciotiempo. Hay que aclarar que las tres ecuaciones que presenta Carlo son una formulación posible de la LQG y que según él son equivalentes a cualquier otra formulación de dicha teoría.

Una teoría cuántica del espaciotiempo requiere definir un espacio de Hilbert adecuado para los estados de dicha teoría y encontrar una base de dicho espacio que represente los estados con n partículas, los «cuantos de espacio» en el caso de la LQG. Un «cuanto de espacio» es la excitación básica de un campo gravitatorio en LQG, de la misma forma que un fotón lo es de un campo electromagnético. La gran diferencia entre ambos conceptos es profunda y sutil: el fotón «vive» en un espaciotiempo fijo (de Minkowski), sin embargo, los «cuantos de espacio» representan el propio espaciotiempo. El fotón tiene asociado un momento lineal, lo que equivale a tener un operador cuántico de posición, por lo que un fotón es una partícula que «vive en el espacio,» pero los «cuantos de espacio» en LQG no están localizados en el espacio y definen el propio espaciotiempo. Los «cuantos de espacio» están localizados respecto a otros «cuantos de espacio» gracias a los arcos en un grafo de adyacencia que determina «quién está a lado de quien» (ver la figura de arriba, izquierda). Los «cuantos de espacio» son como «granos» y su adyacencia mutua determina los «gránulos» del espaciotiempo (ver la figura de arriba, centro). Estos «granos» no tienen asociado un momento lineal (ni una posición), sino que tienen asociados números cuánticos que definen la geometría cuántica del espaciotiempo. En este sentido son una versión cuántica de la métrica (el tensor métrico) en la relatividad general de Einstein. La manera en que lo logran se basa en un teorema de Roger Penrose sobre la geometría de espín (spin-geometry theorem). Rovelli nos presenta una versión del teorema basada en ideas de Minkowski de 1897 que ilustra cómo dotar de una noción de «superficie» a los «gránulos» (la unión de dos «granos») de espacio y gracias a dicha noción dotarles de una métrica asociada a cada «grano.» Las componentes de la métrica no son conmutativas entre sí, por lo que la geometría resultante es una «geometría cuántica» genuina. El operador de área presenta un espectro discreto con un valor mínimo (el «salto de área» o «area gap») que se cree que es la clave de la finitud ultravioleta de la teoría.

Las propiedades claves de la «geometría cuántica» del espaciotiempo son: (1) es discreta en esencia; no se obtiene de una discretización de un espacio continuo; además está dotada de operadores de área y volumen que tienen un espectro discreto; (2) las componentes del operador métrico de Penrose no conmutan entre sí y definen una red de espines; además solo ciertos observables geométricos son diagonalizables; y (3) un estado genérico de la geometría no es una red de espines sino una superposición lineal de redes de espines; gracias a ello se pueden definir estados semiclásicos que son análogos a estados con n partículas y que se parecen a los estados con n partículas de las teorías de Yang-Mills en retículos (lattice YM). Según Rovelli la «geometría cuántica» es la base de la gravedad cuántica de bucles. Además, LQG combina expresiones formales análogas a las de la QED con otras análogas a la QCD en retículos. Gracias a estos análogos se ha dado un sentido formal a las integrales de camino de Feynman en LQG y los diagramas de Feynman para «cuantos de espacio.» 

La teoría LQG es adimensional y no tiene ningún parámetro de escala, no hay ninguna unidad física que permita medir áreas y volúmenes en la geometría cuántica del espaciotiempo. Para introducir dicha escala se iguala el «salto de área» a un valor de área «natural» asociado a las unidades de Planck, que introduce la constante de la gravitación G en la teoría, así como la velocidad de la luz y otras constantes. El «salto de área» se convierte en el cuadrado de la longitud de un «bucle» (loop) en unidades de Planck. Esta igualdad permite introducir un parámetro libre (llamado γ) cuyo valor permite ajustar la región de energías a las que es válida la LQG (la energía de Planck, energía algo mayores o energía algo menores). La relación exacta entre la longitud de un bucle y la longitud de Planck sólo puede ser obtenida mediante su medida experimental (gracias a la cosmología). La gran diferencia entre QCD en retículos y la LQG es que en la primera hay una escala natural, la distancia entre los nodos de la red, cuyo valor en el límite continuo tiende a cero, pero en LQG no hay tal parámetro de escala. Rovelli nos dice que pasa lo mismo que con las coordenadas en teoría general de la relatividad, no tienen significado métrico como tal, sólo lo tienen las distancias (diferencias entre coordenadas) vía el tensor métrico.

La presentación de Rovelli de la LQG no se basa en cuantizar la teoría general de la relatividad (la gravitación clásica) sino que parte de conceptos cuánticos. Esta aproximación se parece a la formulación moderna de la electrodinámica cuántica (QED) en muchos libros. En lugar de tomar el campo electromagnético de Maxwell y presentar un procedimiento que permite cuantizarlo (cuantización canónica o mediante integrales de camino), se definen los diagramas de Feynman y cómo construirlos y luego se demuestra que en cierto límite se reducen al electromagnetismo clásico. En LQG el problema es que partir de una formulación basada en la «geometría cuántica» todavía no hay una demostración rigurosa de que se obtiene en un límite apropiado la gravitación clásica.

 ¿Qué problemas resuelve la teoría LQG? Rovelli empieza recordando qué problemas no resuelve la LQG (en esto se diferencia de otros defensores de dicha teoría): (1) no resuelve el problema de la unificación de todas las fuerzas; es una teoría cuántica de la gravedad igual que la QED lo es del electromagnetismo; (2) no explica el significado de la mecánica cuántica; es una teoría cuántica regida por las leyes de la física cuántica y en LQG aparecen todos los misterios cuánticos sin explicación;  y (3) no resuelve los problemas cuánticos cosmológicos; los problemas asociados a la ausencia de un observador externo al universo o sobre cómo realizar física cúantica para el universo en su conjunto en la ausencia de observadores. Según Rovelli, los problemas que resuelve la LQG son: (1) explica la geometría cuántica del espacio; (2) elimina las divergencias ultravioletas en la gravedad cuántica; y (3) logra una teoría cuántica de campos covariante (como la teoría general de la relatividad). Los problemas que logrará resolver son: (1) cosmología de la gran explosión (big bang); en los primeros instantes del universo la geometría del espaciotiempo es cuántica y LQG ayudará a entender sus propiedades; (2) termodinámica de los agujeros negros y la explicación de la radiación de Hawking; y (3) estructura física del espacio a pequeña escala y las propiedades que la diferencian del límite clásico.

El resto del artículo de Rovelli trata de resumir lo que se ha avanzado en cada uno de estos problemas. Yo me limitaré a resumir la parte relativa a la entropía de los agujeros negros, explicar la fórmula de Bekenstein−Hawking S = (1/4)A/(h G). El origen microscópico de esta fórmula se puede entender gracias a la teoría LQG. La expresión «agujero negro» se utiliza en física con cierta ambiguedad para referirse a un agujero negro estacionario (caracterizado por su masa, carga y momento); sin embargo, todo agujero negro es dinámico (no estacionario) que no está caracterizado por solo 3 parámetros sino por una infinidad de ellos; según Rovelli estos parámetros caracterizan las fluctuaciones de la geometría del horizonte de sucesos, los momentos multipolares de la «forma» del horizonte. Los grados de libertad del agujero negro que cuenta su entropía son los que determinan la forma del horizonte de un agujero negro no estacionario, porque según Rovelli un agujero negro no puede ser estacionario. Los estados macroscópicos del agujero negro sí pueden ser estacionarios, pero sus estados microscópicos no pueden serlo, como un gas encerrado en una caja tiene una presión y una temperatura constantes, pero sus moléculas están en movimiento continuo. Las «moléculas en movimiento» del agujero negro son los grados de libertada que caracterizan la forma del horizonte de sucesos. La entropía del agujero negro cuenta este número de grados de libertad. Para la teoría clásica de la gravedad este número es infinito, sin embargo, en LQG la geometría cuántica implica un número finito de grados de libertad. El cálculo es complicado y sutil pero conduce al siguiente resultado S(LGQ) = (1/4) (γ/γo) A/(h G), donde γo es un número del orden de la unidad que depende de ciertos cálculos combinatorios, cuyo valor más actual es γo = 0,274 067 . . .  Para que esta fórmula coincida con la fórmula de Bekenstein–Hawking es necesario que el parámetro libre γ = γo (conjetura de Barbero–Immirzi). El único parámetro libre de la LQG que debe determinarse gracias a su comparación con el experimento, puede calcularse gracias a los agujeros negros. Este resultado no es del todo satisfactorio, ya que no se conoce en detalle la razón por la que γ = γo. Según Rovelli, aquí hay algo importante que aún nadie entiende. ¿Cuál es la gran diferencia entre el cálculo de la entropía de los agujeros en LQG y en teoría de cuerda? El valor en LQG se puede calcular para diferentes tipos de agujeros negros, sin embargo, en teoría de cuerdas solo se sabe calcular para agujeros negros extremales y casi-extremales.

¿Qué tiene que decir Rovelli sobre las críticas recientes a la LQG por no ser invariante Lorentz a todas las energías? El satélite Fermi observó un solo fotón (el más energético observado en una fuente de rayos gamma) que reafirmó la invarianza Lorentz a energías por encima de la escala de Planck, lo que condujo a ciertas crícitas a la LQG. Según Rovelli, es un error interpretar este fotón como una evidencia en contra de la LQG. Esta teoría no implica una violación de la invarianza Lorentz a la energía de Planck. Interpretar que la existencia de una longitud mínima es incompatible con la invarianza Lorentz es erróneo, según Rovelli, ya que no tiene en cuenta efectos cuánticos. Sería lo mismo que interpretar que la existencia de un momento angular mínimo es incompatible con la invarianza ante rotaciones, una conclusión que contradice la mecánica cuántica del momento angular. Según Rovelli, la evidencia teórica en LQG apunta a que dicha teoría no viola la simetría Lorentz a la energía de Planck (aunque no hay demostración todavía de este hecho).

En resumen, a los interesados en LQG les recomiendo encarecidamente que lean el artículo de Rovelli. Merece la pena y su visión que combina la de un prosélito y la de un crítico me gusta. Muchos ya sabéis que yo soy más aficionado a la teoría de cuerdas, pero de vez en cuando hay que leer sobre la competencia. Por cierto, en el mismo número de la revista que publica este artículo aparece un artículo sobre ella de Sunil Mukhi, «String theory: the first 25 years,» Classical and Quantum Gravity 28: 153001, 7 Aug. 2011 (pero que no está gratis en Arxiv, así que le dedicaré una próxima entrada).



13 Comentarios

  1. Rovelli estuvo hace unas pocas semanas por Madrid y participó en una charla divulgativa. Ni él ni Ashtekar dijeron nada nuevo, sobre todo a ese nivel, pero el primero usó un truco muy imaginativo con un marco, telas y pelotas para explicar la esencia de la teoría.
    Todavía les queda mucho trabajo para que la QLG sea una teoría de verdad con dinámica y todo lo que uno espera, pero es de agradecer que trabajen en ello y no se unan a la corriente cuerdista.
    Prefiero una teoría de algo que una teoría del todo que al final no diga nada.

  2. «¿Cuál es la gran diferencia entre el cálculo de la entropía de los agujeros en LQG y en teoría de cuerda? El valor en LQG se puede calcular para diferentes tipos de agujeros negros, sin embargo, en teoría de cuerdas solo se sabe calcular para agujeros negros extremales y casi-extremales.»

    En realidad hay mas diferencias: en la Teoria de Cuerdas si se obtiene la entropia microscopica realmente con el factor 1/4 adecuado. Asimismo, al margen de dar la entropia microscopica se explica de que objetos fundamentales esta compuesto el agujero negro, es decir, se explica lo que es un agujero negro en terminos del espectro de la teoria y como lo conforman, dando una imagen consistente con los calculos tanto microscopicos como macroscopicos. Este es un logro importantisimo desde el punto de vista teorico de la gravedad cuantica, y que ha motivado la intensa actividad en el tema en Teoria de Cuerdas.

    1. Bruno, no entiendo bien la pregunta… La TGR es clásica y el resto de la física es cuántica. Hay problemas en los que la TGR no es aplicable (presenta singularidades) y se cree que una gravedad cuántica (sea lo que sea esto) podrá resolver dichos problemas. No se sabe si habrá que volver cuántica la TGR (la mayoría opina así) o si ocurrirá que la TGR subyace a la razón por la cual la mecánica cuántica es como es (opinión de una minoría). No sé si he contestado bien a tu pregunta.

      1. Gracias Francis,
        Precisamente mi pregunta viene a cuento, porque creo no es buena idea intentar “cuantificar” la TGR. Las teorías físicas (por muy bien que funcionen) son modelos eventuales, que están vigentes mientras respondan bien en el laboratorio. Si se hace evolucionar la física cuántica tomando como referencia la TGR, o viceversa, se pierde la oportunidad de llegar a un modelo independiente, que quizás sustituya con ventaja a la TGR. De lo contrario, ocurrirá una mera “interpolación de conceptos” (igual que cuando se interpolan los colores), y si alguno de los extremos de partida (teorías) tiene algún punto flaco desconocido, sin duda el modelo interpolado heredará esta deficiencia. Si esto sucediese, y si funcionase “decentemente” la interpolación de estas dos teorías, ya firmemente asentadas actualmente (son como el Microsoft y en Google de la física), entonces habría que esperar a la llegada de los extraterrestres para que nos corrigiesen el error, pues su monopolio conceptual sería total, durante mucho tiempo. Quizás sea un pesimista, y quizás también exagere un poco.

  3. Por lo que leo no han avanzado demasiado (en la esencia, imagino que sí en los detalles) desde la etapa en que miré con algo de seriedad la LQG, allá entre 2003 y 2005. En esa época sonaba muy prometedor, y parecía que ya habían logrado muchas cosas. El problema era que los «logros» sólo surgían en modelos tipo «mini-superspace», es decir, poco más que aproximaciones semiclásicas al estilo de la ecuación de Wheeler de Witt. Pero bueno, al menos partían de el lagrangiano de la RG e intentaban pasr al formalismo hamiltoniano para cuantizar (o algo).

    Otros «logros2, no lo son tanto. Que cualquier teoría admita una compleción UV no es necesariamente bueno. Es como decir que cualquier teoría vale ya que puede ser cuantizada, en el sentido de eliminar los infinitos, al menos. Y digo «al menos» porque aunque una teoría sea finita puede (y normalmente debe) necesitar renormalización. Y si en esa renormalización surgiesen infinits términos diferentes a los originales la teoria seguiría siendo igualmente no predictiva (incluso aunque fuese finita)

    Pero es que luego, la parte porque la que parecen haber apostado más, las teorías lagrangianas BF y similares ya ni siquiera esta claro que aquello de lo que parten sea RG. Es decir, lo es bajo ciertas condiciones clásicas que no veo yo tan obvio que puedan tomarse alegremente.

    En definitiva, me parece bien que sigan a lo suyo, pero se echa de menos que respondan mas seriamente a las críticas. Claro que tampoco es que haya mucho diálogo entre esta gente y los de cuerdas.

    También señalaría que en estos momentos ay otras alternativas (o algo así) a la teoría de cuerdas que posiblemente merezcan mas atención, como son la Horava gravity y la entropic gravity (a la que acaban de conceder un porrón de presupuesto, y de la que parece se va a hablar extensamente en las strings 2011 (pese a no ser estrictamente teoría de cuerdas).

    1. Freelancescience, no sé dónde has visto que en el congreso Strings 2011 se vaya «a hablar extensamente» de las teorías de Horava y de Verlinde. Es cierto que Verlinde tiene una charla «The Hidden Phase Space of Our Universe» pero según el programa parece que será la única sobre el tema y Horava no tiene ninguna charla este año. Quizás haya que leer entre líneas…

      El tema estrella son las amplitudes de dispersión (scattering); ayer y hoy ya ha habido cuatro charlas sobre el tema.

      Todas las charlas de Strings 2011 están siendo emitidas en directo vía streaming y la grabación está disponible gratis el día siguiente. Yo he visto algunas: Las de David Gross, Michael Green y Edward Witten.me han decepcionado un poco (esperaba más de la primera y de las otras dos me he enterado de poco); me ha gustado la de Henriette Elvang, que me ha parecido muy clarita (aunque cuando ha entrado en tecnicismos me he perdido). Supongo que escribiré una entrada sobre esta Strings 2011.

  4. Buen post, Francis. Se agradece la pluralidad.

    «Loops vs Strings»

    Dos ciegos dándose con el palo. Si son de metal, quizás salga algún destello. Pero ºno van a poder verlo. (lease en modo metáfora, esperando no ofender al colectivo de invidentes)

    «Horava gravity y la entropic gravity»

    Buen apunte. Idem. No sé en que quedaron los problemas de la EG con el experimento de interferometria de neutrones en situación de gravedad señalados por algunos.

    También recordar que el presupuesto que tiene Verlinde gracias al Premio Espinosa (Spinoza) es para gastar en 4 o 5 años (escribo de memoria, lo ví hace algunos días). Sabiendo ésto ya parece menos cantidad, sobre todo si tiene que contratar equipo (humano o técnico).

  5. Me ha gustado el articulo de Rovelli.Estoy interesado en la gravedad cuantica de bucles.Conozco los trabajos de Smolin y Bojowald ,sobre el tema. desearia contrastar ideas con personas de Madrid estudiosas del tema. Contacto por correo electronico

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