Cómo resolvió Arquímedes el problema de la corona de oro de Hierón usando un reloj de agua y una lengüeta

Mucha gente cree que fue imposible que Arquímedes resolviera el problema de la corona de oro del rey Hierón. Si el 30% de la corona era plata en lugar de oro, el nivel de agua en una tinaja se habría elevado menos de un milímetro, lo que parece difícil de medir en su época. Pero Arquímedes podría haber utilizado un “reloj de agua” (una vasija con un agujero en la parte superior cerca del borde) y una pequeña lengüeta que canalice el exceso de agua. Estas vasijas eran muy populares en su época y si el experimento se realiza con cuidado permiten una medida precisa comparada entre la densidad de dos objetos (como un lingote de oro y la corona de oro y plata de Hierón II). La mejor manera de verificar esta idea es hacerlo de forma práctica. Lo ha hecho Amelia Carolina Sparavigna, “The Vitruvius’ Tale of Archimedes and the Golden Crown,” ArXiv, 10 Aug 2011. Y también lo hizo Kuroki Hidetaka, “What did Archimedes find at “Eureka” Moment?,” in The Genius of Archimedes – 23 Centuries of Influence, edited by S.A. Paipetis and M. Ceccarelli, Springer-Verlag, 2010, quien proclama que el uso de una pequeña lengueta en un reloj de agua permite una medida mucho más precisa de lo que un cálculo teórico permite prever. Por cierto, esta entrada viene a colación por una discusión al respecto de varios colaboradores de Amazings.es, que finalizó con una mención a la entrada de Milhaud, “Arquímedes y el problema de la corona de oro del rey Hierón,” Recuerdos de Pandora, 16 feb. 2011 (que incluso llegó a portada en Menéame). Yo apostillé a la discusión una solución alternativa y me ha alegrado leer a Sparavigna discutiendo la misma solución en ArXiv.

Te recuerdo la historia (copio a Milhaud en Recuerdos de Pandora). “En el siglo III a.C., el rey Hierón II gobernaba Siracusa. Siendo un rey ostentoso, pidió a un orfebre que le crease una hermosa corona de oro, para lo que le dio un lingote de oro puro. Una vez el orfebre hubo terminado, le entregó al rey su deseada corona. Entonces las dudas comenzaron a asaltarle. La corona pesaba lo mismo que un lingote de oro, pero ¿y si el orfebre había sustituido parte del oro de la corona por plata para engañarle? Ante la duda, el rey Hierón hizo llamar a Arquímedes, que vivía en aquel entonces en Siracusa. Un día, mientras tomaba un baño en una tina, Arquímedes se percató de que el agua subía cuando él se sumergía. Si sumergía la corona del rey en agua y medía la cantidad de agua desplazado podría conocer su volumen. Arquímedes salió corriendo desnudo por las calles emocionado por su descubrimiento, y sin parar de gritar ¡Eureka! ¡Eureka! (…)Toda esta historia no aparece en ninguno de los libros de Arquímedes, sino que aparece por primera vez en “De architectura”, un libro de Vitruvio escrito dos siglos después de la muerte de Arquímedes. Esto durante años ha hecho sospechar de la veracidad de los hechos, tomándose generalmente más como una leyenda popular que como un hecho histórico.”

La mayoría de la gente que cree que esta leyenda nunca ocurrió suele realizar el siguiente cálculo [una fuente muy citada]. Una corona de oro de 1 kg tiene un volumen de 51,8 cm³ (la densidad del oro es de 19,3 g/cm³). Si el 30% (300 gramos) del oro fue reemplazado por plata, cuya densidad es de 10,5 g/cm³, entonces el volumen crecería hasta 64,8 cm³. Una diferencia entre los volúmenes de 13 cm³ parece grande, pero si se utiliza una vasija con un diámetro de 20 cm, un lingote de oro de 1 kg subiría el nivel de agua 1,65 mm, pero la corona solo lo haría 2,06 mm. Una diferencia en el nivel del agua de solo 0,41 mm es demasiado pequeña para verla a vista (debido al menisco del agua). Sin embargo, Vitruvio afirmó que Arquímedes midió el exceso de agua que rebosó en la vasija. Controlar la cantidad de agua que rebosa por los bordes de una vasija, por ejemplo, de mármol, es difícil en extremo debido a que la tensión superficial hace que el agua que rebosa se deslice por las paredes de la vasija, como ilustra la imagen de arriba. Por cierto, seguramente el órfebre además de plata utilizó cobre (con una densidad de 8,9 g/cm³) para evitar que el color del oro cambiara mucho, por lo que el volumen desalojado sería algo mayor.

Obviamente, Arquímedes tuvo que utilizar otro método. Sparavigna nos propone que usó un reloj de agua o clépsidra, una vasija con un pequeño agujero cerca de la parte superior, como las de la foto que abre esta entrada. Las clépsidras ya existían en Egipto alrededor del s. XVI antes de Cristo. Para verificar su hipótesis, Sparavigna ha repetido el experimento con vasos de plástico transparentes (más casero imposible) y ha podido medir diferencias de pocos centímetros cúbicos de agua. Según ella, una diferencia de volumen de 10 cm³ podría haber sido medida por Arquímedes sin mayores problemas. Su método es el siguiente. Se tapa el agujero con el dedo, se rellena la vasija con suficiente agua y se introduce el lingote de oro de forma que el agua supere la altura del agujero; se destapa el agujero y se espera a que el agua salga por él hasta alcanzar un equilibrio. Se rellena ligeramente con agua, poco a poco, hasta que solo una gota salga por el agujero. Ahora se tapa el agujero de nuevo, se extrae con cuidado el lingote y se introduce la corona. Se espera a que el agua esté bien reposada y en equilibrio y se destapa el agujero. Si se derrama agua por el agujero es que el volumen de la corona es mayor que el del lingote porque su densidad es menor que la del oro. Conectando el agujero con un tubo capilar se puede medir el volumen de agua derramada. Los experimentos caseros de Sparavigna demuestran que medir 10 cm³ por este procedimiento es perfectamente posible.

A mí me gustan los experimentos de Kuroki Hidetaka. Para realizar una medida más precisa, el japonés propone que Arquímedes utilizó una pequeña lengueta colocada en el agujero de la vasija. Él ha repetido el experimento utilizando una vasija de plástico con una boca rectangular a la que ha añadido una lengüeta de unos pocos milímetros de anchura y unos 20 milímetros de longitud. Gracias a la lengüeta ha podido medir diferencias de volumen entre pares de objetos de solo unos 2 cm³, una precisión mucho mayor que la que se cree que necesitó Arquímedes en su época. Como antes, el líquido en exceso que abandona la vasija guiado por la lengüeta puede ser recogido en un tubo capilar donde las diferencias de volumen corresponden a grandes diferencias en altura. Los experimentos concretos, junto con las tablas de resultados, aparecen en su artículo. Creo que no merece la pena repetirlos aquí.

En resumen, Arquímedes pudo haber realizado el experimento de su Eureka, más o menos como lo describió Vitruvio si hubiera utiliado un reloj de agua con un pequeño canal metálico o una lengueta en el agujero de la vasija. Las habilidades técnicas demostradas por Arquímedes en muchos otros experimentos indican que hubiera sido capaz de realizar la medida que resolvió el problema de la corona de oro de Hierón sin mayores dificultades.

6 Comentarios

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Juan Manuel Dato Ruiz

No creo que sea para tanto los matices de Sparavigna: si se dispone de tres recipientes donde llenando con excesos uno hasta que deje de calar, luego se coloca un recipiente debajo, para meter una pieza. Se repite el procedimiento con la otra pieza llenando siempre el primer recipiente hasta sobrepasar y secarlo. Entonces, se repite varias veces seguidas y ambos recipientes tenderán a crecer a distintas velocidades. No dista mucho del método más clásico.

Es el mismo problema que medir la distancia d en metros entre dos casas con un cuentakilómetros: el truco sería coger el coche y dar N vueltas (para medir N x d – que superará los 1000 metros), lo único que habría que tomar en cuenta es la propagación del error, aunque considerando el teorema central del límite a la hora de determinar los tramos (y también las ganas de hacerlo XD).

josejuan

¿Y no sería más sencillo usar un recipiente con un cuello MUY estrecho y MUY alto?

En aquella época se podría haber echo el recipiente (un buen alfarero), partido por la mitad horizontalmente (el alfarero lo hace fácilmente con una cuerda), metido el objeto, tapado y sellado (ej. cera de panal), llenado con la cantidad de líquido pactada y metiendo una pajita por arriba para ver hasta donde llega el líquido.

¿no?

Mauro IafrateMauro Iafrate

El problema en cuestión fue presentado por la revista VEJA en Brasil de la siguiente manera. El rey entrega 920 gramos de oro para que le hagan la corona la cual se hizo y pesaba los 920 gramos. Sin embargo pensó que el joyero lo estafaba y encargó a Arquimedes para que le indicara.
Ahora bien, tal como la revista lo expone. Si fuera toda de oro en el agua pesaria 872,4 gramos `pero la corona pesa en el agua 858.3. Si fuera toda de plata pesaría en el agua 832,5 gramos. ¿Cuanto oro y cuanta plata colocó el joyero?
Entonces. peso de la corona en el agua 858,3
Si fuera toda de oro pesaría 872,4
Si fuera toda de plata pesaría 832,5
La revista agregaba: No crean que es facil resolverlo y tardarán un tiempito….. largo.
Una vez resuelto se deben hacer las correspondiente pruebas. (sin agua y sin nada se resuelve con las cuatro operaciones de aritmética).

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