La conjetura de Hodge explicada para torpes por Dan Freed

Este vídeo de youtube presenta una charla en inglés de Dan Freed (Universidad de Texas, Austin) quien explica en una hora qué es la conjetura de Hodge en un lenguaje sencillo que a mí me resulta bastante fácil de entender (o eso creo); Freed empieza su charla en el minuto 5:20 y tras unos preliminares empieza a hablar de la conjetura de Hodge en el minuto 43:00. La charla se impartió en abril de 2011 ante un público de matemáticos no especialistas en el Instituto Clay de Matemáticas (aquí están las transparencias y aquí en formato presentación paso a paso). Esta charla de Freed me gustó más que la de Vicente Muñoz (Universidad Complutense de Madrid) quien explicó en tres horas qué era la conjetura de Hodge en las jornadas sobre los Problemas del Milenio en Barcelona (notas en pdf y transparencias en pdf). En español, siguiendo una línea argumental parecida a la de Freed también podéis disfrutar de la presentación de José Ignacio Burgos Gil (Universidad de Barcelona), “La conjetura de Hodge” (resumen).

Colgué este vídeo en youtube en junio y entonces pensé en escribir un resumen en español de la charla de Freed. Sin embargo, este verano he estado un poco vago y viendo que no lo voy a escribir nunca, he dedicido que ya era hora de sacarlo a la luz en este blog. Lo siento por lo que no sepan suficiente inglés para entender la charla de Freed, pero creo que los estudiantes de matemáticas y los profesores no especialistas en geometría algebraica disfrutarán más de las notas de Vicente tras ver la charla de Freed.

Seguro que alguien me pide en los comentarios que explique la conjetura de Hodge en términos comprensibles. Para mí es muy difícil, pues yo mismo no la entiendo. El enunciado light de la conjetura de Hodge dice que para las variedades algebraicas proyectivas complejas, los ciclos de Hodge son una combinación lineal con números racionales como coeficientes de ciclos algebraicos. Obviamente, hay que explicar qué es una variedad algebraica proyectiva compleja, qué son los ciclos de Hodge, qué son los ciclos algebraicos, cómo se realizan sus combinaciones lineales, así como tratar de justificar por qué los expertos esperan que todos los ciclos de Hodge se porten bien y se puedan describir como ciclos algebraicos. Las notas de Vicente explican todo eso. Yo me limitaré a un párrafo y solo un párrafo (seguro que si algún experto lo lee me pegará un buen tirón de orejas en los comentarios).

Una variedad algebraica proyectiva compleja es el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones polinómicas sobre los números complejos. Igual que p(x,y)=x²+y²-1=0, con x e y variables reales, define una circunferencia de radio 1 (una variedad unidimensional), en general, las soluciones complejas de un conjunto de polinomios igualados a cero son una variedad (un espacio de n dimensiones que se parece localmente en cada punto al espacio euclídeo de n dimensiones). Un ciclo algebraico es una subvariedad que se obtiene al añadir a este sistema de ecuaciones nuevas ecuaciones polinómicas (subvariedades algebraicas dentro de variedades algebraicas). Los ciclos de Hodge son otro tipo de subvariedad que se definen por ciertas propiedades topológicas “agradables,” en lugar de añadiendo nuevas ecuaciones, por lo que son más generales que los ciclos algebraicos. Lo que afirma la conjetura de Hodge es que los ciclos de Hodge, aunque a priori parezcan mucho más generales, en realidad se pueden descomponer en ciclos algebraicos (luego entender estos últimos permite entender los primeros). Esto significa, más o menos, que cualquier subvariedad con una topología “agradable” en una variedad algebraica compleja se puede deformar hasta identificarla con una subvariedad algebraica. Como muchas otras conjeturas famosas, la conjetura de Hodge afirma que lo fácil permite entender lo difícil (bajo ciertas premisas de carácter técnico).


3 Comentarios

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Ricardo Co-San (@ricardocosan)

Yo estuve en las Jornadas del Milenio de Barcelona y la verdad es que la charla de Friedmann es más comprensible que la de Vicente Múñoz. Aunque Friedmann sólo dispone de una hora se toma buena parte del tiempo en introducir conceptos básicos de una manera muy gráfica y desde distintos puntos de vista. Luego ya tiene que acelerar un poco (haciendo la broma consiguiente). La charla de Vicente Múñoz fue bastante más técnica, con definiciones y teoremas y todo lo propio de un curso más que de una charla.
Tal vez porque fuera la última charla, o porque sólo me pudiera leer la mitad de los apuntes antes, o porque no acabo de asimilar la topología ni la geometría algebraica, se me hizo un poco cuesta arriba. Pero saqué alguna cosa en claro. (No fue como la de PvsNP que acabé con la cabeza como un bombo).
Un saludo.

45cr Charliec

Bueeeeeennnnnnnnnnooooooooo!, me dejò en babia, no se porque los matemàticos complican tanto las cosas, ¿esto no puede simplificarse?, cuando leo nombre como Readman, Minkoski, Noether y otros se que voy a pasar trabajo tratando de entenderlos. Està bien tu intento Francis por explicar esto, pero ni en el ùltimo pàrrafo se logrò el objetivo.

AlejandraAlejandra

Los matemáticos te simplifican las cosas, amigo. Sin las matemáticas, esta comunicación sería con señales de humo, por lo menos.
Un beso.

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