Cómo minimizar el error al pesar dos objetos diferentes con una balanza

La estadística es una de las ramas de las matemáticas menos admiradas por la gente aún siendo una de las importantes. Imagina que quieres pesar dos objetos, sean A y B, en una balanza como la de la foto. ¿Cómo puedes pesarlos minimizando el error? Considera que la balanza tiene un error de un gramo. Si pesas primero A y luego B obtendrás un error de σ = 1 gramo en ambas medidas. ¿Puedes hacerlo mejor? ¿Qué dice la estadística al respecto? Piensa un poco y luego lee lo que sigue.

La estadística es una materia que yo impartí a ingenieros en el curso 1996/97. Yo trate de explicar a mis alumnos que la estadística y la probabilidad tienen más de arte que de ciencia y que el buen usuario de la estadística es el que se piensa siempre las cosas dos veces antes de contestar. No sé si logré inculcarlo a mis alumnos, pues los exámenes fueron desastrosos (muchos alumnos calculaban como robots sin ver que los números que obtenían eran barbaridades sin sentido). Bueno, al grano, has pensado sobre el tema. Si no lo has hecho, ánimo, que estas cosas se disfrutan así, pensando.

La respuesta es bien conocida y supongo que muchos no habréis tenido que pensar nada para obtenerla, solo recordarla. Lo que hay que hacer es pesar ambos objetos en el mismo platillo, obteniendo la suma de sus masas, y poner ambos objetos cada uno en un platillo diferente, obteniendo la diferencia de sus masas. Con estos dos valores se puede obtener la masa de cada uno con un error de 0,71 gramos (una mejora de un 41% en el error).

Por cierto, te recomiendo el curso de estadística para físicos de partículas impartido por Tommaso Dorigo en la CHIPP PhD Winter School 2012, Engelberg, Switzerland, 22-27 January 2012.

Statistics. Day 1: Introduction, Basic stuff, some key concepts, a few examples.” El ejemplo de arriba está extraído de esta parte.

Statistics. Day 2: Interval estimation.” Esta parte discute el Girominium, el Kaiyinium, el Vivianonium y los neutrinos superlumínicos de OPERA.

Statistics. Day 3: Advanced techniques.” Esta parte discute, al final, la búsqueda del bosón de Higgs.

¿Quieres aprender a interpretar figuras como éstas? Pues el curso de Estadística de Tommaso seguro que te es de utilidad.

PS (5 feb. 2012): Entrada sobre su curso de estadística en su propio blog: Tommaso Dorigo, “Need Statistics Lessons For HEP Data Analysis? Look Here,” A Quantum Diaries Survivor, January 31st 2012.

14 Comentarios

Participa Suscríbete

AlvarAlvar

Hola Francis,

Lo primero felicitarte por el blog, soy lector asiduo aunque “comentarista” primerizo. Después de este topicazo de rigor te planteo mi duda:

Según lo que tú planteas, entiendo que a través de la estadística se puede mejorar la precisión de un aparato de medida, incluso por debajo del error de escala del aparato. La semana pasada tuve una discusión con un compañero sobre este tema y tras mucho discurrir y consultar bibliografía llegamos a la conclusión de que el error de escala de un aparato siempre será el límite inferior del error de esa medida. Me gustaría saber cómo calculas ese error de 0.71 gramos (inferior al gramo de la que supongo será la menor pesa de que dispones).

Muchas gracias por tu tiempo y sigue así, este blog es genial! :D

JechiraJechira

Alvar para una única medida es lo que dices, al combinar medidas ajustas el error, no es lo mismo pesar una vez la A que pesarla 10 veces y sacar la media. Al pesarlos juntos y por separado estas haciendo 2 medidas de cada masa por lo que mejoras la precisión.

Espero que sea correcto porque tengo la estadistica un poco oxidada

AlvarAlvar

Pues es que ése precisamente era el tema de nuestra discusión Francis. Imagina que tienes una vara de medir que mide un metro y con ella te dispones a medir un bolígrafo. Podrás realizar un millón de medidas, pero tu media no mejorará, el valor que tú podrás dar sobre la medida de tu boli en ese caso será cero metros con un error de un metro; o dicho en otras palabras, sabes que tu bolígrafo mide menos de un metro, pero no sabes más. Por eso te preguntaba de dónde salía ese valor de 0.71 gramos de error del que hablas.

En cualquier caso muchas gracias por tu respuesta, éste me parece un tema de importancia capital en física y en la ciencia en general, ya que conocer la certidumbre en torno a una medida es la base para poder realizar teorías que nos permitan interpretar la realidad que nos rodea.

JechiraJechira

No soy Francis soy Jechira.

Lo que estas planteando no es equiparable a lo que expone Francis en su articulo, lo que dices es que no puedes medir cosas que midan menos que tu unidad de medida, pero si miden más a mayor numero de mediciones mas precisión.

AlvarAlvar

Perdón, no me fijé en quien respondía, gracias Jechira pues.
Sí, estoy de acuerdo con lo que dices, a más medidas menor error en tu medida, pero nunca por debajo del límite de tu unidad de medida. Francis escribe “Considera que la balanza tiene un error de un gramo” y luego, que aplicando su método “se puede obtener la masa de cada uno con un error de 0,71 gramos (una mejora de un 41% en el error)”. Esto es lo que para mí es inconcebible, tener un error menor que el de tu unidad de medida. ¿Estoy entendiendo algo mal del problema? ¿Cómo se calcula ese 0.71 que menciona Francis?

JechiraJechira

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/un...medidas.htm

Mira en medidas directas, el error se define como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los errores parciales dividido entre el numero de medidas y el numero de medidas menos 1.

Aquí viene donde yo no acabo de ver el arte de la estadística, si supongo que le error de cada medida es de 1 gramo obtengo que el error de la medida es de 1 gramo, para obtener el 0.71 debo suponer que en cada medida tengo un error de 0.5 gramos en cada medición.

Ademas como tu indicas en tus mensajes aquí dicen lo siguiente:

4.-La identificación del error de un valor experimental con el error cuadrático obtenido de n medidas directas consecutivas, solamente es válido en el caso de que el error cuadrático sea mayor que el error instrumental, es decir, que aquél que viene definido por la resolución del aparato de medida.

Pero si consideramos que es una medida indirecta si que se puede afinar mas que la precision del aparato de medida y ese debe ser el truco de medir la suma y la diferencia de las pesadas para transformar la medida de directa en indirecta y poder obtener mayor precisión.

AlvarAlvar

Claro! Entonces me parece que tenemos la misma duda Jechira, espero que Francis nos la pueda responder.
De todas maneras, si lo hacemos como medida indirecta tampoco podemos bajar la precisión del aparato creo yo, aquí va mi cálculo de errores para el método de Francis (perdón si queda farragoso):

Supongamos que calculamos m2=((m2+m1)+(m2-m1))/2,

entonces el error de m2, calculado como el error de una medida indirecta, vendrá dado por: E(m2)=d(m2)/d(m2+m1)*E(m2+m1)+d(m2)/d(m2-m1)*E(m2-m1)
donde d(x)/d(y) indica derivada de x con respecto a y. Si el error del aparato es de 1 gramo, entonces el error al medir la suma y la resta será E(m2+m1)=E(m2-m1)=1 gramo. Las cuentas son fáciles: d(m2)/d(m2+m1)=d(m2)/d(m2-m1)=1/2, luego

E(m2)=1/2*1gramo+1/2*1gramo=1gramo

Es decir, no hemos mejorado absolutamente nada el error de la medida y como dice Jechira, yo no veo el arte de la estadística por ningún lado, así que continúo con mi duda.
Por favor Francis, manifiéstate!!

emulenewsemulenews

Jechira y Alvar, la respuesta a vuestra pregunta está en la siguiente figura extraída de la presentación de TommasoDorigo (figura para ahorrarme escribir fórmulas)

Dibujo20120206_Smart_weighting_from_dorigo_presentaion

AlvarAlvar

Ok, muchas gracias por la aclaración Francis.
Lo único que cambia de esa manera de calcularlo a la que yo decía es que yo sumo directamente las contribuciones de las medidas indirectas,mientras que aquí se suman los cuadrados y se toma la raíz cuadrada. Por lo que he leído hay diferentes maneras de calcular el error de una medida indirecta y cada maestrillo tiene su librillo. A mí personalmente, y mientras nadie me dé argumentos sólidos en contra, me gusta más mi manera. Me parece que el error de escala del aparato es el límite físico del error de la medida, y calculado “a mi manera” esto se obtiene de forma natural.

Belen-EstebanBelen-Esteban

Vale Francis, esta ecuación del error es muy bonita, pero como se contrasta empíricamente este valor teórico que nos da de 0.71? Cómo se comprueba que esta ecuación es válida?

emulenewsemulenews

Belen-Esteban ¿cómo se comprueba una ley probabilística? Realizando experimentos; lo más fácil mediante métodos de Montecarlo. El programa para implementar estas medidas son dos líneas en cualquier lenguaje (yo lo haría en Matlab en un momento pero no me voy a molestar, lo siento, te animo a ello si tienes interés).

Deja un comentario

Tu email nunca será mostrado o compartido. No olvides rellenar los campos obligatorios.

Obligatorio
Obligatorio
Obligatorio

Puedes usar las siguientes etiquetas y atributos HTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>