Carnaval de Matemáticas 3.1: La contribución más importante del carnaval de Río a las matemáticas

El año milagroso de Albert Einstein fue 1905, el de Stephen Smale (Medalla Fields en 1966) fue 1960, el año en el que le inspiraron las playas de Río de Janeiro para realizar los mejores trabajos de su carrera (en sus propias palabras). El año siguiente la NSF de EE.UU. le retiró la financiación a su proyecto, ¡cómo un matemático podía ser inspirado por lo que hay en las playas de Río! Quizás por ello, Smale siempre fue políticamente incorrecto y muy activo en movimientos en contra del gobierno. Yo he de confesar que estando soltero he estado en varias ocasiones en las playas de Copacabana e Ipanema (la chica de la foto, por si te lo preguntas, está fotografiada en Ipanema, según Google). Permíteme resumir las contribuciones de Río a la matemática, quiero decir, a la matemática de Smale.

Smale y la conjetura de Poincaré. En 1960 la geometría diferencial de variedades diferenciables parecía un campo de poco interés. El tema del momento era la “topología diferencial,” en la estela del lilbro de Steenrod, “The Topology of Fibre Bundles” (1956) y la “topología algebraica.” Milnor había introducido en 1956 las esfera exótica en dimensión siete, el primer ejemplo de dos variedades homeomorfas que no son difeomorfas (la esfera “euclídea” convencional y la exótica). En su tesis doctoral (1957), bajo la dirección de Raoul H. Bott en la Universidad de Michigan, Smale trabajó en el uso de espacios fibrados como herramienta para clasificar inmersiones (un campo en el que se había hecho poco desde los trabajos de Whitney en 1944). En 1958, Smale demostró que era posible realizar la eversión de una esfera (estaba de postdoc en la Universidad de Chicago). Los interesados en la eversión de esferas disfrutarán de este conocido vídeo de youtube. El trabajo de Smale bailaba entre la teoría de sistemas dinámicos (extensiones del teorema de Poincaré-Bendixson, solo válido en dimensión 2) y la topología algebraica. En 1958, Smale visitó el IAS (Institute for Advanced Study) donde se encontraban los mejores topólogos y geómetras de EE.UU. (Chern, Spanier, Borel, Floyd, Milnor, Munkres, Steenrod, Stallings, Weil, Whitehead, entre otros).

En enero de 1960, Smale llegó a Río de Janeiro para pasar 6 meses en el IMPA (Instituto de Matemaica Pura e Apicada) junto a Mauricio Peixoto (que conoció en el IAS) y Elon Lima; le financiaba una beca de la NSF. Justo antes de llegar, había enviado un manuscrito demostrando la conjetura de Poincaré en dimensión mayor de 4 a la revista “Bulletin of the American Mathematical Society.” Whitehead fue uno de los revisores; él había enunciado la versión generalizada de la conjetura de Poincaré e incluso había publicado una demostración que luego se demostró que era incorrecta. La demostración de Smale dejó boquiabiertos a muchos matemáticos, pues nadie pensó nunca que la conjetura de Poincaré fuera más fácil de demostrar en dimensión mayor de 4 y porque usaba técnicas de sistemas dinámicos (teoría de Morse). Yo no conozco en detalle la demostración de Smale, pero básicamente introduce una función de Morse “buena” (con solo dos puntos críticos) en la variedad que le permite descomponerla en la unión de una serie de “asas” (handles) donde la conjetura de Poincaré en dos dimensiones se puede aplicar; la técnica no funciona en dimensión 4 pues no hay “dimensiones extra” suficientes para realizar la descomposición en asas. El teorema fundamental que probó Smale se llama teorema del cobordismo-h y está considerado uno de los teoremas más importantes de la topología aplicada a la clasificación de variedades; la conjetura de Poincaré en dimensión mayor de 4 puede considerarse un corolario trivial de dicho teorema.

Muchos matemáticos pensaban que Smale ganaría la Medalla Fields en 1962 gracias a este resultado. Pero la demostración de Smale fue expuesta en EE.UU. mientras él estaba en Río y uno de los asistentes, John Stallings, afirmó que había obtenido una demostración similar. No quiero entrar en los detalles de prensa rosa de la disputa, pero todo el mundo cree que esta disputa es la responsable de que el nombre de ninguno de los dos esté asociado al de Poincaré en el nombre de la conjetura y a que Smale abandonara la topología diferencial en 1961. La medallas Fields de 1962 fueron para Milnor y Hörmander. Smale siempre ha dicho que no se la dieron por sus ideas políticas y por su inconformismo, pero seguramente fue porque el comité de concesión de los premios estaba deliberando mientras se publicó su demostración. Pero en 1965 organizó las protestas del Día de Vietnam en la Universidad de Berkeley en mayo de 1965, lo que no influyó en que recibiera la medalla Fields en 1966 (que se celebró para más inri en Moscú).

Smale y teorema de la herradura. En 1956, Smale estuvo en una conferencia en Ciudad de México donde conoció al brasileño Elon Lima, que estaba realizando su tesis doctoral en topología en la Universidad de Chicago. En 1958, aceptó una beca de postdoc en el IAS para pasar dos años allí, junto a su mujer, Clara y su hijo recién nacido Nat; Elon le presentó al brasileño Mauricio Peixoto, uno de los matemáticos que fundó el IMPA en 1957, que trabajaba en sistemas dinámicos y ecuaciones diferenciales, quien le invitó a pasar su segundo año de beca en el IMPA. Voló en diciembre de 1959 junto con Clara y sus dos niños, Nat y Laura.

Smale trabajaba en el IMPA con lápiz y papel, por lo que muchos días se acercaba a las playas de Río con Elon o alguno de sus estudiantes de doctorado. Smale había escrito un artículo que afirmaba algo que en lenguaje moderno sería “el caos no existe” (un resultado de estabilidad estructural de sistemas dinámicos). Norman Levinson encontró un error en su trabajo. Cartwright y Littlewood estaban trabajando en temas similares. Smale transformó las ideas de Levinson y las ecuaciones de Cartwright-Littlewood a un lenguaje geométrico descubrió la función (aplicación o mapa) de la herradura (“horseshoe map”). Smale siempre ha dicho que la idea se le ocurrió en las playas de Copacabana.

La dinámica de esta función se describe con la figura de arriba. Sin entrar en detalles, esta función está relacionada con las curvas homoclínicas introducidas por Poincaré y Birkhoff en sistemas dinámicos; Smale estudió las obras completas de Birkhoff en la biblioteca del IMPA. La versión moderna de estas ideas aparecía en los trabajos de los rusos Andronov y Pontryagin, que en EE.UU. fueron introducidos por Lefschetz; de hecho, Peixoto fue al IAS a trabajar con él. Smale aprendió las técnicas de dinámica estructural gracias a los trabajos de un alumno de Peixoto con Lefschetz. Todo estaba preparado para que en las playas de Río, relajado y disfrutando, Smale hiciera una de las contribuciones más importantes a la teoría de sistemas dinámicos en el siglo XX.

A nadie le debe importar lo que hiciera Smale, con su mujer y sus dos hijos, en las playas de Río, lo único que importa son los logros que alcanzó: la herradura de Smale y la demostración de la conjetura de Poincaré en dimensión superior.

Fuentes:

Steven Smale, “The story of the higher dimensional poincaré conjecture (what actually happened on the beaches of Rio),” The Mathematical Intelligencer 12: 44-51, 1990 [versión en Google Books].

Steve Smale, “Finding a horseshoe on the beaches of Rio,” The Mathematical Intelligencer 20: 39-44, 1998 [versión en Google Books].

Steve Smale and Michael Shub, “Smale Horseshoe,” Scholarpedia, 2: 3012, 2007.

Rob Kirby, “Book Review: “Stephen Smale: The Mathematician Who Broke the Dimension Barrier” by Steve Batterson,” Book Review, AMS, 2000.

Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas 3.1, organizado por Tito Eliatron, “Carnaval de Matemáticas 3.1 (Año 3, Edición 1): del 20 al 26 de Febrero.” Como dice Tito, “Febrero es el mes del Carnaval, del de Cádiz, del de Río, del de Las Palmas… y del Carnaval de Matemáticas.” En esta ocasión el carnaval está organizado por Rafael Granero-Belinchón, “Anuncio del Carnaval de Matemáticas de Febrero,” Scientia potentia est, 04 feb. 2012. “En Scientia Potentia Est tenemos la suerte de albergar el Carnaval de Matemáticas de este mes de Febrero. Es la edición 3.1, así que estamos de cumpleaños.”

Por cierto, esta entrada está dedicada a Clara Grima @ClaraGrima, porque sin su impulso en Twitter nunca hubiera sido escrita.

4 Comentarios

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jaumejaume

Recuerdo haber visto una demostracion sobre un teorema (paradoja de smale) que decia algo asi como que se podia descomponer una esfera y de sus “trozos” construir otras dos esferas cada una de ellas con el mismo volumen de la original, realmente bonita la demostracion y involucrando herramientas muy distintas. Tambien lei hace algun tiempo que cuando Smale fue a moscu al congreso internacional de matematicas dijo en una rueda de prensa que en la URSS se violaban los derechos humanos, ante lo cual dos hombres uniformados (al mas puro estilo forsyth) le dieron una vuelta por la capital para que se convenciera de lo contrario, hehehehe.

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