Las matemáticas del bosón de Higgs, para las abuelas cansadas de cháchara (Parte I)

Igor Campillo, físico y Director de Euskampus en la Universidad del País Vasco, Campus de Excelencia Internacional, lo ha dejado más claro que el agua en “La partícula que tu abuela nunca entenderá por mucho que se lo expliques,” Amazings.es, 17 julio 2012. “Me temo que todo este esfuerzo resulta vano desde el punto de vista conceptual, al menos si se aspira a explicar el bosón de Higgs “hasta a mi abuela”… “Comprender es acostumbrarse.” Según aprendemos, lo que nos había parecido inescrutable al principio resulta ser trivial, simplemente por el hecho de trabajar en ello. Por eso resulta tan difícil captar lo que es la mecánica cuántica, porque está fuera de nuestra experiencia cotidiana y uno no se puede acostumbrar a ella utilizando ejemplos de nuestro día a día. Sólo tras mucho operar y calcular, se empiezan a captar sutilezas, conceptos e implicaciones que de otra forma son inimaginables. Entender y explicar el bosón de Higgs sólo puede hacerse dentro del formalismo donde aparece. No podemos hacer “un como si”. No admite traducción e interpretación simultánea.”

¿Qué es el bosón de Higgs? La partícula con la que se puede observar el campo de Higgs. ¿Qué es el campo de Higgs? Un campo con el que interaccionan las partículas que tienen masa. Esta interacción es cuántica, pero podemos hacernos una idea de cómo funciona utilizando la teoría clásica de campos. Nos lo cuenta The Unapologetic Mathematician en “The Higgs Mechanism part 1: Lagrangians,” July 16, “The Higgs Mechanism part 2: Examples of Lagrangian Field Equations,” July 17, “The Higgs Mechanism part 3: Gauge Symmetries,” July 18, y “The Higgs Mechanism part 4: Symmetry Breaking,” July 19. Recomiendo una lectura a estas entradas.

He pensado en traducir dichas entradas, pero no tengo tiempo y ya hice algo parecido hace algún tiempo (abril de 1999). Quizás conviene recordarlo.

Figura 1: Potencial V(|φ|²) para m²>0 (gráfica izquierda) y m²<0 (gráfica derecha).

Generación de la Masa de las Partículas. I: Bosones Escalares de Goldstone y Higgs

El premio Nobel de Física de 1999 fue concedido a los físicos holandeses Gerard ‘t Hooft y Martinus Veltman por sus contribuciones a la renormalización de la teoría electrodébil y, con ella, de todo el Modelo Estándar de las partículas elementales. En el Modelo Estándar las masas de las partículas elementales se generan mediante una rotura espontánea de la simetría.

La rotura espontánea de la simetría fue descubierta por Heisenberg en 1932 en su estudio de los materiales ferromagnéticos, y aplicada por Nambu y Goldstone, a principios de los 1960, a teorías de campos en física de la materia condensada (teorías de aforo (gauge) global). En 1964, Higgs (y otros autores) la aplicó a teorías de aforo local descubriendo un mecanismo para la generación de la masa de las partículas elementales. Dicho mecanismo está en la base de la teoría electrodébil, desarrollada por Glashow, Weinberg y Salam, premios Nobel de Física en 1979. La teoría electrodébil es una teoría de aforo local SU(2)times U(1) que unifica la fuerza electromagnética mediada por el fotón, que no tiene masa, y la fuerza débil mediada por los bosones vectoriales intermedios mbox{W}^{pm} y mbox{Z}, que tienen masa no nula. En esta teoría, se produce una rotura espontánea de la simetría mediante el mecanismo de Higgs, por el cual los bosones vectoriales adquieren masa y queda como remanente una partícula masiva, el bosón escalar de Higgs, que ha sido encontrado experimentalmente el pasado 4 de julio de 2012.

‘t Hooft probó en su tesis doctoral, dirigida por Veltman, que una teoría de aforo local con rotura espontánea de la simetría, como la teoría electrodébil, es renormalizable. De esta forma se definió un procedimiento consistente para realizar cálculos de gran precisión en esta teoría y, entre ellos, la predicción de las masas de las partículas mbox{W}^{pm} y mbox{Z}, descubiertas en el CERN en 1983, y del quark t (top), descubierto en el Fermilab en 1995.

En este artículo se estudiará la generación de masa mediante rotura espontánea de la simetría utilizando una teoría clásica de campos. Primero, repasaremos brevemente la notación tensorial (de índices) para vectores y covectores, la relatividad especial, la diferencia entre vectores axiales y polares, y la formulación covariante o relativista de las ecuaciones de Maxwell. Seguidamente, repasaremos la formulación lagrangiana de campos clásicos y su aplicación a un campo escalar cargado (complejo) que tiene simetría de aforo global de tipo U(1). Imponiendo la invarianza de las ecuaciones de este campo ante transformaciones de aforo locales se obtiene un campo electromagnético. Finalmente, estudiaremos la aplicación de la rotura de simetría al campo escalar cargado con simetría de aforo global, el mecanismo de Goldstone, y con simetría de aforo local, el mecanismo de Higgs, que permite al campo electromagnético adquirir masa “tragándose” una de las componentes del campo escalar y dejando como remanente a la otra, el bosón de Higgs.

Vectores y covectores

Sea un vector mathbf{x} en el espacio vectorial Vequivmathbb{R}^3, con componentes mathbf{x} = (x^1, x^2, x^3) = (x, y , z), y {mathbf{e}_i}_{i=1}^3 una base de dicho espacio vectorial. Entonces, se puede expresar mathbf{x} en coordenadas como

mathbf{x}=sum_{i=1}^3 x^imathbf{e}_i = x^i mathbf{e}_i,

donde en la última expresión hemos usado el convenio de suma de índices repetidos de Einstein, según el cual los términos (productos) con índices repetidos representan la suma de dichos términos respecto a dichos índices.

Se denomina espacio vectorial dual V' al espacio de formas lineales (covectores) en V. Un covector mathbf{a}in V' es una función lineal mathbf{a} que transforma un vector V en un número mathbb{R}, es decir, tal que

mathbf{a}(alphamathbf{x}+ beta mathbf{y})=alpha mathbf{a}(mathbf{x})+ beta mathbf{a}(mathbf{y}),

donde alpha y beta son números (escalares). En función de las coordenadas de mathbf{x} podemos escribir mathbf{a}(mathbf{x}) como a_i x^i (recuerda que esto significa a_1 x^1 + a_2 x^2 + a_3 x^3); gracias a la linealidad a_i = mathbf{a}(mathbf{e}_i).

Asociada a la base de vectores mathbf{e}_i, podemos elegir covectores mathbf{e}^j que cumplan

mathbf{e}^j(mathbf{e}_i) = g^j_i = delta^j_i = left{begin{array}{ll} 0, quad & ine j, \ 1, quad & i= j,end{array}right.

donde delta_i^j es la delta de Krocneker. Estos covectores cumplen que mathbf{e}^j(mathbf{x})=x^j, y se comprueba que forman una base de V', lo que permite escribir mathbf{a} = a_jmathbf{e}^j, ya que

mathbf{a}(mathbf{x})= (a_j mathbf{e}^j)(mathbf{x}) = a_j mathbf{e}^j(mathbf{x}) = a_j x^j equiv a_i x^i,

donde hemos usado que los índices son mudos. La dimensión de V es igual a la dimensión de V' y, por tanto, son espacios vectoriales isomorfos, luego podemos considerar un vector mathbf{x}inmathbb{R}^3 tanto como vector x^i o como covector x_i. A los vectores y covectores también se les denomina vectores contravariantes x^i y covariantes x_i, respectivamente. Para subir y bajar índices se usa el tensor fundamental g_i^j = g_{ij}= g^{ij}, actuando de la forma

x^i g^j_i =x^j, qquad x^i g_{ij} = x_j, qquad x_i g^{ij} = x^j.

El espacio-tiempo euclídeo (t,mathbf{x}) inmathbb{R}timesmathbb{R}^3 es el espacio invariante ante transformaciones de Galileo, que son las que dejan invariante el tiempo y la distancia euclídea en el espacio, definida mediante el producto escalar euclídeo

langle cdot, cdot rangle: Vtimes V' rightarrow mathbb{R}, qquad langle mathbf{x}, mathbf{a} rangle = mathbf{a}(mathbf{x}) = a_i x^i.

Como V y V' son isomorfos, se puede definir el producto escalar como un producto interior

langle cdot, cdot rangle: Vtimes V rightarrow mathbb{R}.

Para distancias infinitesimales obtenemos la condición

ds^2 = dx_i dx^i = g_{ij} dx^j dx^i.

Relatividad especial

La relatividad especial se basa en el principio de constancia de la velocidad de la luz (c) y usa el espacio-tiempo de Minkowski que es invariante ante trasformaciones de Lorentz, que son las que preservan la métrica pseudo-euclídea

ds^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2.

Al contrario que en el espacio-tiempo euclídeo, los vectores contravariantes y los covariantes en el espacio de Minkowski tienen componentes que difieren (aunque solo en su signo), en concreto,

x = x^mu = (x^0, x^1, x^2, x^3) = (c t, mathbf{x}) = (c t, x, y, z),x_mu = (x_0, x_1, x_2, x_3) = (c t, -mathbf{x}) =(c t, -x, -y, -z),

respectivamente. Introduciendo el tensor métrico fundamental

g_{munu} = left( begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & -1 \ end{array} right) = ( g_{munu} )^{-1} =g^{munu},

podemos escribir la métrica como

ds^2 = dx_mu dx^mu = g_{munu} dx^nu dx^mu.

Se definen los operadores diferenciales

partial_mu=frac{partial}{partial x^mu}=(partial_0, partial_1, partial_2, partial_3)=left(frac{partial}{c,partial t},frac{partial}{partial x},frac{partial}{partial y},frac{partial}{partial z} right)= left(frac{1}{c}frac{partial}{partial t}, mathbf{nabla} right),partial^mu=g^{munu}partial_nu=left(frac{1}{c}frac{partial}{partial t}, -mathbf{nabla} right),

que conducen al operador de segundo orden

{partial_mu}partial^mu=frac{1}{c^2}frac{partial^2}{partial t^2} - left( frac{partial^2}{partial x^2}+ frac{partial^2}{partial y^2}+ frac{partial^2}{partial z^2}right),

de d’Alembert, que es invariante Lorentz.

Vectores polares y axiales

Un vector (o un campo vectorial) mathbf{a}(x,y,z) se denomina axial (pseudovector) o polar (vector) en función de si cambia o no, respectivamente, de signo cuando se realiza una reflexión espacial, (x,y,z)rightarrow (-x,-y,-z). La importancia de esta diferencia se debe a que el producto vectorial de dos vectores polares mathbf{a}timesmathbf{b} es un vector axial.

Introduciendo el tensor completamente antisimétrico de rango 3 de Levi-Civita varepsilon_{ijk} definido como

varepsilon_{123}=varepsilon_{231} = varepsilon_{312} = 1,varepsilon_{132}=varepsilon_{213}=varepsilon_{321}=-1,varepsilon_{ijk}=0, quad mbox{en otro caso},

se escribe el producto vectorial mathbf{c}=mathbf{a}timesmathbf{b} en componentes como c_{i} = varepsilon_{ikl} a_k b_l (recuerda que hay que sumar respecto a los índices repetidos, en este caso, sum_{kl}).

Asociado al producto vectorial podemos escribir un tensor anti-simétrico de rango 2 de la forma c_{ik} = a_i b_k - a_k b_i = - c_{ki}, que permite escribir (suma índices repetidos)

c_{i} = frac{1}{2} varepsilon_{ikl} c_{kl} = varepsilon_{ikl} a_k b_l, qquad c_{ik} = varepsilon_{ikl} c_{l}.

Así, para el rotacional mathbf{R}=nablatimesmathbf{c} tenemos

R_i = -frac{1}{2} varepsilon_{ikl} left(frac{partial c_k}{partial x_l} - frac{partial c_l}{partial x_k}right).

En general, todos los vectores axiales mathbf{c} se pueden representar como tensores anti-simétricos de rango 2 de la forma c_{ik} = varepsilon_{ikl} c_{l}, con lo que podemos escribir R_{ik} =varepsilon_{ikl} R_{l}.

Formulación covariante de las ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético (con unidades en el sistema gaussiano) toman la forma

(1) qquad nablatimes mathbf{E} + frac{1}{c} frac{partial mathbf{B}}{partial t} = 0, qquad nablacdotmathbf{B} = 0,(2) qquad nablatimes mathbf{B} - frac{1}{c} frac{partial mathbf{E}}{partial t} = frac{4pi}{c}mathbf{j}, qquad nablacdotmathbf{E} = 4pi rho,(3) qquad frac{partial rho}{partial t} + nabla mathbf{j} = 0,

donde mathbf{E}, mathbf{B}, rho, mathbf{j} y c son el campo eléctrico, la intensidad de campo magnético, la densidad de carga, la corriente de carga y la velocidad de la luz, respectivamente. Las ecuaciones (1) corresponden a la Ley de Faraday, un campo magnético variable genera un campo eléctrico, y a la ausencia de cargas magnéticas (monopolos). Las ecuaciones (2) corresponden a la Ley de Ampère con el término añadido por Maxwell que permite la generación de ondas electromagnéticas, y a la ley de Gauss, la carga total en un volumen determina el campo en su superficie. Finalmente, la ecuación (3) es la ley de conservación de la carga.

Las ecuaciones (1) quedan automáticamente satisfechas si se introducen dos potenciales, uno escalar o eléctrico, phi, y otro vectorial o magnético, mathbf{A}, de forma que

mathbf{B}=nabla times mathbf{A}, qquad mathbf{E}=-frac{1}{c} frac{partial mathbf{A}}{partial t} - nabla phi,

(ya que mbox{div,rot,}mathbf{A} =nablacdotnablatimesmathbf{A} = 0, y mbox{rot,grad,}phi = nablatimesnablaphi= 0).

En relatividad especial podemos definir un cuadrivector potencial A_mu = (phi, mathbf{A}) = (A_0, A_i) y los campos eléctrico y magnético se escriben

E_i = -frac{1}{c}frac{partial A_i}{partial t} - nabla phi = -partial_0 A_i - partial_i A_0,B_i = -frac{1}{2} epsilon_{ijk} left( partial_j A_k - partial_k A_j right).

Definiendo el tensor covariante antisimétrico

F_{munu} = partial_mu A_nu - partial_nu A_mu,

obtenemos que, de lo dicho anteriormente,

F_{i0} = E_i, qquad F_{ij} = -varepsilon_{ijk} B_k,F_{munu} = left(begin{array}{cccc} 0 & E_1 & E_2 & E_3 \-E_1 & 0 & -B_3 & B_2 \ -E_2 & B_3 & 0 & -B_1 \ -E_3 & -B_2 & B_1 & 0 end{array}right).

Definiendo un cuadritensor completamente antisimétrico de cuarto rango $latex varepsilon_{munurhosigma} =

varepsilon^{munurhosigma}$ (igual a 1 para permutaciones pares de munurhosigma = 0123, a -1 para permutaciones impares y a 0 en otro caso), las ecuaciones (1) se pueden escribir como

partial_mu tilde{F}^{munu} = 0, qquad tilde{F}^{munu} = frac{1}{2} varepsilon^{munurhosigma} F_{rhosigma},

donde tilde{F}^{munu} es el tensor dual de F_{munu}.

Introduciendo un cuadrivector corriente J_mu = (rho,mathbf{j}/c) = (rho, j_i/c), podemos escribir las ecuaciones (2) como

partial^mu F_{munu} = 4pi J_nu.

Además, se cumple automáticamente la ecuación de continuidad partial^mu J_mu = 0, ya que

partial^mu partial^nu F_{munu} =partial^mu partial^nu left(partial_mu A_nu- partial_nu A_muright)= partial^2 left(partial^nu A_nu - partial^mu A_muright) = 0.

A partir del tensor del campo F_{munu} podemos definir dos invariantes

F_{munu}F^{munu} = mathbf{H}^2 -mathbf{E}^2 = mbox{inv.},varepsilon^{iklm}F_{ik}F_{lm} = mathbf{E}cdotmathbf{H}=mbox{inv.},

que indican que la energía se conserva y el campo electromagnético es transversal, respectivamente.

El campo electromagnético es invariante ante transformaciones de aforo (gauge) de tipo A_mu rightarrow A_mu -partial_mu f, donde f es una función escalar arbitraria, ya que F_{munu} (los campos mathbf{E} y mathbf{H}) no cambian ante dicha transformación.

Teoría clásica de campos

En teoría de campos relativistas se especifican las ecuaciones para los campos phi_i(x), mediante un principio de “mínima” acción: la acción

S=int {cal {L}}(phi_i, partial_muphi_i),d^4 x,

donde {cal {L}} es la densidad lagrangiana, debe ser estacionaria delta S=0. Operando obtendremos las ecuaciones de Euler-Lagrange

delta S=int left[frac{partial {cal {L}}}{partial phi_i}delta phi_i + frac{partial {cal {L}}}{partial (partial_muphi_i)}delta (partial_muphi_i)right], d^4 x,

e integrando por partes usando delta(partial_muphi_i) = partial_mu (deltaphi_i) y que delta phi_i = 0 en el contorno, obtenemos

delta S=int left[ frac{partial {cal {L}}}{partial phi_i} - frac{partial }{partial x^mu} left(frac{partial {cal {L}}}{partial (partial_muphi_i)} right)right],delta phi_i, d^4 x = 0,

que conduce a las ecuaciones de Euler-Lagrange

(4) qquad frac{partial {cal {L}}}{partial phi_i}- frac{partial }{partial x^mu}left(frac{partial {cal {L}}}{partial (partial_muphi_i)} right) = 0,

para cada campo phi_i.

Campo escalar complejo con potencial no lineal cuártico

Consideremos un campo escalar complejo con una auto-interacción no lineal cuártica,

{cal {L}} = g^{munu} ( partial_mu phi) ( partial_nu phi^*) - V(phi^*phi),

donde

V(phi^*phi) = m^2,phi^*phi + frac{lambda}{2},(phi^*phi)^2,

phi = phi_1+mbox{i} phi_2, y phi^* = phi_1-mbox{i} phi_2 se pueden considerar como dos campos independientes. El parámetro m, en la versión cuántica de este campo se convertirá en la masa de las partículas. El parámetro lambda representa la constante de auto-interacción de las partículas del campo consigo mismas.

Las ecuaciones de Euler-Lagrange (4) dan

$latex frac{partial {cal {L}}}{partial phi} = -frac{partial V}{partial phi} = -phi^*,frac{partial V}{partial (phi^*phi)}, qquad

frac{partial {cal {L}}}{partial phi^*} = -phi,frac{partial V}{partial (phi^*phi)},$

$latex frac{partial {cal {L}}}{partial (partial_mu phi)} = g^{munu} ( partial_nu phi^*)

= partial^mu phi^*, qquad frac{partial {cal {L}}}{partial (partial_mu phi^*)} = partial^mu phi,$

y como partial{V}/partial{(phi^*phi)} = m^2 + lambda(phi^*phi), obtenemos

$latex ({partial_mu}partial^mu + m^2 + lambda,phi^*phi ) phi = 0, quad

({partial_mu}partial^mu + m^2 + lambda,phi^*phi ) phi^* = 0,$

para las ecuaciones de este campo relativista. En la versión cuántica de esta teoría estas ecuaciones representan una partícula (phi) y su antipartícula (phi^*) de espín 0 (bosón escalar) de masa m.

Tanto la lagrangiana {cal {L}} como las ecuaciones de campo son invariantes ante transformaciones de aforo globales,

phi longrightarrow e^{mbox{i}Lambda},phi, qquad (Lambda mbox{ constante}),

es decir, transformaciones de fase o de tipo U(1). La invarianza U(1) conduce a la conservación de la carga eléctrica. Calculando la 4-divergencia de la densidad de corriente

J^mu = mbox{i}(phi^* partial^mu phi - phi partial^muphi^*),

obtenemos aplicando las ecuaciones del campo

partial_mu J^mu = mbox{i} (partial_muphi^* partial^mu phi + phi^*{partial_mu}partial^mu phi - partial_mu phi partial^muphi^* - phi{partial_mu}partial^mu phi^*) = 0,

con lo que la carga eléctrica

Q=int J^0 ,d^3x=frac{mbox{i}}{c} int left({phi^*}frac{partial phi}{partial t}-phi frac{partial {phi^*}}{partial t}right) , d^3 x,

se conserva dQ/dt = 0. Es necesario recurrir a la versión cuántica de la teoría para que en la definición de Q aparezcan e, la carga del electrón, y hbar, la constante de Planck, así como para obtener que la carga eléctrica está cuantizada Q=n,e. Nótese que un campo escalar real (phi=phi^*) representa partículas neutras Q=0.

Teoría de aforo local para el campo escalar complejo

La invarianza U(1) global del campo escalar complejo indica que podemos seleccionar la fase del campo arbitrariamente, pero si cambiamos la fase en un punto del espacio debemos hacerlo simultáneamente en todos los puntos. Sin embargo, esto es incompatible con la relatividad especial, ya que implica que una señal (el cambio de fase en un punto) ha de propagarse a una velocidad infinita. Para restaurar la causalidad física debemos considerar cambios de fase locales, es decir, la teoría con invarianza de aforo U(1) local,

phi longrightarrow e^{-mbox{i}Lambda(x)} ,phi, qquad Lambda(x)=Lambda(x^mu).

Considerando un cambio infinitesimal Lambda ll 1, se obtiene

phi rightarrow phi + delta phi = phi - mbox{i} Lambda phi, qquad delta phi = -mbox{i} Lambda phi,

$latex partial_mu phi rightarrow partial_mu phi

- mbox{i} (partial_mu Lambda)phi – mbox{i} Lambda ( partial_mu phi)),$

con lo que delta(partial_mu phi) ne - mbox{i} Lambda (partial_mu phi) y partial_mu phi no se transforma covariantemente, es decir, como lo hace phi. Por ello, la lagrangiana tampoco es invariante

$latex delta {cal {L}}=delta (( partial_mu phi) ( partial^mu phi^*)) – delta V(phi^*phi)=left( – mbox{i} Lambda (partial_mu phi) – mbox{i} (partial_mu Lambda)phi right)( partial^mu phi^*)+( partial_mu phi)

left( mbox{i} Lambda (partial^mu phi^*) + mbox{i} (partial^mu Lambda)phi^* right)= partial_mu Lambda ( – mbox{i} phi partial^mu phi^*

+ mbox{i} phi^* partial^mu phi ) = (partial_mu Lambda)J^mu,$

ya que delta (phi^*phi) = 0.

Para restaurar la invarianza de aforo hay que introducir un campo vectorial A_mu (con las mismas unidades que partial_mu) acoplado a la corriente J^mu, y que se transforme adecuadamente. Debemos añadir

$latex {cal {L}}_1 = -e ,J^mu A_mu, qquad

mbox{tal que } A_mu rightarrow A_mu + frac{1}{e} partial_mu Lambda,$

con lo que obtenemos el término requerido

delta {cal {L}}_1=- e (delta J^mu)A_mu - e J^mu (delta A_mu)=-e (delta J^mu)A_mu - J^mu (partial_mu Lambda),

pero a costa de introducir un nuevo término a cancelar

-e A_mu (delta J^mu)=-e mbox{i} A_mu ,delta (phi^*partial^mu phi - phi partial^mu phi^*)=- 2 e A_mu (partial^mu Lambda) phi^* phi,

lo que nos obliga a introducir otro término

{cal {L}}_2=e^2 A_mu A^mu phi^* phi,delta {cal {L}}_2=2 e^2 A_mu delta (A^mu) phi^* phi=2 e A_mu (partial^mu Lambda) phi^* phi.

De esta forma {cal {L}} + {cal {L}}_1 + {cal {L}}_2 es invariante ante transformaciones U(1) locales.

El campo vectorial A_mu también puede interactuar consigo mismo de forma invariante. Definiendo

F_{munu} = partial_mu A_nu - partial_nu A_mu,delta F_{munu}=partial_mu frac{1}{e}partial_nu Lambda- partial_nu frac{1}{e}partial_mu Lambda = 0,

podemos añadir a la lagrangiana

{cal {L}}_3=- frac{1}{4} F^{munu}F_{munu},

y obtener como lagrangiana total

$latex {cal {L}}_{{T}} = (partial_mu phi)(partial^mu phi^*) – mbox{i} e (phi^*partial^mu phi – phi partial^mu phi^*) A_mu + e^2 A_mu A^mu phi^* phi – V( phi^*phi) – frac{1}{4} F^{munu}F_{munu}= (D_mu phi)(D^mu phi^*)

- V( phi^*phi) – frac{1}{4} F^{munu}F_{munu},$

donde hemos introducido la derivada covariante

D_mu phi=(partial_mu + mbox{i} e A_mu )phi, qquad D^mu phi^* = (partial^mu - mbox{i} e A^mu) phi^*,

que se transforma como phi,

delta(D_mu phi)=delta(partial_mu phi) + mbox{i} e (delta A_mu)phi + mbox{i} e A_mu delta phi =-mbox{i} Lambda delta(D_mu phi).

En la lagrangiana total {cal {L}}_{{T}}, ha sido necesario introducir de forma natural un campo electromagnético con objeto de garantizar la invarianza U(1) local de la lagrangiana original.

Las ecuaciones de Maxwell (1) se satisfacen automáticamente para F_{munu}. Las ecuaciones de Euler-Lagrange para el campo A_mu

frac{partial {cal {L}}_{{T}}}{partial A_mu} - partial_nu left( frac{partial {cal {L}}_{{T}}}{partial (partial_nu A_mu)}right) = 0,

conducen a las ecuaciones (2)

partial_nu F^{munu}=- mbox{i} e (phi^*partial^mu phi - phi partial^mu phi^*) + 2 e^2 A^mu phi^*phi = - mbox{i} e (phi^* D^mu phi - phi D^mu phi^*) = -e mbox{cal J}^mu,

utilizando como corriente la versión covariante

mbox{cal J}^mu=mbox{i}(phi^* D^mu phi - phi D^mu phi^*),

que también se conserva partial_mu mbox{cal J}^mu = 0.

Es importante notar que el campo electromagnético no tiene masa (m_A=0), ya que el término de masa

{cal {L}}_M = m_A^2 A_mu A^mu,

no es invariante ante transformaciones U(1). Por ello, las partículas del campo electromagnético, los fotones, han de viajar a la velocidad de la luz.

Finalmente, debemos notar que e, la constante de acoplamiento entre el campo electromagnético A_mu y el campo escalar phi, juega un papel doble. Por un lado, es la carga eléctrica, una cantidad que se conserva e = int mbox{cal J}^0,dV, y por otro lado, mide la fuerza con la que la partícula phi interactúa con el campo electromagnético A_mu.

Rotura espontánea de la simetría

La rotura espontánea de la simetría la descubrió Heisenberg trabajando con materiales ferromagnéticos, imanes naturales. A baja temperatura, todos los espines, pequeños dipolos magnéticos asociados a los átomos del material, están alineados en una determinada dirección, la de norte-sur del imán, y el material no es simétrico cuando lo rotamos (de ahí que las brújulas siempre apunten al norte aunque las giremos). A alta temperatura, la magnetización desaparece, los espines se alinean en direcciones aleatorias y el material se vuelve simétrico, no cambia cuando lo rotamos. Existe una temperatura crítica T_{mbox{crit}} a la que se produce la rotura espontánea de la simetría. El estado físico, o de mínima energía, para T>T_{mbox{crit}} es simétrico, pero para T<T_{mbox{crit}} es asimétrico y está infinitamente degenerado ya que la dirección en la que se alinean los espines se elige prácticamente al azar, si se repite el experimento de calentar y enfriar muchas veces en todas las ocasiones se obtienen direcciones norte-sur completamente distintas.

Bosón de Goldstone

Estudiaremos ahora, la aplicación de la ruptura espontánea de la simetría al campo escalar phi^4 complejo presentado más arriba. El estado de mínima energía para este campo se determina minimizando el potencial V, en concreto,

frac{partial V}{partial phi}=phi^*,frac{partial V}{partial (phi^*phi)} = m^2 phi^* + lambdaphi^*(phi^*phi) = 0.

Cuando m^2>0, V tiene un mínimo para phi^*=phi=0. Pero para m^2<0 tiene un máximo local en phi=0 e infinitos mínimos para

(5) qquad phi^*phi=|phi|^2 = -frac{m^2}{lambda} = a^2.

Todos los mínimos se encuentra en |phi|=a, un círculo en el plano (phi_1, phi_2), donde phi = phi_1+mbox{i} phi_2 como se muestra en la figura que aparece más arriba.

En una teoría cuántica, phi es un operador y la condición de mínima energía determina el valor esperado del campo en el vacío, es decir, cuando no hay ninguna partícula

|langle 0 | phi | 0 rangle|^2=a^2.

Los estados con una, dos o n partículas se obtienen añadiendo estas partículas una a una al vacío, que puede no coincidir con phi=0. Tomando coordenadas polares,

(6) qquad phi(x) = (a + rho(x)),e^{mbox{i}theta(x)},

obtenemos para el estado del vacío

$latex |langle 0 | phi | 0 rangle| = a, qquad

|langle 0 | rho | 0 rangle| = 0, qquad

|langle 0 | theta | 0 rangle| = 0.$

Este campo tiene las mismas características que el ejemplo del ferromagnetismo: tenemos infinitos estados de vacío degenerados que están conectados por la simetría de la teoría, cambiar la fase, de tal forma que la elección de un vacío concreto (como la dirección de magnetización) rompe la simetría, fija una fase dada.

Podemos considerar a rho y phi como los campos físicos, con los que expresaremos el lagrangiano {cal {L}} = (partial_mu phi) (partial^mu phi^*)- V. Operando

V(phi^*phi)=V(a + rho)=m^2 (a+rho)^2 + frac{lambda}{2} ( a + rho)^4= lambda a^2 (a+rho)^2 + frac{lambda}{2} ( a + rho)^4= frac{lambda}{2} rho^4 + 2 a lambda rho^3 + 2 lambda a^2 rho^2 - frac{lambda}{2} a^4,

donde se ha usado la ec. (5), y para el otro término

(partial_mu phi)(partial^mu {phi^*})= (partial_mu rho) (partial^mu rho) + (a + rho)^2 (partial_mu theta) (partial^mu theta).

El lagrangiano tiene un término en rho^2, por lo que el campo $rho$ tiene una masa dada porm_{rho}^2 = 2 lambda a^2, mientras que la ausencia de término en theta^2 indica que theta es un campo sin masa. Como resultado de una ruptura espontánea de la simetría dos campos escalares con masa (phi y phi^*) se han convertido en un campo con masa y otro sin ella.

La Figura de más arriba muestra que, para m^2>0 pequeño, mover el vacío desde el origen hasta el punto |phi|=a cuesta energía, que se convierte en la masa del campo rho para m^2<0. Mover theta alrededor del círculo de degeneración del vació no cuesta energía, por lo que este campo permanece sin masa. La partícula theta se denomina bosón de Goldstone. El teorema de Goldstone dice que toda ruptura de simetría de un teoría cuántica de campos global genera una partícula de espín cero sin masa.

Bosón de Higgs

El mecanismo de Higgs consiste en aplicar una rotura de simetría a un campo con simetría de aforo local. Consideremos el campo escalar phi^4 complejo acoplado a un campo electromagnético, presentado más arriba. Tomando, con m^2<0, el campo en forma exponencial (6) alrededor del estado de mínima energía (5), obtenemos fácilmente como nueva lagrangiana

{cal {L}}=-frac{1}{4}F_{munu}F^{munu} + e^2 a^2 A_mu A^mu + (partial_mu rho)(partial^mu rho)- mbox{i} e a (A^mu partial_mu rho - A_mu partial^mu rho)- m^2 a^2- 2 m^2 a rho - m^2 rho^2 - lambda a^4 - 4 lambda a^3 rho - 6 lambda a^2 rho^2 + cdots,

donde hemos eliminado términos de orden superior; la nueva densidad lagrangiana muestra que el campo vectorial A_mu, que representaba al fotón, ha adquirido masa (m_A=ea) “comiéndose” al bosón escalar theta, el bosón de Goldstone, que no tiene existencia física gracias a la simetría U(1) local, mientras que el bosón escalar rho, bosón de Higgs, sigue siendo masivo. A partir de dos bosones escalares con masa y un bosón vectorial sin masa hemos obtenido, gracias a la rotura espontánea de la simetría, un bosón vectorial y un bosón escalar ambos con masa.

En la parte II de este artículo abordaremos el mecanismo de Higgs en teorías de aforo no abelianas con grupos de simetría O(3) y SU(2), lo que nos anticipará su aplicacióin a la teoría electrodébil.

Bibliografía

L.H. Ryder, “Quantum Field Theory,” (2nd. ed.), Cambridge University Press (1996).

A.A. Sokolov et al., “Electrodinámica Cuántica,” Editorial Mir, Moscú (1989).

N. Nélipa, “Physique des Particules Élémentaires,” Editorial Mir, Moscú (1981).

12 Comentarios

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Hector Denis (@hector_denis)

Maestro, pude ver lo que sospechaba; el soporte matemático de las teorías actuales, este tipo de divulgación es impagable aunque entendí formalmente hasta Teoría clásica de campos solamente, después de eso vi como 10 años que me faltan para entender el resto, aunque podría hacerme entender en el CERN ¿me entenderán ellos si les digo que la imaginación me sirve para entender ese resto? Porque eso hace la divulgación, encender la imaginación.

ArtemioArtemio

La figura introduce un elemento macro, una ondilla de plástico azul que distorsiona lo que son las partículas vistas desde la óptica ordinaria. El punto débil que le veo a la física de partículas es la dificultad que tiene para describir la acción de muchas partículas que se agitan en la superficie de un mar con cierta hondura, y que se mueven veloces. Por simple percepción nos resulta más fácil describir el mundo macro. Creo que fue Glashow el que manifestó su malestar por el zoo de partículas inventariado. Es un lío. El teorema de Goldstone dice que toda ruptura de simetría de una teoría cuántica de campos global genera una partícula de espín cero sin masa. Pero la cuestión es saber los detalles de por qué el bosón de Higgs adquiere masa.

Carlos Reyes

Todo es entendible, segùn las enseñanzas de Cuentos Cuànticos y la base matemàtica que poseo. Esplicàndole a mi esposa que me preguntaba ¿que es eso del Bosòn de Higgs, campo bosònico, rotura espontànea de la simetrìa y demàs?. Le dije, mira, imagìnate que hay un campo de trigo en donde no existe brisa(ese es un campo de Higgs) y cada espiga de trigo es un bosòn sin masa y entonces un mime(ese es un foton) tiene un vuelo rasante por ese campo de trigo, no lo perturba (no hay interacciòn) porque la masa de ese mime es demasiado pequeña, pero màs luego un halcòn (ese es el bosòn de Higgs) tiene un vuelo rasante sobre el campo de trigo y al vatir sus alas logra mover el trigar, produciendose la rotura espontanea de la simetrìa, la dificultad que percibe el halcon al volar vatiendo sus alas sobre el campo es lo que se llama masa, pero ella me dijo, pero no es tan espontanea la rotura de la simetrìa porque en ella ha intervenido el bosòn. ¿Que me dices de este ejemplo Francis?.

sionsion

Uffffff….. yo tambien soy una abuela y el boson ya me supera y eso que le doy vueltas. Ya ésta última página la dejo para otro momento. Ya me la iré mirando poco a poco. ! La verdad es que me gustaría pillarle “el truquillo”. Un saludos cordial para todos aquellos que lo habeis cogido de seguida-SION

planck

Si pudiera enseñarle esto a mi abuela probablemente diría: “muy bien, solo una pregunta: ¿donde aparecen los ingredientes de la sopa de fideos? Aparece el cuenco pero ni rastro de como se prepara…” :D
Lamentablemente, las matemáticas de la QFT son dificilillas y para una persona no iniciada son imposibles de entender. Sin embargo, con un poco de esfuerzo y algunas lecturas previas (teoría de campos clásica, mecánica cuántica y algo de teoría de grupos) cualquier persona con unos mínimos conocimientos puede empezar a entenderla (yo mismo como aficionado llevo algún tiempo en ello).
A mi lo que de verdad me sorprende es comprobar como en el núcleo de todo esto (y de todas las teorías físicas) descubrimos el inmenso poder de la SIMETRÍA:
- El campo electromagnético existe para garantizar que todos los puntos del espacio respetan la simetría U(1) (y por supuesto la simetría Lorentz), es decir, que podemos girar la fase cualquier valor entre 0 y 360º y la física no cambia.
- La gravedad existe para garantizar que todos los observadores medirán las mismas leyes fundamentales (simetría Lorentz,etc) estén o no en un marco de referencia inercial.
- El spin existe porque en mc todo lo que no está prohibido existe y resulta que si giramos el sistema bajo una “rotación” SU(2) todos los observadores verán que los principios de la relatividad son válidos (se conserva la invarianza Lorentz) y por tanto los sistemas con giro (spin) tienen que existir.
- Similares razonamientos se pueden hacer con la fuerza débil y la simetría SU(2) y la fuerza fuerte con la simetría SU(3).
Es decir, ¡ TODAS LAS FUERZAS de la naturaleza existen para que se cumplan los criterios de simetría !

Hector Denis (@hector_denis)

El conocimiento da criterio, muy atinado eso que dices, remataría con el teorema de noether aquello que la simetria implica conservación y vice versa, pero hay simetrías que no son evidentes a menos que tengas los conocimientos para apreciarlos (estas en el bosque por eso oyes el árbol caer) con lo que llegamos nuevamente al significado ¿simetría es invariancia? de acuerdo a noether si, pero Energía es Masa según Einstein y hoy sabemos que a altas energías solo hay energía ¿sucederá algo parecido con la simetría y la invariancia? nadie lo sabe.

Ununcuadio

Hola!!!
Una vez más, me voy del tema… Que me perdone el autor…
Tengo dudas acerca de la anti-materia: según lo (poco) que he leído, no es factible usarla porque para generarla se requiere grandes energías… Pero, ¿entonces la técnica médica PET?
Muchas gracias

yoyo

¿no te contradices a ti mismo cuando cuando atacas la teoría de la materia oscura o el boson de Híggs?

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