Photo by Abe Frajndlich (abe@abefoto.com).
El pasado 21 de agosto falleció de cáncer, a los 65 años de edad, el matemático estadounidense William P. Thurston (me he enterado al repasar las últimas entradas del blog gaussianos). Thurston es famoso por su extensión al caso tridimensional del teorema de geometrización (u homogeneización), uno de los resultados clave de la geometría del siglo XIX. Recuerda, toda variedad topológica bidimensional admite una estructura geométrica de curvatura constante (u homogénea), es decir, es una variedad diferenciable (o riemanniana) difeomorfa a la esfera (curvatura positiva igual a la unidad), al plano euclídeo (curvatura nula) o al plano proyectivo (curvatura negativa igual a menos uno). Por ejemplo, el toro admite una métrica homogénea que lo dota de curvatura nula. A principios de los 1970 parecía imposible extender este teorema a variedades tridimensionales, pero a finales de los 1970 se descubrió que las variedades de curvatura negativa eran menos salvajes de lo esperado; gracias al trabajo de Thurston toda la dificultad se concentró en las variedades de curvatura positiva, es decir, el dominio de la conjetura de Poincaré, la llamada conjetura de eliptización. Thurston recibió la Medalla Fields en 1982 por este trabajo. Como muchos ya sabéis, Grigory Perelman utilizó el flujo de Ricci con cirugía para demostrar la conjetura de geometrización de Thurston y como caso particular la conjetura de Poincaré (trabajo por el que se le premió con la Medalla Fields en 2006, aunque rechazó dicho galardón).
El trabajo clave de Thurston es «Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry,» Bull. Amer. Math. Soc. 6: 357-381, 1982. Explicar en detalle solo el enunciado del teorema de geometrización de Thurston-Perelman ya nos llevaría demasiado lejos. Muy brevemente podemos decir que toda variedad diferenciable tridimensional se puede descomponer (con una descomposición de esferas) en un conjunto de esferas y de subvariedades primas (aesféricas, que no son esferas), y que éstas se pueden descomponer a su vez (con una descomposición de toros) en un conjunto de toros y de subvariedades irreducibles (atoroidales, que no son toros), y que éstas últimas, módulo ciertos grupos de simetría, pueden ser dotadas de métricas «homogéneas» de 8 tipos diferentes.
En persona dicen que Thurston dejaba a todos boquiabiertos por su conocimiento enciclopédico de geometría y topología diferencial, pero sus trabajos matemáticos fueron muy criticados por su falta aparente de rigor (por cierto, muy al estilo del trabajo de Perelman). La demostración de Thurston de 1982 para variedades de curvatura negativa contenía varios «agujeros» que Thurston no se molestó en rellenar, pues opinaba que su «esquema» de demostración era una demostración en toda regla, opinión contraria a la de muchos expertos. Finalmente, se rellenaron los «agujeros» en dos trabajos de otros autores en 1999 y 2000. Quizás por ello muchos expertos hablaban de la conjetura de geometrización como dos conjeturas en una, la de hiperbolización y la de eliptización. Cuando Perelman publicó en 2002 y 2003 su demostración de la conjetura de geometrización podemos afirmar que, por un lado, demostró de forma independiente el teorema de hiperbolización de Thurston y, por otro, demostró la conjetura de eliptización de Thurston, conjetura que es «casi» equivalente a la conjetura de Poincaré; por todo ello, el teorema de geometrización de variedades tridimensionales debe recibir el nombre conjunto de Thurston-Perelman, reservándose el nombre de teorema de Perelman para la conjetura de Poincaré.
También recibió la Medalla Fields en 1982 el padre del análisis geométrico, Shing-Tung Yau, por demostrar en 1977 la conjetura de Calabi, ahora llamada teorema de Yau (que demuestra la existencia de las variedades de Calabi-Yau). Según cuenta Yau, él fue quien le sugirió a Richard Hamilton en 1982 el uso del flujo de Ricci como vía de ataque para demostrar la conjetura de eliptización de Thurston. La demostración de Perelman de la conjetura de Poincaré usa herramientas de análisis geométrico en la línea marcada por el programa de Hamilton-Yau, aunque incorporando algunas ideas revolucionarias (como el uso de herramientas para EDP hiperbólicas aplicadas a una EDP parabólica).
[youtube=http://www.youtube.com/watch?v=Idu-c6w2KuY&hd=1]
Más información en los blogs de Peter Woit y Terence Tao, en su universidad (Cornell), Scientific American, The New York Times, MacTutor, y muchos otros.
También os recomiendo su artículo «Mathematical Education,» Notices of the AMS 37: 844-850, 1990 [arXiv:math/0503081].
¿Estos trabajos de geometrización del espacio, descomposición en esferas, etc, tienen aplicaciones en Física? Me imagino que en Relatividad General, para tratar el espacio tiempo en condiciones extremas – fusión de agujeros negros y así – puede que sí.
Y otra cosa, investigando un poco a este matemático (que sinceramente no conocía), llegué a este vídeo:
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=BVVfs4zKrgk#!
sobre cómo evertir una esfera. Me llama la atención que se permita a la esfera (o el objeto que sea) autointersectarse. ¿No es un poco… timo, por así decirlo? No puedes cortarla, pero sí autointersectarla. A simple vista no sé qué importancia puede tener ese problema, la verdad. Es decir si, volviendo a la pregunta de antes, si esto se usa en teorías físicas (se nota la inclinación de cada uno a su campo :D)
Gracias por mantenernos siempre a la última.
M.I., mäs información sobre este tema en mi entrada «Carnaval de Matemáticas 3.1: La contribución más importante del carnaval de Río a las matemáticas,» 26 febrero 2012.
Francis, gracias por el artículo, soy profano en esta materia. Será bueno que te animes a poner otro artículo sobre geometría no euclídea con dibujos y figuras que nos ayuden a ver cosas. Por el enlace que insertas conocí el blog de Peter Woit y la elegía que le dedica a Bill Thurston, que me parece fascinante. También emocionan las notas y anécdotas de los comentaristas de la entrada que en su mayoría conocieron al matemático fallecido de primera y segunda mano. Piergiorgio Odifreddi y Donald O’Shea escriben palabras de elogio para el fértil matemático estadounidense en sendos libros que tengo aquí.
Artemio, para el próximo Carnaval de Matemáticas (sobre el 20 de septiembre) he preparado una entrada sobre la botella de Klein, quizás siga tu sugerencia e incluya otra sobre descomposiciones en esferas y en toros.
¿Podrías corregir el «descance»? Sé que es un error chorra, pero mejor escribirlo bien…
Gracias, David, hecho.
Dear Francisco Villatoro,
I´m writing you on behalf of the International Mathematical Union.
In 1982 the IMU awarded to William Thurston the Fields Medal as the greatest honor a mathematician can receive. Now, in a gallery project all IMU prize winner´s pictures should be collected and shown as a printed edition (20×30 cm image enlargement, b/w modus) in the IMU Secretariat at Berlin as well on the IMU website. It is a pity the picture of Thurston on the IMU website of the Fields Medalists does not fulfill the pixel quality for our purposes. There are some pictures from him to see in the web. One of the best is that which you display in your blog: https://francis.naukas.com/2012/08/30/descance-en-paz-william-p-thurston-1946-2012/ .Therefore I am asking you if you could send us this portrait photo in a good resolution. The name of the photographer should be known if it is possible to find it out. The IMU would be proud to show this very characteristic portrait amongst all the other prize winners. The IMU would like to use this picture also for the online Prize winners` gallery (signed with the name of the prize winner, year, photographer and the source/website where we get it). Additionally, the IMU would like to display this photos as a thumbnail in a searchable multimedia platform of IMU which will go online in the next few months. The aim is to search and to find relevant pictures and its sources in one step.
It would be great if the IMU could complete its gallery project with your help.
Don’t hesitate to ask me if there are open questions or comments.
With best regards and thanks for supporting the IMU,
Birgit Seeliger
Birgit Seeliger
IMU Archivist
__________________________
International Mathematical Union
Secretariat
Markgrafenstrasse 32
D 10117 Berlin, Germany
Phone: +49 (0)30 20372-437
http://www.mathunion.org
E-Mail: archive@mathunion.org
Dear Birgit (I sent you an e-mail):
The photographer is Abe Frajndlich. You could contact him at http://abefoto.com/contact.html
I took the photograph from the PDF poster of «Geometry and the Imagination. A conference in honor of Bill Thurston’s 60th» http://web.math.princeton.edu/conference/Thurston60th/poster4.pdf Please contact the organizers at Princeton University for further information http://web.math.princeton.edu/conference/Thurston60th/
Bests.
Francis
Dear Francisco Villatoro
Since you are using my photograph without my permission, would you at least credit the photo to my name, as you know who took it? My photos appear, «stolen» all over the internet, but when they appear without my credit line, that is upsetting.
Thank you for correcting this as soon as possible.
Abe Frajndlich
abe@abefoto.com
Dear Francisco Villatoro,
I would like to know why you write an obituary about me when in fact I am not dead. I am working and living with my family in my beautiful home. I would like you to delete this article.
Are you William P. Thurston, the Fields medalists?