Muchos estudiantes se quejan por tener que estudiar asignaturas durante su carrera universitaria que creen que no les van a servir para nada en su futura vida profesional. Supongo que Albert Einstein también se quejó de tener que estudiar «Geometría infinitesimal,» curso impartido por el profesor Carl Friedrich Geiser (1843-1934), pues se cree que no aprovechó demasiado este curso dedicado a los trabajos de Gauss sobre superficies curvas descritas de forma intrínseca. Cuando necesitó estos conocimientos, en 1912, le tuvo que pedir prestados los apuntes del curso de Geiser a su amigo Marcel Grossmann, quien le ayudó a digerirlos y asimilarlos. Ya anciano, Einstein confesó que «le fascinaron las clases del profesor Geiser sobre Geometría Infinitesimal, una obra maestra del arte de la pedagogía,» aunque quizás lo hizo porque recordaba los buenos apuntes que tomó Grossmann. Llegados aquí, la pregunta parece obvia, ¿qué hubiera pasado si Einstein no hubiera cursado esta asignatura en su carrera? ¿Se le habría ocurrido que la geometría intrínseca era la solución que buscaba para su teoría relativista de la gravedad? Si eres estudiante y te quejas de las asignaturas que estudias, recuerda esta historia, porque nunca sabes para qué te pueden llegar a servir las cosas que estudias.
Albert Einstein inició sus estudios en octubre de 1896 en el Instituto Politécnico de Zürich (ETH por Eidgenössische Technische Hochschule o Instituto Federal de Tecnología), finalizándolos en julio de 1900. Einstein recibió de Geiser los siguientes cursos: Geometría Analítica, Determinantes, Geometría Infinitesimal, Teoría Geométrica de Invariantes y Balística Exterior. Entre sus compañeros de carrera se encontraban Marcel Grossmann, Michele Angelo Besso y su futura esposa Mileva Maric (o Marity). En 1912, Einstein fue nombrado profesor de física en el ETH, donde Grossmann era profesor de matemáticas, con quien inició una intensa colaboración sobre los fundamentos de la teoría general de la relatividad que les llevó a publicar dos artículos como coautores.
Hasta 1912, Einstein pensaba en una teoría estática de la gravedad con un espaciotiempo plano y transformaciones de Lorentz generalizadas que permitían que la luz no fuera constante [1]. Max Abraham afirmó que la teoría de Einstein violaba la formulación geométrica del espaciotiempo de Minkowski [2]. Estas ideas llevaron a Einstein a pensar en utilizar el tensor métrico (un objeto matemático con diez componentes) como herramienta matemática necesaria para su teoría de la gravedad. Durante el verano de 1912 contactó con su amigo Marcel Grossmann e iniciaron una intensa colaboración. Grossmann le prestó sus apuntes del curso de Geiser, que Einstein devoró, mientras se puso a estudiar los trabajos de Riemann, Christoffel, Ricci y Levi-Civita. Einstein llegó a decir «Grosmann, tienes que ayudarme, o me volveré loco.» Hasta que Einstein pudo volar con alas propias, su colaboración Grossmann fue fundamental para su teoría.
Como resultado de esta colaboración mutua publicaron dos artículos juntos. El primero está dividido en dos partes, la primera sobre física escrita por Einstein y la segunda sobre matemáticas por Grossmann [3], pero en el segundo los dos firman por igual [4] (aunque apareció en 1914 cuando ya no colaboraban). En el primero se presenta la idea de que el campo gravitatorio está definido por las diez componentes del tensor métrico que substituirían al campo escalar de Newton. En este artículo se introduce la ecuación de Einstein-Grossmann para la relatividad general, que no es la correcta pues solo describe un campo gravitatorio estático.
En su libro de notas de Zürich, Einstein anotaba todas las sugerencias de Grossmann, como la primera vez que éste le habló del tensor de Riemann, o del tensor de Ricci. Una de estas sugerencias, anotada a finales de 1912, fue utilizar el tensor de Ricci para el miembro izquierdo de la ecuación del campo, sin embargo, Einstein desechó esta propuesta (que recuperó en noviembre de 1915, pero ya sin mención alguna a Grossmann). En el invierno de 1912 a 1913, Einstein tenía muchos prejuicios sobre la ecuación correcta para su teoría y era muy reacio a aceptar una formulación covariante de su teoría, pues creía que había argumentos físicos en su contra (el llamado «argumento del agujero»).
Einstein también colaboró con Besso en su teoría general de la relatividad, pero no publicó ningún artículo con él. Besso visitó a Einstein en junio de 1913, aprovechando para colaborar en la resolución de la ecuación de Einstein-Grossmann para el movimiento del perihelio de Mercurio. Sin embargo, esta ecuación predecía un avance del perihelio de solo 18» por siglo, en lugar del valor experimental de 42» por siglo. Por ello, esta colaboración se quedó en un manuscrito Einstein-Besso que nunca fue enviado a publicación. Einstein tampoco mencionó a Besso en sus artículos de 1915 sobre el perihelio de Mercurio.
Entre 1912 y 1915, la gran obsesión de Einstein era la teoría general de la relatividad, aunque también publicó otros artículos (como el que introduce el fotón). Publicó 14 artículos sobre relatividad general entre sus dos artículos con Grossmann [3,4], solo uno de ellos con coautor ( A. D. Fokker). Los cuatro artículos que escribió en noviembre de 1915 que le llevaron a las ecuaciones correctas de la relatividad general son el resultado de un intenso trabajo en el que el papel de sus amigos Grossmann y Besso, sobre todo el primero, fue fundamental. Recomiendo a los interesados en más detalles la consulta de los artículos de Galina Weinstein en ArXiv [5].
Volviendo al principio, ¿qué hubiera sido de Einstein sin el curso de Geiser y sin sus amigos?
[1] A. Einstein, «Lichtgeschwindigkeit und Statik des Gravitationsfeldes» Annalen der Physik 38: 355–369, 1912 [pdf gratis]; «Theorie des statischen Gravitationsfeldes,» Annalen der Physik 38: 443–458, 1912 [pdf gratis].
[2] A. Einstein, «Relativität und Gravitation: Erwiderung auf eine Bemerkung von M. Abraham,» Annalen der Physik 38: 1059–1064, 1912 [pdf gratis].
[3] A. Einstein, M. Grossmann, «Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und eine Theorie der Gravitation. I. Physikalischer Teil von A. Einstein II. Mathematischer Teil von M. Grossmann,» Zeitschrift für Mathematik und Physik, 62, 225–244, 245–261, 1913.
[4] A. Einstein, M. Grossmann, «Kovarianzeigenschaften der Feldgleichungen der auf die verallgemeinerte Relativitätstheorie gegründeten Gravitationstheorie,» Zeitschrift für Mathematik und Physik 63: 215–225, 1914.
[5] Galina Weinstein, «Albert Einstein at the Zürich Polytechnic: a rare mastery of Maxwell’s electromagnetic theory,» arXiv:1205.4335; «Albert Einstein’s close friends and colleagues from the Patent Office,» arXiv:1205.3904; «Genesis of general relativity – Discovery of general relativity,» arXiv:1204.3386; «Einstein’s 1912-1913 struggles with Gravitation Theory: Importance of Static Gravitational Fields Theory,» arXiv:1202.2791; From the Berlin «ENTWURF» Field Equations to the Einstein Tensor I: October 1914 until Beginning of November 1915,» arXiv:1201.5352; «From the Berlin «Entwurf» Field Equations to the Einstein Tensor II: November 1915 until March 1916,» arXiv:1201.5353; y «From the Berlin «Entwurf» Field Equations to the Einstein Tensor III: March 1916,» arXiv:1201.5358.
Einstein fue capaz de conseguir uno de los logros intelectuales más grandes de la historia de la humanidad. La RG, igual que prácticamente toda la física moderna se consiguió gracias a una característica fundamental de la naturaleza: la simetría. Einstein se dejó guiar por profundos principios de simetría que son la base de la RG: no existen marcos de referencia privilegiados, c es constante en todo sistema de referencia y el principio de equivalencia. Einstein se dio cuenta de algo fundamental: la relatividad especial implica que un viajero sometido a aceleración ¡Vería que la distancia entre los objetos se acorta!
¡El espacio mismo, al contraerse «crea» la gravedad!
Estableciendo después la equivalencia entre aceleración y campo gravitatorio se daría cuenta de que la ecuación que buscaba tenía que tener en un miembro algo que refleje la curvatura del espacio-tiempo y en el otro algo que describa la densidad de energía (el tensor energía-tensión T). El objeto más general que describe la curvatura es el tensor de Riemann, cuadrando unidades se dió cuenta que necesitaba un tensor de orden 2 que obtuvo contrayendo el tensor de Riemann y luego dedujo que la conservación de la energia-momento implicaba una pequeña modificación del tensor de orden 2 (tensor de Ricci) y asi obtuvo el tensor de Einstein (G) luego todo se reduce a la «sencilla» expresión
G = kT.
Respecto a la pregunta que se plantea creo que la respuesta es que si Einstein no hubiese estudiado en la carrera geometría diferencial la tendría que haberla estudiado después, cuando se diese cuenta que necesitaba el tensor de Riemann en su ecuación.
Por cierto, Einstein manifestó que en un principio consideraba que las matemáticas eran «un puro lujo» pero al final reconoció que las matemáticas están en la base de todo. En mi opinión creo que incluso la física puede considerarse una parte de las matemáticas ya que la física solo utiliza las matemáticas de «nuestro mundo» mientras que las matemáticas estudian de alguna forma «todos los mundos posibles»
Cuando Einstein tenía quince años abandonó el Luitpold Gymnasium de Munich presionado por su tutor. Al parecer, el tutor argumentó que la actitud indiferente de Einstein hacía que los alumnos le perdiesen el respeto.
planck: “Por cierto, Einstein manifestó que en un principio consideraba que las matemáticas eran un puro lujo pero al final reconoció que las matemáticas están en la base de todo. En mi opinión creo que incluso la física puede considerarse una parte de las matemáticas ya que la física solo utiliza las matemáticas de nuestro mundo mientras que las matemáticas estudian de alguna forma todos los mundos posibles”.
Freeman Dyson critica el platonismo matemático de Einstein porque perjudicó sus últimos años de investigación. Dyson califica su actitud de reduccionista porque pretendió unificar las leyes de la física desde la matemática ignorando los descubrimientos experimentales que se estaban produciendo. También deplora la aversión de Einstein a los agujeros negros pese a que tales objetos se contemplan en las ecuaciones de la RG. Dyson concluye que reducir el mundo de los fenómenos físicos a un conjunto finito de ecuaciones fundamentales impide conocer mejor los agujeros negros.
No obstante, la valoración que hace Dyson de la obra de Einstein es elogiosa, el suyo fue un trabajo influyente realizado por un físico independiente y con personalidad.
Una puntualización: la Física no es una rama de las Matemáticas, ni las Matemáticas una rama de la Física. Más bien, las dos son parte de algo más general con una intersección no vacía. A eso se le llama Fismática (Physmatics, en inglés), según una charla de E.Zaslow en el Clay Institute. Es más razonable pensar que la Física o las Matemáticas son parte de una estructura superior. NO es suficiente saber Matemáticas para hacer aportaciones físicas. Y la Física dispone de experimentos y es falsable, algo un poco diferente a las matemáticas, que se basa solo en reglas de autoconsistencia, que si bien también están en la Física, son mucho más formales. Otro ejemplo son las distribuciones: conocidas por ingenieros y físicos mucho antes que los Matemáticos. Sin embargo, es de notar que no toda matemática tiene por qué ser relevante en el dominio físico también. Aunque hay trabajos curiosos como los de Y.Nambu con la Galois Field Theory que se ha retomado algo en QM últimamente con la Mecánica Cuántica sobre Galois Fields en vez de en espacios complejos, de momento, la relevancia e importancia de todo eso no es grande. Geometría vs. Vacío y el Cuanto es uno de los debates que con el advemiento del descubrimiento de la partícula de Higgs va a estar en los próximos meses y años va a ser más fructífero. Si es que logramos hallar indicios sólidos de nueva física más allá de las anomalías conocidas o la masa de los neutrinos.
¿Donde manifesto eso?
En mi opinion las matematicas son una herramienta para intntar describir la naturaleza, es cierto que sin las matematicas no existiria ninguna ciencia, pero estas no son mas que un lenguaje para describir la naturaleza de una forma logica.
Solo hay un mundo posible, si alguna teoria matematica intenta describir un fenomeno fisico, y no coincide con los datos experimentales, esta qeda descartada totalmente, por muy correcta que sea matematicamente hablando.
La fisica es mucho mas que matematicas, pero si que es verdad que estas facilitan la comprension del mundo.
Muy interesante artículo, Francis.
Unas pequeñas puntualizaciones, si me lo permites:
– Michele Besso estudió en el ETH, pero en otra sección. Era ingeniero mecánico.
– Einstein nunca fue profesor del ETH sino de la Universidad de Zürich, en 1909.
– En 1911 era profesor en la Universidad de Praga
– Desde 1914 hasta 1932 estuvo en el Kaiser Wilhelm de Berlín.
– Hay que mencionar la intensa correspondencia entre Einstein y Levi-Civita entre los años 1915 y 1917
– Y, por supuesto, en relación con la TGR no podemos dejar de mencionar sus intercambios con David Hilbert http://en.wikipedia.org/wiki/Relativity_priority_dispute#General_relativity_2
Gracias, César, por tus oportunas puntualizaciones.
en las matemáticas, como en cualquier otra ciencia, no hay fórmulas heréticas, solo fórmulas correctas y fórmulas incorrectas.
Hola, nunca se menciona el apoyo en el trabajo de Einstein a la esposa de Einstein Mileva Maric (o Marity) sería muy interesante revisar su documentación matemática y las cartas que ella escribió a Nicola Tesla.
Hay dudas de que Einstein dedujera la ecuación E=mc2 .
Saludos
Sillerspock, ¿cartas Mileva escribió a Tesla? Nunca he leído nada sobre el tema. ¿Tienes alguna referencia?
Por otro lado, el papel de Mileva en el desarrollo de la relatividad especial ha sido muy estudiado y está muy claro. Más información en este blog en «El papel de Mileva Maric en la obra de Albert Einstein,» 23 enero 2009.
$latex lim_{n rightarrow infty}$Geiser = Google + ArXiv
Si la relatividad especial es errónea, ¿como podría explicarse sin ella la equivalencia entre campos magnéticos y eléctricos para distintos observadores? Saludos.
Estás modificando la velocidad de la onda respecto al medio, creo que es bastante evidente. No obstante, tus manejos de esos diferenciales es cuanto menos poco riguroso, los tratas algebraicamente sin ningún cuidado. Me gustaría que me dijeras algún libro de matemáticas que fundamente ese tratamiento. En algunos casos se llega a cosas correctas, en otros no. Deberías dar un tratamiento más riguroso:
$latex df=(frac{1}{lambda})dc-(frac{c}{lambda^{2}})dlambda$
Si hacemos $latex lambda=cte$
$latex df=(frac{1}{lambda})dc$
No llegamos a nada nuevo, simplemente porque no estás tratando con la frecuencia percibida por distintos observadores con velocidad relativa v, si no que estás simplemente VIENDO COMO SE MODIFICA LA FRECUENCIA MODIFICANDO LA VELOCDIDAD DE PROGACIÓN.
Sabemos que cuando una onda cambia de medio, se modifica su longitud de onda y su velocidad de manera que su frecuencia permanece constante. Tú estás calculando como sería si su longitud de onda se mantuviera constante y fuese su frecuencia la que se modificase. Eso es lo que tu calculo significa, y nada tiene que ver con Doppler u observadores.
P.D.: siempre hablas de la imposibilidad de comprobar la validez del tercer término del desarrollo de Taylor de la fórmula, y ahora dices «para obtener así la frecuencia observada completa para todos los órdenes de aproximación superiores a uno».
P.D.2: no has contestado a la pregunta que plantean. No entiendo como no te cansas de poner esa misma fórmula por todos los rincones de internet.
En relación a la cuestión que nos propone Francis, y puestos a especular, se puede argumentar que el hecho de que en 1912 la ayuda de Grossmann estuviese cercana y “a mano” para atender las “necesidades matemáticas” de Einstein en el desarrollo de la Relatividad General no fue algo decisivo de cara al resultado final.
Los argumentos heurísticos en los que basó Einstein el desarrollo de su teoría, el principio general de covarianza y el principio de equivalencia, ya los tenía claros antes de 1912; lo que le faltaba eran la visión general de las geometrías no euclídeas y el dominio preciso del cálculo tensorial. Esto es lo que le aportó Grossmann; por lo que cabe considerar que sin su soporte quizás se hubiese retrasado la conclusión de la teoría, pero al final el resultado hubiese sido el mismo, puesto que el conocimiento de Grossmann era vox populis en el ámbito académico. Más aún, la “geometrización” de las teorías físicas era entonces un asunto de rabiosa actualidad, después que Klein fijara a finales del siglo XIX el programa para redefinir el objeto de la geometría como capítulo de la Matemática moderna; y el antecedente más cercano, la geometrización de la TER por Minkowski, era también conocida por Einstein hacia 1910.
Por tanto, es posible especular que Einstein, hacia 1912, “sabía lo que quería” e intuía las herramientas necesarias para conseguirlo; sólo necesitaba ayuda para concretar el andamiaje matemático de la teoría, lo que encontró en su amigo Grossmann, pero que igualmente podría haber encontrado en otra persona del ámbito académico próximo. Einstein en ese momento ya era muy conocido en la física teórica alemana, por lo que cabe suponer que una discreta “petición de ayuda” hubiese tenido la respuesta esperada sin muchas dificultades.
Adicionalmente, y fuera del tema que nos propone Francis, me gustaría aclarar, sobre todo para los lectores más circunstanciales, que la visión que nos da planck en el comentario número 1 acerca del desarrolló lógico de la relatividad general es una simplificación que no refleja la realidad del desarrollo histórico de los “acontecimientos”y más aún, no pone de relieve las serias críticas que la teoría ha recibido en lo que se refiere a su fundamentación lógica.
El desarrollo de la TER y la RG son antitéticos hasta el extremo en lo que se refiere a la duración y esfuerzos requeridos para su concepción definitiva. Mientras la TER necesitó tan sólo una memoria para fijar el cuerpo básico de la teoría, la famosa de 1905 sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento, la RG requirió a su autor no menos de ocho años de intensa reflexión y el paso por varios estadios intermedios, a menudo contradictorios entre sí, hecho que se puede rastrear en las memorias de Einstein que van desde 1907 hasta aproximadamente 1916.
En 1918 Einstein fijó en una de sus memorias y para la posteridad los principios en los que basaba su teoría general de la relatividad: principio general de covarianza, principio de equivalencia y principio de relatividad de la inercia (principio de Mach). Del principio general de covarianza Einstein afirmó que se deducía el principio de relatividad general (las leyes físicas son iguales en todos los sistemas de referencia, independientemente de su estado de movimiento, sea acelerado o no), y en lo que se refiere al principio de Mach, posteriormente se olvidó de él al no poder darle una cabida lógica y precisa en el marco de la teoría. Por lo tanto, Einstein siempre creyó y defendió que con la RG había constatado el principio de relatividad general, eso sí, a través del principio de general de covarianza.
Justo desde el inicio, 1917, la aseveración anterior fue puesta en duda por parte de la comunidad científica, indicando que: (1) el principio de covarianza general no tiene contenido físico y (2) del mismo no se puede deducir el principio de relatividad general. Einstein mantuvo algunas discusiones teóricas al respecto hasta aproximadamente principios de los 20, momento en que el asunto cayó en el olvido en la medida en que la RG quedó relegada a un curiosidad en el edificio de la física teórica por razones que no vienen al caso.
Justo tras la muerte del genio, en 1955, y con motivo del resurgir de la teoría en la década de los 60, el debate acerca de qué es lo que había descubierto realmente Einstein y su fundamentación lógica se reabrió espectacularmente con sendas andanadas de dos teóricos “de peso”: los físico-matemáticos John Lighton Synge (irlandés) y Vladimir Fock (ruso), que en sus obras “Relativity: the General Theory” (1960) y “The Theory of Space, Time and Gravitation” (1959) respectivamente pusieron nuevamente sal sobre el asunto del principio general de covarianza (que fue, digámoslo una vez más, el leivmotiv real que guió a Einstein en el desarrollo final de la teoría) y las implicaciones físicas que del mismo se derivan. La conclusión: dicho principio no conlleva ningún valor heurístico desde el punto de vista físico, por lo que no es posible sostener que la RG es la cristalización de ningún principio de relatividad general. Simplemente, es una teoría de la gravitación.
En la actualidad el debate expuesto aflora a la superficie de cuando en cuando, y es posible identificarlo con nitidez en la exposición que se encuentra en los libros de texto de RG si se comparan las exposiciones que se hacen de los “principios fundamentales” de la teoría, que a menudo son contradictorias entre sí y no se atienen a las ideas que dejó el propio creador, Einstein. También en el hecho de que en las últimas décadas se ha asistido a la sustitución de la denominación “General Relativity” por “Einstein’s Gravitation Theory”, cuando se hace referencia a la teoría que nos legó el soberbio físico que fue Einstein.
Nada, todo seria igual
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¿Me mata la curiosidad alguien tiene la respuesta si la hay?
El desarrollo de la teoría de la relatividad general debe mucho a Felix Klein. Después del ataque argumental de Karl Weierstrass a los teoremas de existencia que fundamentaban el audaz edificio geométrico de Riemann se produjo una desbandada. F. Klein fue de los pocos que resistió el embate y defendió el legado rienmanniano como un tesoro del conocimiento humano. Por eso hay que defender la fertilidad conceptual de la TRG, no vaya a producirse otra desbandada.
Esto es un absurdo completo, delirante. No merece la pena resaltar este comentario excepto por la petición a los administradores que filtren y eliminen mensajes que atentan contra la preopia ciencia y el respeto a los participantes. Rogaría que este a este sujeto que se abstenga totalmente de hacer gala y presunción de su ignorancia.
Existe cada alucina 😛
Menos que este tal RAYANANA habla bajo los efectos del sentido común, porque si le llega a faltar ¡¡¡ayyy Dios!!!. Nos deja con una lección magistral, esto no lo sabía yo, ya ve, tampoco lo sabía Einstein, ni tan siquiera Planck. Dice este ilustre «No es lo mismo el vacío que puede crearse en un determinado recinto, que la nada»…. Oiga no me tiro un buen pedo y le mando que lo pinte usted de verde, porque aquí hay señoras. Quien copio a quién ¿?. Denuncie a Einstein si considera que le ha copiado a usted, su ilustrísima. Lo que hay que leer. Que gentuza, que nivel.
Posdata: Debo informarle que ya se ha demostrado que el sol no gira alrededor de la tierra. Lo digo porque no se si usted vive aún en alguna rama o bajó ya por fin del árbol.
Éste artículo de este mismo blog puede que te aclare cosas, sobre todo los fantásticos vídeos del final:
https://francis.naukas.com/2012/08/15/los-conceptos-de-campo-particula-particula-virtual-y-vacio/
Se equivoca RAYANANA porque si tenemos réplica: Su cabeza. Y no albergue esperanzas de que sea el vacío, ni un falso vació que aún tendría algún viso de aspirar a reconstruirla, pero no, su cabeza es la nada en producir algo…
Dedíquese a hacer poesía o a bordar encaje de bolillos pues no se que hace en un blog de ciencia.
David, GRACIAS. No se que pintan estos talibanes insisto en un blog científico teniendo tanta «basura internetera» para realizarse.