Francis en La Mecánica del Caracol: El tren de gravedad o que pasaría si…

En el programa de Radio Euskadi de Eva Caballero, “La Mecánica del Caracol,” hoy respondo una pregunta de un oyente: qué pasaría si una pelota atravesase la Tierra a través de un túnel desde la superficie hasta su antípoda. Si te apetece escucharlo, hazlo en el siguiente audio desde el minuto 38:00. Disfrútalo.

Más info en la wikipedia “Gravity train.” ¿Y qué pasa si el viaje no es hasta la antípoda sino hasta cualquier otro lugar? El camino más rápido sigue un túnel con forma de braquistócrona; más info en Amanda Maxham, “Brachistochrone inside the Earth: The Gravity Train,” UNLV Department of Physics and Astronomy, September 26, 2008.

9 Comentarios

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hicsuntdraconis

Muy interesante, como todo lo que va apareciendo por aquí, gracias. Pero

¿No debería advertirse también que se supone una Tierra que no gira con respecto a un triedro anclado en las estrellas fijas? En otro caso la fuerza de Coriolis, a no ser que el túnel se haya excavado entre los polos, desviaría la pelota tanto como para obligar a fabricar un túnel muy ancho. Si, por ejemplo, el túnel se ha excavado en un punto del ecuador, la velocidad tangencial en el instante inicial es de unos 1600 km/hora, y para que la pelota no tropiece con las paredes del túnel se necesitaría que la anchura del pozo fuese del orden de mil kilómetros. ¿Es así?. Creo que sería interesante alguna consideración al respecto.

angelalonso

Hombre, son ejemplos ideales, se da por hecho que no influye ninguna otra variable que la gravedad del planeta, con lo que el efecto que mencionas también debería descartarse.

Por cierto que este asunto se trata desde el punto de los tiempos propios en

http://stringers.es/el-reloj-de-feyn...omment-1486

No sé que opinareis al respecto, pero es curioso que tratándose de tiempos propios la cuestión se tiene menos clara.

Saludos.

hicsuntdraconis

Gracias, angelalonso, me quedo más tranquilo, porque lo que dices me confirma que se supone una Tierra que no gira (el movimiento de traslación es obvio que no influye, porque en un lapso tan pequeño el movimiento del sistema de referencia es rectilíneo e inercial). A pesar de todo me sigue extrañando que no se deje sentado el supuesto de que se ignora la aceleración inercial de Coriolis. Francis, por ejemplo, se cuida en su charla en “La mecánica del caracol” de dejar claro el supuesto de que se descarta el aire, así como otros detalles relativos a la densidad radial. Tampoco he visto ninguna mención en el artículo referenciado.

En cuanto a la anécdota de Feynman, no la conocía, y es muy buena. Sin haber leído las respuestas, yo diría que, dado que la intensidad de la gravedad retrasa los relojes, cuando se tira un reloj al aire al volver a la mano habrá adelantado, pues recorre una zona de menor intensidad gravitatoria. Y si se deja caer por un túnel que atraviesa la Tierra, hay que tener en cuenta que en ese caso, supuesta la densidad terrestre constante, la intensidad de la gravedad es proporcional a la distancia al centro, de modo que el reloj irá adelantando también en este caso.

MIGUELMIGUEL

Hola,yo no entiendo mucho de esto pero creo que Feynman
el engaño,no tiro un reloj sino tantos como particulas cuanticas
tenia ese reloj,ademas cada reloj marcaba una hora diferente
y canbiando sin control ni referencia (un caos),hacia mucho tiempo que
ninguno tenia la hora bien,para poder ajustarlas todas igual
lo mismo tendrian que pasar una linea muy fina, bueno aunque esto me parece una tonteria
un saludo,gracias

MarinaMarina

Muy curioso. Estoy deseando tener tiempo para escucharlo. Hace dos veranos, una amistad, que es químico y le gusta pensar en todos estos galimatías científicos, me planteó la cuestión de que si se construyese un tunel que atraviese la Tierra de un polo a otro y pasando por el ecuador y desde un polo tiramos una piedra u objeto, qué ocurrirá dado que la tierra ejerce una fuerza gravitatoria o curvatura del espacio pero por todos y cada uno de sus puntos.

El resolvió la trayectoria como oscilante.

Me gustaría conocer vuestra opinión y comentarle y dar una satisfacción a esta amistad.

hicsuntdraconis

Hola, Marina. Si no entendí mal el planteamiento, el túnel no atraviesa la Tierra desde un polo hasta el otro en línea recta, sino que, para pasar por la línea del ecuador, es un túnel bajo la superficie terrestre, algo así como si se tratara de un metro o tren subterráneo en cuyo túnel se ha hecho el vacío. Esto equivale a suponer que no hay atmósfera y que la piedra se lanza desde uno de los polos y se desea que llegue al otro rozando la superficie terrestre de modo que pase por el ecuador terrestre. Yo creo que si nos olvidamos del achatamiento en los polos (del dichoso geoide [EDIT que es ridículo pues la Tierra es una esfera más perfecta que una bola de billar]) y admitimos una Tierra perfectamente esférica, basta lanzar la piedra en la dirección de un meridiano (apuntanto al sur si estamos en el polo Norte), tangente a la superficie terrestre y con una velocidad $latex v$ tal que
$latex v=sqrt{G M/R}$, donde $latex G$ es la constante de gravitación, $latex M$ es masa de la Tierra, y $latex R$ es el radio de la Tierra, de [tal] forma que $latex v^2/R=g$, donde $latex g$ es la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre. Aquí también ignoramos la aceleración inercial de Coriolis.

PS: Francis ha editado el LaTeX y ha unificado dos comentarios. Hicsuntdraconis espero que así esté mejor.

MarinaMarina

Gracias por tu corrección pues tal y como lo expresé daba lugar al equívoco. En efecto, un tunel imaginario equivalente a un eje o diámetro terrestre.

hicsuntdraconis

¡Ah!, así se trata de un túnel de polo a polo y pasando por el centro de la Tierra. En ese caso no hay aceleración de Coriolis, y el movimiento de la piedra es armónico simple, pues responde al planteo $latex a = k x$ (aceleración proporcional a la distancia al centro). En cada instante, la fuerza sobre la piedra es debida solamente a la esfera interior, como ya demostró Newton en su momento (un teorema de Gauss permite demostrarlo sin necesidad de integrar, si no recuerdo mal). Así, suponiendo contante la densidad d de la Tierra, a la distancia $latex r$ del centro la fuerza de atracción hacia éste es $latex G M m/r^2$, donde $latex M$ es la masa de la esfera interior, igual a $latex 4/3 pi r^3$ por $latex d$. La fuerza resulta ser entonces proporcional a $latex r$ (el resto son constantes: $latex G$ la constante de gravitación, $latex m$ la masa de la piedra). Una fuerza dirigida hacia el centro y proporcional a la distancia al mismo da lugar a un movimiento armónico simple, como se hace ver en el enlace

Movimiento armónico simple,” wikipedia.

Si la densidad de la Tierra, como ocurre en la realidad, varía con la distancia al centro, la fuerza ya no es proporcional a la distancia exclusivamente, y el movimiento no será armónico simple. Por la conservación de la energía, sin embargo, la piedra se asomará por el polo antípoda del origen a una altura sobre la superficie terrestre igual a aquella desde la que se dejó caer inicialmente.

pepepepe

excelente. pero es curioso, venía camino a casa justamente pensando en este problema sin tener idea de que se llamaba tren de gravedad ni nada, y pues, antes de empezar a especular respuestas me topo con esta entrada. pues bien, que me has quitado un rato de divagar con este tipo de cosas jaja. un saludo

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