El crecimiento de tumores cancerosos y la deposición de posos de café en una gota en evaporación

Dibujo20130208 Illustration depicting deposition mechanism - Radially outward flows carry particles from drop center to drop edge La ecuación de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) se introdujo en 1986 para describir la formación de irregularidades en un frente de solidificación con una fuente estocástica y tiene muchas aplicaciones, como el crecimiento de tumores cancerosos. Las estructuras que se forman dependen de la geometría de las partículas (o células) que se agregan, difiriendo si son esféricas o elipsoidales. En este último caso, aplicable a cristales líquidos, se utiliza una variante de la ecuación KPZ con desorden “sofocado” (quenching disorder), llamada KPZQ. Para estudiar los límites de validez de la ecuación KPZ y decidir cuándo es necesario recurrir a la ecuación KPZQ, se necesita un sistema experimental fácil de manejar en laboratorio y bien descrito por ambas ecuaciones. El matemático Alexei Borodin (Instituto Técnico de Massachusetts, MIT) y varios colegas nos proponen que dicho sistema es el dibujo de los posos del café cuando una gota se seca por evaporación. Gracias a un microscopio conectado a un ordenador se puede determinar la forma y la distribución estadística de las partículas del líquido durante el proceso, lo que permite demostrar la validez de la ecuación KPZ y cómo se produce la transición a la ecuación KPZQ. Durante la evaporación de la gota las partículas disueltas fluyen hacia el borde de la gota donde se pegan unas a otras; en el caso de partículas elipsoidales la tendencia es apilarse formando “torres,” lo que provoca un crecimiento más rápido del frente que si el apilamiento fuera de partículas esféricas. El nuevo artículo es Peter J. Yunker, Matthew A. Lohr, Tim Still, Alexei Borodin, D. J. Durian, and A. G. Yodh, “Effects of Particle Shape on Growth Dynamics at Edges of Evaporating Drops of Colloidal Suspensions,” Phys. Rev. Lett. 110: 035501, Jan 18, 2013. El artículo origina era Mehran Kardar, Giorgio Parisi, Yi-Cheng Zhang, “Dynamic Scaling of Growing Interfaces,” Phys. Rev. Lett. 56: 889-892, Mar 3, 1986. Me han gustado los dos vídeos que acompañan al nuevo artículo y que ilustra muy bien a nivel microscópico la dinámica que describe a nivel macroscópico la ecuación KPZ. Por cierto, también se pueden “fabricar” galaxias con los posos del café, como conté en la “formación de galaxias en los posos de una taza de café.”

En los experimentos, en lugar de posos de café se utilizan microesferas y microelipsoides de plástico, pero el procedimiento es análogo. Al utilizar microelipsoides las partículas crecen formando “columnas” y el frente se propaga más rápido que cuando se utilizan microesferas; en cierto sentido, descrito por la ecuación KPZQ, las “columnas” atraen con mayor facilidad a las nuevas partículas elipsoidales que las regiones sin “columnas,” de ahí su rápido crecimiento. El vídeo no requiere muchas explicaciones. Para los autores del artículo, la transición entre ambas ecuaciones controlado por un parámetro tan sencillo como el grado de elipticidad ha resultado sorprendente, pues facilita muchísimo el análisis de los experimentos.

Los autores del artículo también han realizado simulaciones por ordenador simplificando el problema, obteniendo este otro vídeo que ilustra incluso mejor el mecanismo de crecimiento por deposición descrito por la ecuación KPZ.

Dibujo20130208 Bacteria do math - KPZ equation - growth of the stain

Los matemáticos deseosos de profundizar en el análisis de la ecuación KPZ disfrutarán con Jeremy Quastel, “Introduction to KPZ,” University of Arizona, Lecture Notes, 2012.

PS: Recomiendo también la lectura de UC3M, “Una fórmula matemática descifra la geometría de la coliflor,” SINC, 18 dic 2012, que se hace eco del artículo técnico de Mario Castro, Rodolfo Cuerno, Matteo Nicoli, Luis Vázquez, Josephus G Buijnsters, “Universality of cauliflower-like fronts: from nanoscale thin films to macroscopic plants,” New Journal of Physics 14: 103039, 23 Oct 2012, donde se aplica la ecuación KPZ a la formación en el tiempo y en el espacio de morfologías fractales de tipo coliflor para sistemas nanoscópicos. Comentan los autores que la idea “surgió de forma natural al añadir cierto ingrediente (ruido) a un modelo relacionado en el que habíamos trabajado previamente. Al hacerlo, en las simulaciones numéricas aparecían superficies que rápidamente identificamos como las que nuestros colegas experimentales eran capaces de obtener en su laboratorio en condiciones adecuadas.” Me he enterado gracias a un tuit de Esteban Moro (@estebanmoro).

3 Comentarios

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ReneGVReneGV

Pequeña errata:
¿ Se refiere al MIT(Massachusetts Institute of Technology) ? Entonces seria “tecnología”en vez de “técnico”. Saludos.

emulenewsemulenews

ReneGV, en español la traducción correcta de “Technology” es “Técnico” (en España se habla de “Escuelas Técnicas de Ingenieros” nunca de “Escuelas Tecnológicas de Ingenieros”). La costumbre de “traducir” con la palabra más parecida es muy habitual, pero incorrecta (aunque como la lengua está viva, el diccionario acaba recogiendo lo que se usa más a menudo como acepción alternativa, hasta que se impone por el uso).

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