El audio de mi sección ¡Eureka! en La Rosa de los Vientos, Onda Cero, ya está disponible. Puedes escucharlo siguiendo este enlace. Como siempre, una transcripción libre del contenido.

Se ha publicado esta semana que un matemático de la Universidad de Sevilla ha demostrado que los papeles de Bárcenas aireados por El País son falsos gracias a la ley de Benford. ¿En qué consiste esta ley? Miguel Lacruz (profesor de matemáticas de la Universidad de Sevilla) publicó en su blog «Café Matemático» un análisis basado en la ley de Benford o la ley del primer dígito. Esta ley fue descubierta en 1881 por el astrónomo Simon Newcomb en tablas de logaritmos (muy utilizadas cuando no había calculadoras) y redescubierta en 1938 por el físico Frank Benford, que verificó la ley con otras tablas de números diferentes. La ley afirma que en las tablas de números de magnitudes que crecen de forma exponencial con el tiempo (como muchos fenómenos económicos, como los precios, las exportaciones, incluso las entradas contables o los balances de capital) el primer dígito aparece más veces que los demás. De hecho, el 30% de los números empiezan por el dígito uno, el 18% por el número dos, el 13% el número tres, y así sucesivamente hasta llegar a menos del 4,6% para los números que empiezan por el dígito nueve. Existen listas de números que no cumplen esta ley, pero en muchas listas puede utilizarse para saber si la tabla de números ha sido falsificada.

Miguel Lacruz, «Los papeles de Bárcenas,» Café matemático, 4 feb 2013. M. Arrizabalaga, «Un matemático aplica la ley de Benford a los papeles de Bárcenas y concluye que son falsos,» ABC.es, 6 feb. 2013; «Un profesor de la Universidad de Sevilla compara la frecuencia de los dígitos en los supuestos apuntes del extesorero del PP y afirma que han sido maquillados.»

El profesor Lacruz ha descubierto que los papeles de Bárcenas no cumplen con esta ley por lo que están falsificados. El estudio de Miguel Lacruz analizó 84 asientos contables desde 2002 a 2008 en los papeles de Luis Bárcenas y encontró que no cumplen la ley de Benford. Por ejemplo, el uno es el primer dígito en el 50% de los números de Bárcenas, en lugar del 30% que predice la ley de Benford, el dos aparece sólo un 10% de las veces en lugar del 18% predicho, o por ejemplo el seis aparece un 13% como primer dígito en lugar del 7% de las veces esperado. Además, el profesor Lacruz observó que la contabilidad del PP entre 2008 y 2011 sí cumple perfectamente la ley de Benford. Por ello afirmó en su blogs que los números de Bárcenas estaban falsificados y Luis Bárcenas miente.

¿Este análisis es fiable, riguroso y podría ser utilizado por un juez? En realidad no lo es. La ley de Benford es un ley de potencias y el análisis estadístico de las leyes de potencia hay que realizarlo con mucho cuidado. Un análisis matemático riguroso requiere que el número de datos sea suficientemente grande; en el caso de los papeles de Bárcenas y de la contabilidad del PP, analizados por el profesor Lacruz, resulta que este número es insuficiente para concluir nada. En rigor un análisis basado en la ley de Benford no es aplicable a tan pocos datos. Por ejemplo, la anomalía con el dígito seis, más común de lo predicho por la ley de Benford, tiene una explicación sencilla en España, un millón de pesetas en lugar de un «uno» empieza por un «seis» en euros. En resumen, por pura casualidad en los datos de Bárcenas entre 2002 a 2008 hay una discrepancia y en los de 2008 a 2011 del PP hay un acuerdo con la ley de Benford, pero es pura casualidad. De hecho, si todos los datos se escriben en pesetas, la ley se cumple, aunque también por casualidad. Por tanto, no se puede concluir nada sobre la falsedad o no de dichos datos.

Recomiendo Abel Fernández, «La Ley de Benford y la presunta contabilidad B del PP,» Sintetia, 7 feb. 2013.

Cambiando de tema. Hace dos semanas fue noticia una matemática española que había resuelto un problema matemático planteado hace 80 años. ¿Hay novedades sobre dicha noticia? En el último congreso de la Real Sociedad Matemática Española celebrado en Santiago de Compostela a finales de enero, hubo una rueda de prensa en la que la española Eva Gallardo Gutiérrez, profesora de matemáticas de la Universidad Complutense y Carl Cowen, profesor de la Universidad de Indiana, en Indianapolis, EEUU, habían logrado resolver el problema del subespacio invariante, que planteó el genial matemático John von Neumann en 1935. Quizás el problema más importante del área de Análisis Funcional y la Teoría de Operadores aún por resolver. Sin embargo, la alegría para la comunidad matemática española ha durado poco. El 5 de febrero los propios autores han comunicado que su demostración no resuelve el problema y que una de las afirmaciones que realizan no está bien justificada. Ahora mismo están trabajando para resolver este problema, pero no parece fácil lograrlo. En marzo publicarán la demostración tanto si logran resolver el problema como si no, para que otros matemáticos les ayuden. Por ello, a día de hoy el problema del subespacio invariante sigue sin estar resuelto.

«Carl Cowen y Eva Gallardo presentan la solución afirmativa al «problema del subespacio invariante»,» RSME, feb. 2013, y en este blog «Resuelto el problema del subespacio invariante,» 26 enero 2013.

¿En qué consiste este problema matemático? El problema es difícil de explicar en un lenguaje llano. Imagina que tomas una pelota de baloncesto con las manos y le das muchas vueltas. Siempre existe un eje de giro, tal que el resultado final se podría haber obtenido rotando una sola vez sobre dicho eje de giro. El eje de giro es un subespacio invariante para el operador de rotación de la pelota de baloncesto. El problema del subespacio invariante consiste en saber si para ciertos espacios con infinitas dimensiones llamados espacios de Hilbert también es cierto que siempre existe, digámoslo así, un «eje» de giro (un subespacio invariante). Este tipo de espacios se usan en la teoría matemática de la mecánica cuántica y para la reconstrucción de datos de tomografía computerizada. Por lo que la solución del problema podría tener algunos usos futuros de interés aplicado.

Miguel Lacruz, «Statement from Cowen and Gallardo,» Café Matemático, 5 feb. 2013, y en este blog «Una pena, pero el problema del subespacio invariante sigue abierto,» 5 feb. 2013.

Y para acabar, se ha descubierto un nuevo número primo de Mersenne. Mersenne fue un monje francés del siglo 17 que predijo que todos los números que son iguales a una potencia de dos menos uno (2^p-1) son números primos. Sin embargo, esto no es cierto, como se demostró a finales del siglo 19. Hoy en día se conocen 48 números de Mersenne que son primos, el último se ha descubierto el 25 de enero: el número dos elevado a 57.885.161 menos uno (2^57.885.161 -1) es primo (un número con 17.425.170 dígitos). Se han utilizado 360.000 ordenadores conectados por internet y han sido necesarios 17 años. Este es el programa de ordenador más largo que se ha ejecutado en internet hasta el momento.

«GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number, 2^57885161 -1,» 25 Jan 2013; «Mersenne Primes: History, Theorems and Lists.»

¿Para qué sirve descubrir números primos tan grandes? Los sistemas de cifrado que más se utilizan en internet para proteger cuentas bancarias, datos de tarjetas y demás información sensible se basan en algoritmos que utilizan números primos. Los avances en la detección de primos con gran número de cifras, como este cuadragésimo octavo número de Mersenne redundan en avances en el desarrollo de este tipo de algoritmos y acaban resultando en transacciones seguras por internet mucho más seguras. Así que aunque parezca una tontería, este tipo de descubrimientos son importantes en nuestra vida diaria.

Lo dicho, si quieres escuchar el audio, si aún no lo has hecho, sigue este enlace. 

Imagen: No sé si podrá utilizar alguna imagen de los papeles de Bárcenas en El País . La foto de los matemáticos está en https://francis.naukas.com/files/2013/01/dibujo20130126-carl-c-cowen-eva-gallardo-congreso-2013-rsme.jpg