Logran un haz de Airy de electrones (solución no dispersiva de la ecuación de Schrödinger)

Dibujo20130220 Holographic generation of an electron Airy beam

La solución de Airy de la ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica corresponde a un paquete de ondas no dispersivo que se propaga a lo largo de una curva parabólica en ausencia de fuerzas externas. Su existencia fue demostrada con fotones hace 30 años. Un nuevo artículo en Nature la demuestra con electrones utilizando técnicas holográficas (en la nanoescala) similares a las usadas en el caso óptico. Los haces de Airy de electrones permitirán realizar con electrones cosas que hasta ahora sólo eran posibles con fotones (interferómetros de electrones, vórtices de electrones, etc.). El artículo técnico es Noa Voloch-Bloch, Yossi Lereah, Yigal Lilach, Avraham Gover, Ady Arie, “Generation of electron Airy beams,” Nature 494: 331-335, 21 Feb 2013 [arXiv:1205.2112].

Dibujo20130220 Experimental wave packet micrographs of two-dimensional and one-dimensional electron Airy beams

La ecuación cuántica de Schrödinger es una ecuación de ondas dispersiva. Un paquete de ondas formado por la suma de muchas ondas planas de diferente frecuencia cambia de forma mientras se propaga porque la velocidad de fase de cada onda plana depende de su frecuencia (esto es lo que significa la dispersión). El teorema de Enhrenfest afirma que la velocidad de grupo del paquete de ondas se propaga a velocidad constante (sin aceleración) en ausencia de fuerzas externas. Sin embargo hay una solución especial de la ecuación de Schrödinger para una partícula de masa dada llamada paquete de ondas de Airy, que se propaga sin dispersión y muestra una velocidad de grupo que varía (la trayectoria del paquete se curva siguiendo una parábola) en ausencia de fuerzas externas.

Dibujo20130220 Normalized field profile and normalized intensity profile of a finite energy Airy beam

La curvatura de la luz del paquete de ondas de Airy es debido a la formación de cáusticas (como los patrones de luz que se ven en el fondo de una piscina un día soleado). George Biddell Airy introdujo a finales del siglo XIX la función que lleva su nombre para modelar estas cáusticas. Cuando la condición inicial toma la forma de una función de Airy. Esta figura muestra esta función y el cuadrado de su módulo (que determina la probabilidad en el caso cuántico).

Dibujo20130220 Comparison of micrographs of the transverse profiles of the Airy lattice with simulation results

En óptica, los haces de Airy se obtienen en experimentos en los que se hace pasar un haz gaussiano a través de una máscara que impone una modulación en fase cúbica en la dirección transversal y luego se le aplica una transformada de Fourier óptica (la función de Airy tiene como transformada de Fourier una función con modulación de fase cúbica). El método utilizado en el nuevo artículo es muy similar. Se utiliza un microscopio electrónico de transmisión por emisión de campo (FEG-TEM) a 200 keV cuya longitud de onda de De Broglie es de 2,5 pm. Para generar el haz de Airy se utiliza un nanoholograma. Obviamente, se requiere un gran alarde técnico, pero el esquema del experimento es muy similar al caso óptico.

4 Comentarios

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hicsuntdraconis

“Esta figura muestra esta función y su valor absoluto (este último es el que determina la probabilidad en el caso cuántico).”

¿No debería decir “y el cuadrado del módulo (este último es el que determina la probabilidad en el caso cuántico)”?

En la interpretación de Max Born es $latex |Phi|^2$ (con la función ya normalizada) la curva que determina la densidad de probabilidad.

hicsuntdraconis

Otrosí, que dicen los juristas:

“Sin embargo hay una solución especial de la ecuación de Schrödinger para una partícula de masa dada llamada paquete de ondas de Airy, que se propaga sin dispersión y muestra una velocidad de grupo que varía (la trayectoria del paquete se curva siguiendo una parábola) en ausencia de fuerzas externas.”

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en el caso de ausencia de fuerzas externas, es decir si el potencial es cero, es la conocida como la de la partícula libre. La solución normalizable exige el paquete de ondas, pero no veo cómo se puede deducir la ecuación de Airy si el potencial es nulo. Creo que para que la ecuación de Schrödinger (independiente del tiempo) se traduzca en la de Airy debe existir un potencial lineal, es decir la ecuación de Schrödinger ha de tener una forma del estilo de la siguiente

$latex -frac{hbar^2}{2m}frac{d^2psi(x)}{dx^2} = (E – Fx) psi(x)$

Esto, claro, en el contexto de la mecánica cuántica no relativista.

emulenewsemulenews

Hicsuntdraconis, la solución de Airy de la ecuación de Schrödinger es conocida desde los inicios de la cuántica. No tengo tiempo de escribirla en LaTeX, te dejo una imagen

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