Se ha encontrado un contraejemplo al teorema principal del artículo de Mukhtarbay Otelbaev. Por tanto, su demostración es incorrecta. Su trabajo ya está en el limbo de las ideas fallidas para atacar el sexto problema del milenio, sobre las ecuaciones de Navier-Stokes. El contraejemplo al teorema 6.1 del artículo nació de una idea de un usuario anónimo de dxdy llamado sup (traducción al inglés). Stephen Montgomery-Smith lo pulió gracias a la ayuda de Terry Tao y lo publicó en Mathematics Stack Exchange. El propio Otelbaev ya ha reconocido que será imposible corregir su «demostración» para evitar este contraejemplo. Lo siento por los lectores de este blog a los que les caía bien Otelbaev.
El estado actual de la demostración se lo conté la semana pasada a Luis Quevedo en «Los retos del milenio» en el programa CST (@cstntn24) de la cadena de televisión NTN24. Puedes ver el breve vídeo siguiendo este enlace. Como indico, hasta ahora nadie ha encontrado el error concreto de la demostración de Otelbaev. La razón no es que no lo haya, sino que ya nadie lo está buscando. No merece la pena perder el tiempo en algo que se sabe que es incorrecto. Debo aclarar a los lectores que no sean matemáticos que un contraejemplo a un teorema indica que es falso, fuera de toda duda, luego cualquier supuesta demostración contiene un error. Encontrarlo es un ejercicio sin mayor interés, más allá de un ejercicio de clase para estudiantes de postgrado.
Por otro lado, Terry Tao ha publicado en arXiv un artículo que arremete contra la técnica de demostración utilizada por Otelbaev, es decir, abstraer las ecuaciones de Navier-Stokes en un problema más general (dedicaré una futura entrada a discutir en detalle el artículo). Tao ha construido una versión promediada de las ecuaciones de Navier-Stokes que presenta singularidades (explosión de las soluciones o blow-up). El teorema de Oltebaev es aplicable a estas ecuaciones y afirma que no existen singularidades, contradiciendo el resultado de Tao. El artículo técnico es T. Tao, «Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation,» ha sido enviado a la revista J. Amer. Math. Soc. (arXiv: 1402.0290 [math.AP]). Conviene consultar T. Tao, «Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation,» What’s new, 04 Feb 2014.
El nuevo resultado de Tao afirma que no es posible establecer la regularidad global mediante un enfoque «abstracto» que sólo utilice la identidad de la energía y una cota superior a la norma de la solución como estimadores de la parte no lineal de la ecuación de Navier-Stokes. La versión modificada de las ecuaciones de Navier-Stokes de Tao obedece ambas, pero presenta singularidades (blow-up en tiempo finito). El trabajo de Tao tiene antecedentes (Montgomery-Smith, Gallagher-Paicu, Li-Sinai, Katz-Pavlovic, Cheskidov, Plechac y Sverak y Hou y Lei) y podría interpretarse como una nueva ruta hacia la demostración del bow-up en las ecuaciones de Navier-Stokes (aunque Tao no cree que vaya a ser un camino fácil).
Una buena exposición del contraejemplo encontrado para el teorema 6.1 de Otelbaev se encuentra en este PDF; para entenderlo, conviene recordar la formulación de dicho teorema en James Robinson, «3D Navier-Stokes equations: Otelbaev’s proof,» Warwick’s Math Inst, Feb 2014.
En resumen, habrá que estar al tanto de nuevos resultados sobre las ecuaciones de Navier-Stokes, pero todo indica que el problema sigue resistiendo todos los ataques.
Nada, es que lo que salta a la vista no se necesita espejuelos, él no debe estar fastidiado por eso, que demuestre lo contrario.
/*la demostración del bow-up en las ecuaciones de Navier-Stokes */
¿Que significa? ¿Que se demostraría la no existencia de la solución ‘bien comportada’ para las condiciones de contorno establecidas en el problema?
El Cid, considera la ecuación diferencial dy/dt=y^2, y(0)=1; su solución es y(t)=1/(1-t). Esta solución es infinita para t=1. Esto significa blow-up, aparece una asíntota vertical en tiempo finito. La solución existe y es única sólo durante un intervalo finito de tiempo, en este caso para t en [0,1).
Pero el problema del milenio ¿exigiría demostrar la existencia de una solución única para las condiciones de contorno dadas que no experimente blow-up en un tiempo finito?
Lo pregunto porque en este caso el programa que propone Tao llevaría a la solución del problema.
El Cid, el problema del milenio consiste en saber si las ecuaciones NS tienen blow-up o no lo tienen. Por otro lado, la existencia de soluciones ya está demostrada (1933), lo que no sabemos es la unicidad, la regularidad y si existen sólo en un intervalo finito (blow-up) o para todo tiempo (no hay blow-up).
Por otro lado, el problema del milenio no habla de condiciones de contorno (que podrían ser la fuente de la turbulencia según los resultados experimentales). Sólo habla de condiciones iniciales, tanto en un abierto (espacio infinito) como en un cerrado (soluciones periódicas).
Finalmente, Tao no propone ningún programa (en el sentido matemático de la palabra) para resolver el problema del milenio. Su trabajo sugiere que NS tienen blow-up (pues imaginar una mecanismo que lo evite parece imposible), pero nada más. Tao no ofrece ninguna vía de ataque concreta (si la tiene no lo ha publicado).
Gracias Francis por la aclaración. En este tipo de cuestiones de gran alcance es muy fácil equivocarse si no eres experto o cercano a ello, incluso en la comprensión del planteamiento del problema.
¿Podrías dejar algúna referencia / artículo que explique un poco más lo que dices con «condiciones de contorno (que podrían ser la fuente de la turbulencia según los resultados experimentales)»? Me causan mucha curiosidad estos resultados experimentales.
En este blog puedes leer https://francis.naukas.com/2010/07/09/un-modelo-excepcionalmente-simple-capaz-de-incorporar-los-efectos-de-la-turbulencia-de-pared/ Mira en las referencias citadas.
Gracias por el enlace. Trabajo en el campo de la turbulencia, y me resulta muy raro eso que comentas. Conozco el trabajo de Marusic, Jiménez y otros coautores. Sin embargo, la turbulencia no necesita de paredes para generarse, como parece que se dice en el artículo, con una inestabilidad Rayleigh-Taylor o Kelvin-Helmholtz también las generas… supongo que estos sistemas los conoceras de sobra, pero creo que la frase del artículo se deja leer que la turbulencia no existiría de no ser por las paredes, y me parece un poco discutible.
Yo no creo que encontrar el error en su demostracion sea inutil o algo sin interes, probablemente se pueda aprender haciendolo
Ja! ¿Que dije yo? Buscar el resultado intermedio más sorprendente y buscarle un contraejemplo…
Personalmente me parece una pena, estoy estudiando ingeniería civil (antigua ingeniera de caminos) ,hora mismo estoy estudiando una asignatura de mecánica de fluidos en segundo y a pesar de que mis conocimiento matemáticos son bastante limitados puedo reconocer que las matemáticas que hay detrás de la mecánica de fluidos son sorprendentes y me parece un bellísimo campo de investigación del que cada vez me gustaría saber más. En cuanto a la demostración ( bueno el resumen ) que publicaste en el anterior post, a pesar de lo que comentabas a mi me pareció una demostración muy espectacular (ya digo que soy bastante impresionable y es la demostración más larga que he seguido). Por cierto en cuando terminen de traducir el artículo de Otelbaev podrías colgarlo en tu blog, aunque se que es errónea siempre se puede aprender.
Full research of the Navier-Stokes equations is given in the following monograph.
Taalaibek D. Omurov, “Existence, Singleness and Smoothness in the Problem of Navier-Stokes for Incompressible Fluid with Viscosity” published at
http://literatura.kg/articles/?aid=2030
Abstract
Existence, singleness and smoothness (or conditional-smoothness) in solution of the Navier-Stokes equation is one of the most important problems in mathematics of the millennium [1], which describes the motion of viscous Newtonian fluid and which is a basic in hydrodynamics [6, 12]. Therefore in this work a nonstationary problem for Navier-Stokes of incompressible fluid with viscosity is solved [1].
Preface
The research is devoted to the development of a method for solving 3D Navier-Stokes equations that describe the flow of a viscous incompressible fluid. The study includes a requirements «Navier-Stokes Millennium Problem», as developed method of solution contains a proof of the existence and smoothness of solutions of the Navier-Stokes equations, where laminar flow is separated from the turbulent flow when the critical Reynolds number: Re = 2300. The decision is obtained for the velocity and pressure in an analytical form, as required by the «Navier-Stokes problem Millennium». The method of solution is supported by examples for different viscosity ranges corresponding applications.
In sections 4.3, 4.4, 7.2 and paragraphs 5, 6 new law of the pressure distribution has been found. This law is derived from the equation of Poisson type and differs from the known laws of Bernoulli, Darcy at all. Most importantly, the author has opened a special space for the study of the existence and smoothness (including conditional smoothness) equations Navier-Stokes for viscous incompressible fluid. In the case of smoothness a space with the norms of Chebyshev type has been obtained. The weighted space of Sobolev type arises in the case of conditional-smoothness. For brevity, these spaces can be called: Omurov’s spaces with different metrics.
K. Jumaliev, Academician, Director of the Institute of Physics NAS Kyrgyz Republic August 1, 2014
……
REFERENCES
[1] Navier-Stokes Existence and Smoothness Problem. The Millennium Problems, stated in 2000 by Clay Mathematics Institute.
[2] Beale, J.T., Kato, T., Majda, A. (1984), Remarks on the breakdown of smooth solutions for the 3-D Euler equations, Comm. Math. Phys. 94 (1), pp. 61-66.
[3] Birkhoff, G. (1983), Numerical fluid dynamics. SIAM Rev., Vol. 25, No 1, pp. 1-34.
[4] Cantwell, B.J. (1981), Organized motion in turbulent flow. Ann. Rev. Fluid Mech. Vol. 13, pp. 457-515.
[5] Grujic, Z., Guberovic, R. (2010), A regularity criterion for the 3D NSE in a local version of the space of functions of bounded mean oscillations, Ann. Inst. Henri Poincare, Anal. Non Lineaire 27, pp. 773-778.
[6]Ladyzhenskya, O.A. (1970), Mathematical questions of dynamics of a viscous incompressible liquid (in Russian). Nauka, Moscow, 288 p.
[7]Omurov, T.D. (2013), Nonstationary Navier-Stokes Problem for Incompressible Fluid with Viscosity.American J. Math.&Statistics, Vol. 3, No 6, pp. 349-356.
(http://article.sapub.org/10.5923.j.ajms.20130306.08.html)
[8] Omurov, T.D. (2014), The Methods of a Problem Decision Navier-Stokes for the Incompressible Fluid with Viscosity. American J. of Fluid Dynamics, Vol. 4, No 1, pp. 16-48
(http://article.sapub.org/10.5923.j.ajfd.20140401.03.html )
[9] Omurov, T.D. (2013), Navier-Stokes problem for Incompressible fluid with viscosity. Varia Informatica, 2013, Ed. M.Milosz, PIPS Polish Lublin, pp. 137-158.
[10] Omurov, T.D. (2010), Nonstationary Navier-Stokes Problem for Incompressible Fluid. J.Balasagyn KNU, Bishkek, 21p. [Content of the work is registered in Kyrgyzpatent, and the copyright certificate is received]
[11] Prantdl, L. (1961), Gesammelte Abhandlungen zur angewandten Mechanik, Hudro- und Aerodynamic. Springer, Berlin.
[12] Schlichting’s, H. (1974), Boundary-Layer Theory. Nauka, Moscow, 712 p.
[13] Sobolev, L.S. (1966), Equations of Mathematical Physics. Nauka, Moscow, 443 p.
[14] Friedman, A. (1958), Boundary estimates for second order parabolic equations and their application. J. of Math. and Mech., Vol. 7, No 5, pp.771-791.
[15] Hörmander, L. (1985), The Analysis of Linear Partial Differential Operators III: Pseudo – Differential Operators. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, NY, Tokyo, 696 p.
The proximity of the solutions of the Euler and Navier-Stokes equations are in section 2.3. The remark at the end of paragraph 4.2 covers a limited area. The paragraph 7 is devoted to the n-dimensional case of the Cauchy problem.
See
http://terrytao.wordpress.com/2007/03/18/why-global-regularity-for-navier-stokes-is-hard/
Sincerely,
Choro Tukembaev
Hola,
Podrías mandarme el video que mencionas?
Ya no esta disponible en la web-page.
Por otra parte me alegraría que no se haya resuleto el problema. Siempre has sido algo que me gustaría intentar…
Muchas gracias,
Edu.
Lo siento, Edu, pero así es la web. Las cosas aparecen y desaparecen. No encuentro el vídeo en el Internet Archive (WayBackMachine), así que es imposible localizarlo.