La contextualidad y el secreto del poder de los ordenadores cuánticos

Dibujo20140610 shor algorithm - nature

El algoritmo cuántico de Shor permite factorizar números enteros de forma eficiente (en tiempo polinómico). No conocemos ningún algoritmo clásico que lo permita. ¿Cuál es la propiedad cuántica clave responsable de esta mayor eficiencia respecto a los algoritmos clásicos? Un nuevo artículo en Nature nos propone que se trata de la contextualidad cuántica.

Interesante propuesta, pues el paralelismo cuántico, el entrelazamiento cuántico o las superposiciones cuánticas se sabe que no son la clave. Quizás hayamos dado con el quiz de la cuestión, o quizás no. Pero la gran cuestión pendiente es si pensar que la contextualidad es el secreto de la “magia” cuántica ayudará a diseñar nuevos algoritmos cuánticos más eficientes que sus equivalentes clásicos. Por ahora no lo sabemos, pero se abre la puerta hacia una nueva metodología para diseñar algoritmos cuánticos.

Nos lo cuenta Stephen D. Bartlett, “Quantum computing: Powered by magic,” Nature, AOP 11 Jun 2014, que se hace eco del artículo técnico de Mark Howard, Joel Wallman, Victor Veitch, Joseph Emerson, “Contextuality supplies the ‘magic’ for quantum computation,” Nature, AOP 11 Jun 2014; arXiv:1401.4174 [quant-ph].

La contextualidad cuántica es una propiedad difícil de definir sin entrar en tecnicismos. Como la no localidad, la contextualidad caracteriza a toda teoría de variables ocultas realista que pretenda explicar la mecánica cuántica; recuerda, una teoría es realista si asigna a cada sistema físico una serie de propiedades reales, es decir, bien definidas tanto si son medidas como si no lo son. La idea básica de la contextualidad es que al realizar una medida de cierta propiedad en un sistema cuántico lo alteramos (o alteramos su contexto) de tal forma que se afecta a cualquier otra medida posterior de una propiedad compatible con la primera. Por tanto, no existe ninguna teoría de variables ocultas no contextual que pueda reproducir la mecánica cuántica.

Sé que no está muy claro, permíteme intentar aclararlo un poco. Un observable A es una magnitud medible en un sistema físico; tras la medida se obtiene un valor dado v(A). Dos observables A y B son compatibles si el resultado v(A) de medir A no depende de si B ha sido medido antes, después o de forma simultánea con A, y viceversa.

Una teoría de variables ocultas es un modelo que asegura que el resultado v(A) de la medida de un observable A en un sistema cuántico está predeterminado por el valor de una variable oculta λ(A). Una teoría de variables ocultas no es contextual si el valor v(A) de la variable A está determinado por λ(A) de forma independiente a cualquier otro observable compatible con A, tanto si ha sido medido, como si no lo ha sido. Por tanto, en una teoría no contextual se tiene que el resultado de dos medidas consecutivas de dos observables compatibles A y B es independiente; en símbolos podemos escribir que v(AB)=v(A)v(B).

Kochen y Specker (1967) demostraron matemáticamente que la mecánica cuántica no se puede describir como una teoría de variables ocultas no contextual. Su artículo, ya clásico, es Simon B. Kochen, Ernst P. Specker, “The problem of hidden variables in quantum mechanics,” Journal of Mathematics and Mechanics 17: 59-87, 1967 [PDF gratis]. Este trabajo extiende resultados previos de John S. Bell que probaron que la mecánica cuántica no se puede describir como una teoría de variables ocultas no local. Más aún, el llamado teorema de Bell-Kochen-Specker afirma que la no localidad es un caso particular de la contextualidad (que por tanto es una propiedad más general).

Daniel Gottesman en “Theory of fault-tolerant quantum computation,” Physical Review A 57: 127, 1998 [arXiv:quant-ph/9702029], demostró el teorema de Gottesman-Knill (ideado junto a Emanuel Knill, aunque no sea coautor) que afirma que todo circuito cuántico implementado con las puertas lógicas cuánticas que definen el llamado grupo de Clifford (las puertas de Hadamard, NO-controlado y cambio de fase) se puede implementar eficientemente de forma clásica; a este tipo de circuitos se les llama circuitos estabilizadores. Los circuitos más generales requieren usar puertas lógicas que definen el llamado grupo de Pauli (o grupo no-Clifford).

El teorema de Gottesman-Knill es muy importante porque afirma que el entrelazamiento cuántico no es la clave de la mayor eficiencia de los algoritmos cuánticos respecto a los clásicos, ya que los circuitos estabilizadores presentan estados entrelazados. De hecho, la simulación clásica de los circuitos (cuánticos) estabilizadores se realiza con un grafo de estados plano en un tiempo O(n log n), donde n es el número de puertas lógicas cuánticas. Obviamente, los circuitos estabilizadores no definen un computador cuántico universal (en los algoritmos cuánticos más eficientes que los clásicos hay que incluir circuitos no estabilizadores).

Dibujo20140611 the construction applied to two qubits - nature13460-f2

Mark Howard y sus colegas estudian una propiedad técnica llamada “destilación mágica del estado” (MSD por Magic State Distillation), que añadida a un circuito estabilizador conduce a un circuito más general (no estabilizador). En su artículo en Nature estudian la relación entre la MSD y la no contextualidad. Para cubits (bits cuánticos) esta cuestión no es fácil de formalizar. Sin embargo, para cudits (dígitos cuánticos), sistemas cuánticos con más de dos estados clásicos, cuya dimensión es un número primo (3, 5, 7, 11, etc.), logran demostrar una desigualdad que relaciona la no contextualidad y la MSD. Los detalles técnicos nos llevarían demasiado lejos (quienes puedan entenderlos seguro que pueden leer el artículo técnico original).

El nuevo teorema sugiere firmemente que la contextualidad es una propiedad necesaria para la computación cuántica universal, gracias a la MSD. Todo parece indicar que en un modelo no contextual, todo circuito cuántico se reduce a un circuito estabilizador (repito, que se puede simular de forma eficiente con un ordenador clásico). Por supuesto, todo circuito con cudits se puede simular con cubits, sin embargo, Howard y sus colegas no logran completar su demostración sólo con cubits. Sugieren en su artículo que la diferencia entre cubits y cudits es que la contextualidad independiente del estado no se manifiesta, con lo que conjeturan que usando cubits la contextualidad siempre es dependiente del estado. Este hueco en su trabajo tendrá que ser estudiado en detalle en futuros trabajos técnicos.

La contextualidad es una propiedad necesaria y quizás también suficiente para que actúe la “magia” cuántica que hace que algunos algoritmos cuánticos sean más eficientes que sus versiones clásicas. Sin lugar a dudas, el nuevo trabajo será el punto de partida de muchos trabajos futuros que tratarán la importante cuestión que permanece abierta: ¿la contextualidad es una condición suficiente?


3 Comentarios

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CesCes

Que bonito esto que cuentas Francis. Se te ocurre alguna manera de mezclar esto con la interpretación de Feynman de los muchos caminos ??

Javier

“Este trabajo extiende resultados previos de John S. Bell que probaron que la mecánica cuántica no se puede describir como una teoría de variables ocultas no local”.

No estoy seguro al 100%, pero creo que fue von newman el que ya demostro que la QM no podia expresarse enterminos de variables ocultas (Realista), en su libro mathematical foundations of quantum mechanics, bastante antiguo (1955) .

La contextualidad que citas , es interesante :

“. Más aún, el llamado teorema de Bell-Kochen-Specker afirma que la no localidad es un caso particular de la contextualidad (que por tanto es una propiedad más general).”

Confieso que matemáticamente no llego a comprenderlo, y lo siento.

Solo llego a comprender la interpretación de copenhagüe, la realidad de todas las alternativas hasta que se mide, cada una con su funcion de onda compleja.

En ese sentido, el universo tiene otra ‘simetria’, la de las posibilidades en su evolucion.

Y esa simetria, solo se rompe al medir.

En este momento existe un villatoro al que dan el premio nobel en unos años, y un villatoro al que mañana atropella un coche (Y muchos mas).

Esas simetrías de existencia, se romperán en su debido momento, y en realidad (Segun la QM), el resultado NO dependerá de nada del pasado.

La QM nos enfrenta a nosotros mismos, obligandonos a mirar al universo como un niño mira a un diamante, muchas caras, y todas bellas.

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