Reseña: “Fermat. El problema más difícil del mundo” de Luis Fernando Areán Álvarez

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No me gustó como empieza este libro. Pensé que me costaría mucho leerlo. Para mi sorpresa, en una semana ha caído. Esta biografía de Pierre de Fermat pone en su lugar “a una de las mentes científicas más importantes de todos los tiempos.” Padre de la teoría de números moderna y uno de los abuelos del cálculo infinitesimal, los físicos le conocemos por su contribución a la óptica, el principio de Fermat, que ahora es fundamental en toda la física. Luis Fernando Areán Álvarez, el autor, conocido divulgador, logra un resultado más que aceptable con su biografía divulgativa “El problema más difícil del mundo. El teorema de Fermat,” Grandes Ideas de la Ciencia, RBA Coleccionables, 2012.

Quería dedicar algunas reseñas a los libros de esta colección de RBA, en parte, porque algunos de los autores son amigos y también porque me gusta leer biografías de científicos. Prefiero las biografías científicas, decoradas con contenido técnico, pero debo confesar que durante el verano me decanto por biografías más ligeras. Las biografías de la colección “Grandes Ideas de la Ciencia” me han parecido una buena elección. No sabía por cuál empezar, así que he elegido al azar a Fermat (aunque temía la comparación con el libro de Simon Singh, “El enigma de Fermat”). Permíteme unos breves extractos del libro para motivar su lectura.

Dibujo20140610 Pierre de Fermat - wikipedia

Fermat fue magistrado en Toulouse, Francia, por ello el autor se refiere a él como el “matemático tolosano” (aunque a mí siempre me viene a la mente el gentilicio de Tolosa, ciudad de Guipúzcoa (País Vasco), parece que Toulouse en español también se traduce como Tolosa). “Considerado el más grande aficionado que haya contribuido a las matemáticas, vivió una vida plácida, burguesa y sin sobresaltos,” a pesar de vivir en un siglo XVI bastante convulso en Francia. La época que Alejandro Dumas retrató en su famosa novela histórica “Los tres mosqueteros” (1844), y en sus dos secuelas “Veinte años después” y “El vizconde de Bragelonne”, conocidas las tres como “Las novelas de D’Artagnan”.

En el capítulo dos nos cuenta que “los intrumentos matemáticos de la época de Fermat eran muy similares a los que emplea un alumno de instituto. La matemática que usó Andrew Wiles para demostrar el último teorema de Fermat fue inventada en el siglo XX. Lo más probable es que Fermat hubiera demostrado algunos casos particulares del teorema.” Con seguridad demostró el caso n=4 y quizás también el caso n=3. “Muy probable es que a partir de estos casos pensara que la generalización era muy sencilla.” Pero “no era la primera vez que Fermat se equivocaba. También había afirmado que 2^(2^p)+1 es siempre un número primo y Euler demostró que esto no es verdad para p=5, numero divisible por 641.”

“No es descabellado pensar que la supuesta demostración de Fermat [que no cabía en el margen de un libro] solo existió en su imaginación. Su falta de rigor le llevó a hacer una afirmación muy audaz a partir de un par de casos especiales… afirmación de la que, por otro lado, no se tiene constancia de que quisiera compartirla con otros.” La hizo pública su hijo a título póstumo. Qué paradoja. “Un resultado sin importancia, una observación adecuada para el margen donde fue escrita, que suscitó [durante 350 años] teorías completas cuya aplicación y desarrollo resultaron capitales” para la matemática.

Dibujo20140610 pierre de fermat - sus teoremas

“Un problema sin resolver es como un muro. Los matemáticos tienen que fabricar armas para derribarlo. Y hay problemas que no pueden ser derribados con ciertas armas. Igual que una catapulta romana es inútil contra un portaaviones moderno. Fermat tenía armas que una generación o dos anteriores no hubieran soñado; pero no eran suficientes para resolver su problema. Además, era imposible que él lo supiera. Tal vez el jurista tolosano se vio deslumbrado por el brillo de las armas que su maestro Vieta y él mismo habían inventado, y no supo que no serían capaces de derrumbar determinados muros. El lema de Vieta era nullum non problema solvere (“no hay problema sin solución”). Una confianza que era excesiva,” como sabemos hoy en día.

En el capítulo cuatro, el autor nos recuerda que “estudiando los lugares geométricos definidos por Apolonio, Fermat, al igual que Descartes, tuvo una iluminación: dichos lugares en el plano podían ser descritos por una ecuación con dos incógnitas. La dimensionalidad no dependía, como pensaban todos hasta entonces, del grado de la ecuación (si era cuadrática o cúbica), dependía sólo del número de incógnitas. La geometría analítica cambió el paradigma por completo. La algebraización de la geometría permitía resolver muchos problemas de forma casi mecánica.”

“Habiendo establecido una geometría analítica plana, Fermat se lanzó a extender sus resultados a tres dimensiones. Sin embargo, sus herramientas matemáticas fallaron en este intento. Descartes fue el primero en filosofar sobre el álgebra como una especie de proceso mental que clarificara el pensamiento. Junto a Fermat, menos inclinado a la filosofía, establecieron una forma nueva de pensamiento matemático que continúa hasta nuestros días. Fermat no lo sabía pero queriendo restaurar la tradición clásica a través del rescata de sus obras más emblemáticas, en realidad la estaba enterrando. Las herramientas que había usado para desentrañar los misterios olvidados de Grecia había inaugurado un mundo nuevo que haría que muchos de los métodos clásicos griegos cayeran en la irrelevancia.”

“En su juventud, Fermat había dado con un método para encontrar valores máximos y mínimos,” nos cuentan en el capítulo quinto, método basado en una versión primitiva del concepto de derivada de una función. Pero nunca escribió un tratado sobre el tema. “Otra oportunidad perdida porque, de haberlo hecho, hoy atribuiríamos a Fermat la invención del cálculo infinitesimal.”

Dibujo20140610 Pierre de Fermat - stamp

“La cuadratura de curvas es la operación que hoy en día llamamos integración. Los griegos se dieron cuenta de que cuadrar ciertas curvas era muy difícil.” Fermat trataba las curvas como ecuaciones, “olvidaba la gráfica de la curva y se concentraba en la manipulación algebraica.” Gracias a ello logró cuadrar muchas curvas de grado superior con un método que “se basaba en acotar el área [bajo la curva] entre dos sumas [de áreas de rectángulos]. En su “Tratado de cuadraturas,” Fermat llegó aún más lejos. Con su nuevo método le bastaba una sola suma a la que adigualdaba [es decir, aproximaba] el lado superior de cada rectángulo con un segmento muy pequeño de una hipérbola.” Un primitivo método de integración numérica muy efectivo.

Al proceso de calcular la longitud de una curva se le llama rectificación y consiste en aproximar la curva por pequeños segmentos rectos y su sumar sus longitudes. “En su “Tratado de rectificación” Fermat adigualda [es decir, aproxima] un segmento de tangente con el arco que subtiende dicho segmento. Para adigualdar obliga a que dicho segmento sea arbitrariamente pequeño [luego usa infinitésimos]. La suma de estos segmentos infinitesimales da la longitud de la curva (la rectificación).”

“En parte gracias a los trabajos de Fermat, la idea central del cálculo, el uso de infinitésimos, fue introducida por Leibniz y Newton. Sobre todo con la idea fundamental de que la operación de calcular la pendiente de la tangente de una curva A da como resultado una ecuación B y que la operación de encontrar la cuadratura de la curva B da como resultado la ecuación A. En otros palabras, derivar e integrar son operaciones complementarias, como la suma y la resta. Este el teorema fundamental del cálculo. ¿Cómo es posible que Fermat no se diera cuenta de que tenía al alcance de la mano el descubrimiento de dicho teorema? Como el caballero Perceval, Fermat contemplaba el Santo Grial, sin lograr reconocerlo, lo cual le impidió reclamar el triunfo de haberlo hallado. Como Moisés, vislumbra la tierra prometida pero no llega a ella.”

El último capítulo, el sexto, bastante breve, nos habla de la teoría de la probabilidad y del principio de Fermat. Me hubiera gustado una discusión más detallada, sobre todo de este último. “Quiso la suerte que Fermat estuviera en continuo contacto, por razones profesionales, con Marin Cureau de la Chambre, secretario del canciller del Reino. Cureau planteó un principio físico conocido desde la Antigüedad (Herón de Alejandría): “La naturaleza opta siempre por el camino más corto.” Cureu lo aplicó a la reflexión de la luz. Fermat lo generalizó a la refracción en tales términos que estaba calculando el tiempo más corto, no la distancia más corta.

Tanto Cureau como Descartes pensaban que la luz se propagaba de forma instantánea (o que su velocidad era infinita). Fermat quería evitar la polémica. Cureau le imploró y Fermat derivó la ley de la refracción a partir del principio que lleva su nombre usando su método de máximos y mínimos.” Fermat solo usó que la velocidad de la luz era finita. En física, los principios extremales son de importancia capital. Pero Fermat siempre demostró muy poco interés por la física matemática durante su carrera científica.

En resumen, una biografía ligera, sin detalles técnicos, que disfrutarán sobre todo los lectores más jóvenes de este blog.

2 Comentarios

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IsmaelIsmael

Francis, ¿te gustó este más o menos que el “Enigma de Fermat”?

Me pareció muy interesante el anterior. ¿puedes muy brevemente compararlos?

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