Medida cuántica simultánea de la posición y del momento de un fotón por muestreo compresivo

Dibujo20140724 Recovered position and momentum CCD images for two objects - PRL

El principio de indeterminación de Heisenberg afirma que es imposible conocer con precisión arbitraria los valores de dos observables complementarios en un mismo sistema físico. No podemos medir de forma simultánea la posición y el momento de un fotón, pero podemos medir una combinación lineal de ambos con precisión arbitraria. Gracias a ello podemos reconstruir la distribución de posiciones y de momentos de un conjunto de fotones con alta fidelidad.

El artículo técnico es Gregory A. Howland et al., “Simultaneous Measurement of Complementary Observables with Compressive Sensing,” Phys. Rev. Lett. 112: 253602, 26 Jun 2014. Si eres físico y sabes algo de óptica cuántica te recomiendo su lectura [PDF gratis].

Dibujo20140724 Lenna - tiff 769 kb - jpeg 95 kb - compression techniques comparison

Compara estas dos imágenes de Lenna (la versión a cuerpo entero en Playboy). A la izquierda ves una imagen en formato TIFF con compresión sin pérdidas que ocupa 769 Kb. A la derecha ves una versión en formato JPEG con compresión con pérdidas que ocupa sólo 95 Kb. Obviamente, la imagen TIFF contiene más información que la imagen JPEG, pero cuesta mucho encontrar las diferencias. Un “ojo” no preparado podría pensar que ambas contienen la misma cantidad de información.

El muestreo de señales está limitado por el teorema del muestreo (Whittaker (1915), Nyquist (1928), Kotelnikov (1933), Gabor (1946) y Shannon (1949), también conocido como teorema de Nyquist–Shannon). La frecuencia de muestreo debe ser mayor que el doble de la máxima frecuencia presente en la señal si se quiere lograr una reconstrucción perfecta. ¿Podemos superar el teorema de Nyquist–Shannon? La técnica de muestreo compresivo (compressed sensing) permite lograrlo usando la idea de la compresión con pérdidas tipo JPEG pero al revés. Sin entrar en detalles técnicos, permite muestrear señales que capturen toda la información útil contenida en una señal usando una frecuencia de muestreo muy baja (comparada con el límite de Nyquist–Shannon). La clave es usar algoritmos de reconstrucción de la señal incompleta similares a los usados en los algoritmos de compresión de imágenes con pérdidas.

Dibujo20140724 position and momentum recovered in CCD images for two objects - PRL

¿Se puede usar el muestreo compresivo para superar el principio de incertidumbre de Heisenberg? La medida de dos observables complementarios de un fotón, como su posición (x) y su momento (k), debe cumplir que Δx Δk ≥ ℏ/2. Tanto la posición como el momento de un conjunto de fotones se puede reconstruir usando imágenes obtenidas con una cámara CCD (Charge-Coupled Device). Mediante la técnica de muestreo compresivo se puede reconstruir de forma simultánea una imagen de las posiciones y otra imagen de los momentos (transformada de Fourier de la anterior) en ambos casos con una incertidumbre para cada fotón inferior al límite impuesto por el principio de incertidumbre de Heisenberg.

La nueva técnica no viola el principio de incertidumbre de Heisenberg, en la misma medida que la compresión con pérdidas no viola el límite de Nyquist–Shannon. La información “útil” de la posición y el momento es recuperada en la misma medida en que ambas imágenes de Lenna contienen la misma información “útil” (por supuesto, la imagen JPEG es inaceptable para una revista en papel y otras aplicaciones).

Dibujo20140724 Experimental setup for simultaneous position and momentum imaging - PRL

El expeimento publicado en Physical Review Letters combina una medida de la posición mediante filtrado (que implica una proyección parcial del estado cuántico de los fotones) con una medida (fuerte) del momento (que implica la proyección del estado, el llamado colapso de la función de onda). La ejecución del algoritmo de muestreo compresivo utilizando algoritmos de óptica de Fourier permite la reconstrucción de la posición y el momento de los fotones. Al aplicar un solo filtro se obtiene una “buena” aproximación a la distribución verdadera de posición y momento; tras aplicar varios filtros (hasta 60 por segundo) y combinar los resultados se mejora mucho dicha aproximación hasta alcanzar una “alta fidelidad” más allá del límite de Heisenberg.

Los lectores de mente inquieta me dirán que los autores del artículo publicado en Physical Review Letters hacen trampa. En realidad no miden la posición y el momento de un fotón de forma simultánea violando el principio de Heisenberg. Ellos lo aclaran en el propio artículo: “Our technique does not violate the uncertainty principle.” Cada medida ofrece información parcial de la posición y el momento de cada fotón. Pero esta información parcial puede ser útil en muchas aplicaciones. Más aún combinando múltiples medidas (aplicando filtros en secuencia) sobre fotones diferentes se obtiene una reconstrucción (estadística) de alta fidelidad de las distribuciones de momento y posición de los fotones.

Como la imagen de Lenna en JPEG, la nueva técnica ofrece una técnica útil para superar un límite físico que puede tener muchas aplicaciones prácticas en metrología cuántica, procesamiento cuántico de la información, caracterización del entrelazamiento en sistemas de gran dimensionalidad y muchas otras. Habrá que estar atentos a cómo otros investigadores aprovechan esta nueva técnica para ofrecernos una visión de la mecánica cuántica más allá de la que ofrecen las medidas débiles.

2 Comentarios

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BernatBernat

Este sería el teorema de Nyquist-Shannon, también conocido como de Nyquist, por el teorema de Shannon generalmente se entiende el teorema de Shannon-Hartley que determina la cantidad de información que se puede enviar por un canal en base a la relación señal ruido.

Francisco R. Villatoro

Bernat, también conocido como teorema de Whittaker(1915)–Nyquist(1928)–Kotelnikov(1933)–Gabor(1946)–Shannon(1949), con antecedentes en el siglo XIX… Pero aceptaré tu sugerencia y lo cambio a teorema del muestreo.

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