Jackson Pollock como “máquina de coser fluidodinámica” humana

Dibujo20141024 Jackson Pollock painting by coiling - The Pollock Krasner Foundation Artists Rights Society New York

El pintor Jackson Pollock era una máquina de coser fluidodinámica humana. Con su mano realizaba gestos que impregnaban el lienzo con patrones generados por el movimiento de la brocha de pintura a cierta distancia del lienzo. En ingeniería y en física, una FMSM (del inglés Fluid Mechanical Sewing Machine) es un chorro líquido viscoso que cae sobre una cinta transportadora que se mueve a velocidad constante. Se forman meandros, bucles, patrones en W, etc., que parecen patrones de bordado (de ahí que se hable de máquina de coser). El origen de estos patrones es la diferencia entre la velocidad terminal del chorro y de la cinta.

John R. Lister (Univ. Cambridge, Reino Unido) y sus colegas han desarrollado un modelo matemático muy sencillo de este sistema físico capaz de describir todos los patrones observados. Un modelo unidimensional basado en tres ecuaciones diferenciales ordinarias que gustará a muchos profesores de física y de matemáticas.

El artículo técnico es P.-T. Brun et al., “Liquid ropes: a geometrical model for thin viscous jets instabilities,” arXiv:1410.5382 [physics.flu-dyn]. Más información sobre Andrzej Herczyński, Claude Cernuschi, L. Mahadevan, “Painting with drops, jets, and sheets,” Physics Today 64: 31-36, 2011. Información divulgativa en “Jackson Pollock, artist and physicist?,” Univ. Cambridge News, 28 Jun 2011.

Dibujo20141024 Pollock coiling 2011 The Pollock Krasner Foundation Artists Rights Society New York Este extracto de la pintura “Untitled 1948-1949″ muestra los patrones de los trazos de pintura roja y negra en el lienzo. Pollock movió la mano lentamente aprovechando la física del chorro viscoso de pintura para crear estos patrones en forma de bucle, oscilando la mano lentamente para lograr los trazos serpenteantes. Sin lugar a dudas, Pollock era una FMSM humana.

Dibujo20141024 Direct numerical simulation - no inertia - viscous fluid falling onto belt with velocity - arxiv

En física de fluidos se suelen usar variables adimensionales. Los parámetros físicos básicos de este sistema son la viscosidad cinemática \nu y la aceleración de la gravedad g, que permiten definir una escala de longitud L=(\nu^2/g)^{1/3} y una de tiempo T=(\nu/g^2)^{1/3}. La altura H^* del grifo respecto a la cinta y la velocidad V^* de ésta se pueden adimensionalizar como H=H^*(g/\nu^2)^{1/3} y V=V^*/(\nu{g})^{1/3}. Todos los patrones se pueden clasificar usando un diagrama de fase (H,V) como el siguiente.

Dibujo20141024 phase diagram - viscous fluid falling onto belt with velocity - arxiv

Cuando la cinta está en reposo (V=0) el chorro se enrolla formando una bobina con un radio R_c, una frecuencia \Omega_c y una velocidad U_c=R_c\Omega_c, cuyo valor depende de la altura, es decir, U_c\equiv{U_c(H)}. Al normalizar la velocidad de la cinta respecto a esta velocidad se obtiene un diagrama de fases (H,V/U_c) como el del inciso en esta figura; las fronteras entre patrones son aproximadamente horizontales.

El modelo matemático desarrollado es muy sencillo. Si (r(s),\psi(s)) son las coordenadas polares del punto de contacto del chorro con la cinta y \theta(s) es el ángulo de contacto con respecto al plano horizontal, se obtiene un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias: r'=\cos(\theta-\psi)+(V/U_c)\cos\psi, r\psi'=\sin(\theta-\psi)-(V/U_c)\sin\psi, y \theta'=\kappa(r,\theta-\psi), donde la prima indica derivada respecto a s y se usa la función (que se deduce en el apéndice del artículo)

\displaystyle\kappa(r,\phi)=\frac{1}{R_c}\sqrt{\frac{r}{R_c}}\left(1+\frac{b^2\cos\phi}{1-b\cos\phi}\frac{r}{R_c}\right)\sin\phi,

donde b=0.715 es un parámetro que se mide experimentalmente.

Los interesados en más detalles pueden consultar el artículo técnico. Lo que yo quisiera destacar es que un modelo tan sencillo puede describir algo tan complejo como la técnica pictórica de un artista como Jackson Pollock.

Por cierto, esta entrada participa en la Edición 5.7: Alan Turing del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog El zombi de Schrödinger. Como estaba dedicado a Turing pensé que otros hablarían de los patrones de Turing, así que yo decidí hablar de los patrones de Pollock. José M. Morales aka zombi de Schrödinger ha aceptado mi participación (aunque estuviera unas horas fuera de plazo).

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