La función zeta de Riemann como un campo electrostático

Por Francisco R. Villatoro, el 24 diciembre, 2014. Categoría(s): Ciencia • Matemáticas • Mathematics • Science ✎

Dibujo20140727 riemann zeta function as an electric field near non-trivial zeros - arxiv

Visualizar la función zeta de Riemann es muy difícil porque, como toda función compleja de variable compleja, es una hipersuperficie en una espacio de cuatro dimensiones. Hay que conformarse con visualizar su módulo, su fase o sus partes real e imaginaria. Pero hay otras opciones más sesudas (por no decir, «inteligentes»). Podemos interpretar los valores de la función zeta como las dos componentes de un campo eléctrico y visualizar el potencial eléctrico que lo caracteriza. ¿Cómo es el campo eléctrico cerca de los ceros no triviales de la función zeta en la línea crítica?

Me ha gustado esta analogía que nos proponen Guilherme França, André LeClair, «A theory for the zeros of Riemann ζ and other L-functions,» arXiv:1407.4358 [math.NT], 16 Jul 2014. Esta entrada participa Edición 5.9: Emma Castelnuovo del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Que no te aburran las M@TES.

La función zeta de Riemann \zeta(z)   tiene un polo en z=1   que se puede eliminar fácilmente multiplicando por (1-z). Definamos la función entera \chi (z)   como

\displaystyle\xi (z)\equiv\frac{1}{2}z(z-1)\chi (z)=\frac{1}{2}z(z-1)\pi^{-z/2}\Gamma(z/2)\zeta(z),

 

que es simétrica bajo z\to{1-z}, es decir, satisface \xi (z)=\xi(1-z). Las partes real e imaginaria de \xi(z)=u(x,y)+\mbox{i}\,v(x,y)   cumplen con las ecuaciones de Cauchy-Riemann

\displaystyle\frac{\partial\,u}{\partial\,x}=\frac{\partial\,v}{\partial\,y},\qquad\frac{\partial\,u}{\partial\,y}=-\frac{\partial\,v}{\partial\,x}.

 

Por tanto, las partes real e imaginaria de \xi(z)   son funciones armónicas, es decir, soluciones de la ecuación de Laplace, 

\displaystyle{\Delta}u={\nabla^2}u=\frac{\partial^2\,u}{\partial\,x^2}+\frac{\partial^2\,u}{\partial\,y^2}=0,

e ídem

\displaystyle{\Delta}v={\nabla^2}v=\frac{\partial^2\,v}{\partial\,x^2}+\frac{\partial^2\,v}{\partial\,y^2}=0.

 

La curvas de nivel de u(x,y)   y v(x,y)   en el plano (x,y)   corresponden a valores constantes de dichas funciones. La línea crítica v=0   es una línea de contorno ya que \xi   es real en ella, luego \vec{\nabla}u\cdot\vec{\nabla}v=0. Por ello las curvas de nivel de u   y v   son perpendiculares en los puntos donde tienen una intersección. 

Los ceros de la función zeta de Riemann cumplen u=0  y v=0, luego son puntos donde dichas curvas de nivel tienen una intersección, como ilustra la figura que abre esta entrada.

La visualización gráfica de la función zeta de Riemann mediante campos electrostáticos no sólo tiene un uso en visualización, también puede ser  usada para estudiar sus propiedades. No quiero ir más lejos en esta entrada. Recomiendo a los interesados en más detalles consultar el artículo de França y LeClair.



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