La historia de los números de Catalan

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La ley de la eponimia de Stigler (1980) afirma que “ningún descubrimiento científico recibe el nombre de quien lo descubrió en primer lugar.” El matemático belga Eugène Charles Catalan (1814-1894) no fue el descubridor de los números de Catalan. Se llamaron números de Segner o números de Euler–Segner hasta 1901, cuando Eugen Netto (1848–1919) los renombró en el capítulo sobre el trabajo de Catalan de su libro “Lehrbuch der Combinatorik.”

Sin embargo, el nombre “números de Catalan” no se popularizó y generalizó hasta 1968, gracias al famoso libro “Combinatorial Identities” de John Riordan (1903-1988). El nombre lo usó Henry Gould en 1971 en su completa bibliografía sobre estos números y también en 1973 Neil Sloane en su libro “A Handbook of Integer Sequences.” Todo el mundo pareció olvidar que siempre se llamaron números de Euler–Segner.

Nos cuenta esta historia Igor Pak, “History of Catalan numbers,” arXiv:1408.5711 [math.HO]. Esta entrada participa Edición 5.9: Emma Castelnuovo del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Que no te aburran las M@TES.

Los números de Catalan fueron introducidos en 1751 por Leonhard Euler (1707-1783) que se lo comunicó por carta (que se conserva) a Christian Goldbach (1690-1764). Euler no logró demostrar su fórmula hasta 1759 gracias a su asistente Johann Andreas von Segner (1704-1777). Por ello, durante mucho tiempo los números de Catalan se llamaron números de Euler–Segner.

Sin embargo, la primera aparición histórica de los números de Catalan fue en la matemática del lejano oriente. Luo Jianjin descubrió en 1988 que los números de Catalan fueron introducidos por primera vez por el matemático chino Ming Antu (c.1692-c.1763), nacido en Mongolia, en su libro “Quick Methods for Accurate Values of Circle Segments” (escrito en la década de los 1730 y publicado de forma póstuma en 1839).

En su trabajo original de 1751, Euler definió los números de Catalan C_n como el número de triangulaciones de un polígono de (n+2) lados. Euler calculó a mano los ocho primeros números de Catalan, una labor de chinos, ya que C_8=1430. Gracias a ello sugirió la fórmula (correcta)

\displaystyle C_{n-2}\,=\,\frac{2\cdot 6\cdot 10\cdots (4n-10)}{2\cdot 3\cdot 4\cdots (n-1)},

y su función generatriz

\displaystyle A(x)\,=\,\frac{1-2x-\sqrt{1-4x}}{2x^2}\,=\,\sum_{n=0}^{\infty}C_{n+1}x^n\,=\,1+2x+5x^2+14x^3+\cdots.

En 1758 Euler le propuso a Segner el problema de contar las triangulaciones de polígonos, pero sólo le mostró el valor de los siete primeros números de Catalan. Segner descubrió la siguiente fórmula de recurrencia

\displaystyle C_{n+1}\,=\,C_0\,C_n+C_1\,C_{n-1}+C_2\,C_{n-2}+\cdots+C_n\,C_0,

que le permitió calcular los primeros 18 números de Catalan. Gracias a esta fórmula de recurrencia, Euler demostró su fórmula de tipo producto y calculó los primeros 23 números de Catalan.

Varios colegas de Euler trabajaron sobre los números de Catalan. Como el ruso Semën Kirillovich Kotelnikow (1723-1806) en 1766 y el suizo Nicolas Fuss (1755-1826) en 1795 (que introdujo los ahora llamados números de Fuss–Catalan generalizando la fórmula de Segner).

En 1838 el francés Joseph Liouville (1809-1882), editor del Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, retó a los matemáticos franceses a demostrar de forma sencilla las fórmulas de Euler y Segner. El francés Gabriel Lamé (1795-1870) lo logró ese mismo año. Inspirado por este trabajo, en 1738, un belga estudiante de Liouville llamado Eugène logró obtener la fórmula que aparece en la figura que abre esta entrada, la que le llevó a la gloria (en la actualidad).

Si quieres saber más sobre la historia de los números de Catalan hasta la actualidad, disfruta del artículo de Igor Pak (arXiv:1408.5711).

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