Energía cinética negativa y efecto túnel cuántico

Dibujo20150225 quantum tunneling - anderson institute

El efecto túnel se usa para ilustrar la diferencia entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica. Una partícula cuántica puede atravesar una barrera de potencial imposible de atravesar para una partícula clásica. Un fenómeno parajódico, en apariencia, cuando queremos localizar la partícula dentro de la barrera, o cuando queremos determinar la energía de la partícula mientras está dentro de la barrera. El principio de indeterminación de Heisenberg garantiza que la paradoja no existe. Al observar la partícula en la región donde se encuentra la barrera se obtendrá un valor de la energía superior a la de la barrera de potencial.

Muchos libros de texto discuten este problema. Por ejemplo, la sección 97, “The apparent paradox of the ‘tunnel effect'” en las páginas 334-335 del libro de D. I. Blokhinstsev, “Quantum Mechanics,” Reidel, 1964. Sin embargo, hay algunos físicos que aún no lo tienen del todo claro. Un ejemplo reciente es mi amigo Álvaro Peralta, “La conservación de la energía en Mecánica Cuántica (o no),” Cuentos Cuánticos, 09 Feb 2015. Usaré algunas figuras de su entrada.

Dibujo20150225 figure 0 - alvaro peralta - cuentos-cuanticos com

La función de onda cuántica Ψ(x) describe la probabilidad |Ψ(x)|² de la localizar la partícula con masa m y enegía Ei en la posición x. La barrera de potencial con altura Eb>Ei tiene una anchura d (supongamos que la barrera está en 0<x<d). En mecánica cuántica hay una probabilidad mayor de cero de localizar la partícula más allá de la barrera, es decir, |Ψ(x)|²>0 para x>d.

La probabilidad de atravesar la barrera es muy pequeña. Omito el cálculo matemático de los coeficientes de reflexión R y transmisión T, tales que R+T=1. El resultado es que el coeficiente de transmisión T ~ exp(–2 √(2m(Eb–Ei))d/ℏ) > 0, cuando la mecánica clásica predice T=0 para Eb>Ei. Por supuesto, el efecto túnel es observable sólo cuando T no es despreciable, o sea, cuando 2 √(2m(Eb–Ei))d/ℏ ~ 1. Para un electrón y una diferencia de potencial Eb–Ei ~ 10 eV se requiere d ~ 10–10 m = 0,1 nm para T ~ 1/e ~ 1/3.

Dibujo20150225 figure 1 - alvaro peralta - cuentos-cuanticos com

En mecánica cuántica la energía Ei de la partícula se puede separar en energía cinética Ek y energía potencial U, siendo Ei = Ek + U. ¿Qué energía tiene la partícula en la barrera de potencial? Álvaro Peralta dice que “tras darle un par de vueltas tendríamos que concluir, o al menos eso creo yo, que la energía es Eb.” Algún lector puede pensar que como para 0<x<d se tiene U=Eb>Ei, entonces Ek<0, es decir, la energía cinética es negativa. Algo imposible pues la velocidad (o momento lineal) es una magnitud real y no puede tomar un valor imaginario puro. ¿Paradójico? Como muchos libros de texto aclaran, esta conclusión es incorrecta.

La solución es el principio de indeterminación de Heisenberg, Δx Δp ≥ ℏ. Recuerda que la posición media <x> de la partícula viene dada por Δx = x – <x>, con <Δx>=0 y varianza <Δx²> = <x²> – <x>² (la desviación típica es igual a la raíz cuadrada de la varianza, es decir, σ(x) = √<Δx²>). Y lo mismo para el momento, lo que implica que las varianzas estadísticas en la medida reiterada de dichas magnitudes cumple <Δx²><Δp²> ≥ ℏ²/4 (expresión fácil de derivar). Como localizar la partícula en la región de la barrera de potencial requiere que Δx < d, tenemos que Δp ≥ ℏ/d. Por tanto, la varianza del momento <Δp²> ≥ ℏ²/(4 <Δx²>) > ℏ²/(4 d²).

Dibujo20150225 figure 2 - alvaro peralta - cuentos-cuanticos com

La fórmula Ei = Ek(p) + U(x) asume la determinación simultánea de la posición, U(x), y de la velocidad, Ek(p) = p²/(2m). Ya hemos dicho que el efecto túnel es observable cuando 2 √(2m(Eb–Ei))d/ℏ ~ 1, es decir, 2 √(2m(Eb–Ei)) ~ ℏ/d. Por tanto, tenemos que <Δp²>/(2m) ≥ Eb–Ei, es decir, el cambio en la energía cinética de la partícula durante el proceso de medida es mayor que la diferencia entre la energía de la partícula y la altura de la barrera de potencial. Como en mecánica cuántica el proceso de medida altera las propiedades del objeto medido. La medida de la partícula que conduzca a su localización espacial en la región de la barrera de potencial implica tal cambio en su energía cinética que su energía total Ei>Eb. Toda partícula que se observe en la región de la barrera tendrá una energía total superior a la propia barrera. Sólo es posible observar una partícula con una energía total menor que la barrera a ambos lados (o bien x<0, o bien x>d).

Dibujo20150225 photon levels - brooks cole publishing

Imagina que quieres ver la partícula en la barrera de potencial usando fotones (haces de luz láser). Para localizar la partícula en una región de tamaño Δx tendrás que usar fotones con una longitud de onda λ < Δx. Para localizar la partícula en la barrera tendrás que usar fotones con λ < d/2 ~ ℏ/√(2m(Eb–Ei)). Elevando al cuadrado e introduciendo la frecuencia, λ=c/ν, tenemos ℏ²ν² > 2 m c² (Eb–Ei). Estamos usando mecánica cuántica no relativista, es decir, fotones con energía insuficiente para crear un par partícula-antipartícula, es decir, ℏν < 2 m c². Por tanto, el fotón debe tener una energía ℏν > Eb–Ei, es decir, para localizar la partícula en la región de la barrera tengo que usar un fotón que le cede una energía suficiente para que adquiera una energía total por encima de la barrera. En la región de la barrera de potencial es imposible localizar una partícula con una energía total menor que su altura.

En resumen, el principio de indeterminación de Heisenberg garantiza que cualquier intento de localizar la partícula en la región de la barrera requiere dotar a la partícula de una energía superior a la propia barrera. Sólo puedo localizar la partícula con una energía total menor que la altura de la barrera a ambos lados de la barrera. La paradoja del efecto túnel es solo aparente.

3 Comentarios

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Álvaro PeraltaÁlvaro Peralta

Hola Francis,

No estoy de acuerdo con la interpretación que haces de la medida para la parte de la función de onda que está por debajo de la barrera. Tú dices:
“es decir, para localizar la partícula en la región de la barrera tengo que usar un fotón que le cede una energía suficiente para que adquiera una energía total por encima de la barrera. En la región de la barrera de potencial es imposible localizar una partícula con una energía total menor que su altura.”

De acuerdo, nosotros irradiamos con fotones de energía conocida y medimos la partícula (en realidad medimos la parte de la función de onda que está por debajo de la barrera, pero mantengamos esta terminología por simplicidad) con una energía mayor que la barrera digamos E. Si conozco con precisión la energía de mis fotones Eph, nadie me impide hacer E-Eph y obtener la energía de la parte de la función de onda que quiero medir. De hecho esto se hace exactamente así en espectroscopía fotoelectrónica para determinar la estructura de estados y la dinámica de moléculas. ¿Cuanto vale E-Eph? ¿Es E-Eph<Eb?

Creo que el problema es bastante más profundo, y estriba en el hecho de si es posible medir exclusivamente, y aquí está en mi opinión la clave, la parte de la función de onda que está por debajo de la barrera. Lo he pensado muchas veces y no se me ocurre un esquema sencillo para medir algo así.

Un saludo!

Álvaro

PD: Me alegra mucho que un post mío haya hecho de "trigger" de tan interesantes discusiones! :-)

kurodo77kurodo77

Lo que te voy a proponer Alvaro NO ES UNA BROMA. Bueno: haz dicho en muchos posts tanto del post original(de cuentos cuánticos) como en este que al parecer con tu proceso se gana energía. Si eres un físico serio(que por tus galones parece que lo eres) entonces se vale proponerte lo siguiente: ¿podrías construir una máquina de movimiento perpetuo?(o de algún tipo de perpetuo). Se valdría algo muy simple y que pudieras probar en el laboratorio rápidamente.
Total: si es verdad que ganas energía entonces no debe resultar imposible diseñar una(y si funciona mi enhorabuena por lo que significa). Pero si después resulta y pasa que no ocurre que funcione, experimentalmente tendrás una prueba de que no se viola la conservación de la energía(al menos el misterio ya no es que se violen leyes físicas) y ahí si a resolver el problema.
Lo que te digo no es necesario que lo hagas si mi argumento de construir el perpetuo te convence con toda seguridad que no se trata de una violación de la conservación de la energía sino que hay que buscar las habas en otro lado. Un saludo.

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