Reseña: “Una nueva manera de ver el mundo. La geometría fractal” por María Isabel Binimelis

Dibujo20150812 book cover - nueva manera ver mundo - geom fractal - binimelis Hace veinticinco años las únicas figuras a todo color en las revistas de matemática aplicada eran fractales. Imágenes de gran belleza, aunque de poca utilidad práctica. Muchos jóvenes informáticos desarrollábamos programas para dibujar diferentes fractales y explorar su belleza. El libro de María Isabel Binimelis Bassa, “Una nueva manera de ver el mundo. La geometría fractal,” RBA (2010) [142 pp.], es un buen resumen para legos. Por cierto, yo lo he leído en francés.

Dibujo20150812 author - nueva manera ver mundo - geom fractal - binimelis El libro está dividido en cuatro capítulos. En el primero, “La evolución de la geometría: Mandelbrot contra Euclides” (pp. 9-49), usa el hilo de la historia para hablar de la evolución de la geometría. Tras presentar los sólidos platónicos, la estructura fractal de las ciudades y la del lenguaje, se pasa a Euclides y sus famosos “Elementos” (c. 300 a.C.). La perspectiva en la pintura del Renacimiento nos lleva a la geometría proyectiva y a las cónicas como proyecciones en un espejo colocado en perpendicular a un círculo (“piscina circular”). De Desargues, Monge y Poncelet pasamos a las geometrías no-euclídeas, Gauss y Riemann.

La geometría absoluta, la topología y el programa de Erlangen de Klein nos llevan al movimiento browniano de un grano de polen (en mi blog “Felix Klein, el programa Erlangen, fractales, Mandelbrot y los métodos numéricos en el plano complejo,” LCMF, 07 Jul 2008). Einstein (1905) y Perrin (1912) son los padres del salto que nos lleva a Benoît Mandelbrot (1924–2010); tras mencionar varias de sus obras se comenta que es difícil definir de forma rigurosa lo que es un fractal, aunque la autora lo intenta en el último capítulo (en mi blog “Benoît Mandelbrot (1924-2010): Fractales y el arte de hacer matemáticas visualmente bellas,” LCMF, 17 Oct 2012). Por cierto, yo leí el libro de Mandelbrot, “The Fractal Geometry of Nature,” W.H. Freeman (1983) en el año 1992, justo después de disfrutar de la belleza (y matemáticas) de Heinz-Otto Peitgen, Peter H. Richter, “The Beauty of Fractals: Images of Complex Dynamical Systems,” Springer (1986). Varias de sus espectaculares imágenes acabaron serigrafiadas en camisetas para los amigos (uno de ellos tenía una empresa de serigrafía).

Dibujo20150812 two book covers on fractals - nueva manera ver mundo - geom fractal - binimelis

Tras un primer capítulo sobre la historia de la geometría, sin casi mencionar a los fractales hasta el final, quizás sugiriendo que son la evolución final de la geometría (algo con lo que no estoy de acuerdo), el segundo capítulo, “La dimensión desconocida: Cartografía del universo” (pp. 51-93), introduce el concepto de dimensión geométrica. Se menciona el trabajo de Lenstra que completó una obra de Escher en el año 2000, el trabajo de Coxeter sobre el disco de Poincaré y la geometría hiperbólica. ¿Cómo medir la longitud de una curva? Un problema de gran interés práctico en geografía, que se ilustra con las fronteras entre España y Portugal, entre Holanda y Bélgica, y con el perímetro de la isla de Mallorca. Como es bien conocido, la medida depende de la escala usada (a menor escala la longitud de una curva irregular es mayor).

Se introduce de forma intuitiva, usando figuras, la definición de la dimensión de Hausdorff–Besicovitch: se recubre la curva con círculos abiertos (en el espacio tridimensional serían esferas) y entre todos los recubrimientos posibles se considera el ínfimo formado por círculos de diámetro menor o igual que cierta escala; la dimensión se define como el límite cuando dicha escala tiende a cero. Esta dimensión puede dar lugar a un número (real) no entero, pero también puede ser un entero (en rigor, un número natural). La curva de Peano (1890) se presenta para ilustrar cómo se puede recubrir todo el plano con una curva de dimensión dos, e incluso todo el espacio con una de dimensión tres, usando la curva de Hilbert (1891). Hay muchos ejemplos de curvas fractales; Binimelis presenta la curva de Koch (1904) y calcula su dimensión fractal. También se ilustran el conjunto de Cantor y el triángulo de Sierpinsky. Lo que nos lleva a una definición intuitiva de la dimensión de Minkowski–Bouligand (más conocida como box-counting). Se finaliza con la curva del dragón de Lévy, que aparece en la obra de Michael Crichton, “Jurassic Park” (1990), así como la posible aplicación de los fractales en medicina (el análisis fractal del ritmo cardíaco).

Dibujo20150812 devil lenses - osa - optics express

“Sobre dálmatas y dragones. Fractales lineales” (pp. 95-107), el capítulo tres, introduce concepto de autosemejanza y de funciones autosemejantes (self-similar). Definir funciones mediante series de Fourier permitió el descubrimiento de diversos monstruos, como la función de Wierstrass (1872) que es continua, según la definición de Cauchy (1823), pero no es diferenciable (no tiene derivada) en ningún punto. Un ejemplo similar ya lo introdujo Bolzano (1830), como nos recuerda María Isabel Binimelis. La función de Takagi (1903) nos lleva a la escalera del diablo de Cantor (1884), una función continua pero que no es absolutamente continua.

Dibujo20150812 devil lenses - diffractive optics group - upv es

Me agrada mucho que la autora dedique un recuadro a las lentillas del diablo que mi colega y amigo Juan A. Monsoriu (Universidad Politécnica de Valencia, España), junto a Walter D. Furlan, Genaro Saavedra y Fernando Giménez publicó en 2006, con gran eco mediático internacional. Sin embargo, me apena que no se les mencione en el libro con nombres y apellidos, ni que ni siquiera se mencione que se trata de un logro español. La empresa AJL Ophthalmic. S.A. ha desarrollo prototipos de lentillas intraoculares multifocales basados en estos modelos fractales. De hecho, en 2015 ya hay diez patentes en EEUU que citan en artículo “Devil’s Lenses,” Optics Express 15: 13858-13864, 2007, doi: 10.1364/OE.15.013858.

Dibujo20150812 colorful fractal - nueva manera ver mundo - geom fractal - binimelis

El cuarto y último capítulo, “El orden disfrazado” (pp. 109-135) es el primero que presenta la obra de Mandelbrot en todo su esplendor; basada en ideas previas de Julia (1893-1978) y de Fatou (1878-1929), el uso de ordenadores permite visualizar figuras autosemejantes de gran belleza (sobre todo si se colorean de forma adecuada). Tras introducir “los números complejos que no son complejos” (donde el segundo complejos significa complicados), se habla de iteraciones de punto fijo, zn+1=f(zn), presentando la famosa iteración zn+1=zn2+c. Para cada valor de la constante compleja c la región donde converge la iteración define un conjunto de Julia. El zoo de estos conjuntos es de gran belleza y el famoso conjunto de Mandelbrot es un mapa que permite clasificar estos conjuntos de Julia.

María Isabel aprovecha para mencionar algunos resultados recientes, como que la dimensión de la frontera del conjunto de Mandelbrot es dos (igual que la dimensión de su interior), a pesar de que su frontera fractal aparenta tener una dimensión menor; así lo demostró Shishikura (1991) para sorpresa de muchos matemáticos (Mitsuhiro Shishikura, “The Hausdorff dimension of the boundary of the Mandelbrot set and Julia sets,” Annals of Mathematics 147: 225–267, 1998, doi: 10.2307/121009, arXiv:math/9201282 [math.DS]). Llegado este punto es necesaria una definición. La autora propone varias posibilidades en las páginas 125 y 126, pero deja claro que para toda definición rigurosa hay algunos ejemplos de conjuntos geométricos que dejarían de ser fractales, aunque muchos los calificaríamos como tales (p.ej. si la definición afirma que un fractal debe tener dimensión no entera, entonces la frontera del conjunto de Mandelbrot dejaría de ser fractal al tener dimensión dos).

Dibujo20150812 scott russell - canal - ma hw ac uk

¿La Naturaleza es fractal? Obviamente, no, como mucho puede ser prefractal (de apariencia fractal a ciertas escalas, pero que deja de serlo a otras escalas por razones puramente físicas); en este blog puedes leer “II Carnaval de Matemáticas: La naturaleza prefractal de la Naturaleza,” LCMF, 10 Mar 2010. ¿Para qué sirve la geometría fractal? El caos determinista y los atractores extraños en dinámica no lineal (el famoso efecto mariposa) suelen ser la excusa habitual para destacar la importancia de los fractales (Binimelis cae en dicha trampa). Finaliza el libro de la manera más exótica posible, con una foto de la recreación del solitón hidrodinámico en el canal de Scott Russell, que se realizó el 12 de julio de 1995. Yo nunca hubiera imaginado que un libro de geometría fractal acabara hablando de integrabilidad y de teoría de solitones. Quizás Binimelis pretende escribir un nuevo libro sobre dicho tema.

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En resumen, un libro que está bien, pero que trata muy poco sobre geometría fractal (a pesar de su subtítulo). Hay infinidad de temas interesantes que se podrían haber discutido y que no aparecen en el libro. Puede que muchos lectores legos en la materia disfruten con el libro, pero quien ya sepa algo sobre fractales echará en falta muchísimas cosas. El primer capítulo es sin lugar a dudas el mejor de los cuatro y quizás la premura por finalizarlos a tiempo haya llevado a descuidar muchas cuestiones importantes. Ello no quita que te recomiende este libro, en general bien escrito y de lectura fácil (de hecho, ha sido traducido a varios idiomas, lo que es una muy buena señal).

13 Comentarios

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Francisco R. Villatoro

Suzudo, ARC tiene un diseño muy parecido a ITER, pero con un campo magnético un poco mayor (casi el doble). Su supuesto coste, 5560 millones de dólares, es como una cuarta parte que ITER. Dudo que logren la financiación. ¿Qué posibilidades de éxito? Ni idea. Adentrarte en un mundo desconocido (todavía no tenemos resultados de ITER y sólo usan información de JET) implica que es imprevisible lo que puede pasar. ARC (un DEMO en pequeño) debería estar diseñado a partir de los resultados de ITER. Usar la información de JET lo pone en el mismo lugar que ITER, o incluso en peor posición. Por ello, a priori, creo que no tendrá éxito si algún día llega a construirse.

Hasta ahora, el conocimiento actual sobre el plasma en fusión en un tokamak siempre ha sido insuficiente y ha sido necesario obtener más conocimiento. Pero algún día el conocimiento actual será definitivo y no será necesario más conocimiento para lograr la fusión. ¿Estamos ahora mismo en ese momento? En su caso ITER será un éxito instantáneo y un año después de su puesta en marcha se podrá diseñar DEMO con garantías de éxito. Y en su caso, los diseños actuales de DEMO y ARC también funcionarán (luego si se llega a construir ARC con el diseño actual también será un éxito). Pero no lo sabemos aún.

Saludos
Francis

SuzudoSuzudo

Muchísimas gracias

La frase

<>

Me ha puesto de buen humor, y el aparente lapsus (que entiendo como un estado de un emotivo optimismo con lo que ya se sabe ) aún más.

SuzudoSuzudo

NO ha salido publicada la frase! Perdón

Evidentemente esta frase:

Pero algún día el conocimiento -actual- [disponible] será definitivo y no será necesario más conocimiento para lograr la fusión.

GabrielGabriel

Curioso que la autora sea música de profesión, aunque con estudios avanzados en matemáticas. ¿Crees que se nota en el enfoque? Le puede dar un enfoque interesante a un libro de divulgacion.

Francisco R. Villatoro

Gabriel, no se nota en su enfoque. Hay mucha fractalidad en la música, como ilustra por ejemplo Douglas Hofstadter, “Gödel, Escher, Bach: un Eterno y Grácil Bucle,” (1979). Sin embargo, no aparece ninguna mención explícita en el libro de Binimelis.

CarlosCarlos

Cito un párrafo del artículo donde quizas quedo algo en el tintero:
“María Isabel aprovecha para mencionar algunos resultados recientes, como que la dimensión de la frontera del conjunto de Mandelbrot es dos (como su interior), a pesar de que su frontera fractal, como demostró Shishikura (1991) para sorpresa de muchos matemáticos …”
Faltó aclarar cual era la frontera fractal anterior, que creo se refiere a un número decimal menor de 2.

Amarashiki

Ciertamente, el Universo no parece fractal…Pero posiblemente sí es multifractal…El concepto de fractal, objeto invariante bajo una semejanza es algo popular, pero no lo es el de multifractal…Que quizás es algo más “realista”…

SuzudoSuzudo

Me parece que el universo “tiene estructuras” fractales en las mismas escalas de tamaño en que la relatividad general funciona bien (no insinúo que sean propiedades ligadas necesariamente) desde el tamaño de copos de nieve o granos de arena o células a la estructura a gran escala de este (galaxias cúmulos de galaxias, etc) pero en el mundo de lo pequeño y de la mecánica cuántica no tiene estructuras geométricas de ese tipo

En cuanto si él mismo lo es y no solo contiene estructuras fractales ¿el espacio-tiempo muestra estructuras geométricas de ese tipo para o no? ¿o hay cosas que sí y cosas que no?

AlbertAlbert

Interesado en el libro gracias a este post, he ido a la librería a comprarlo. Me han dicho que está agotado.
Saludos.

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