Reseña: “An Introduction to String Theory and D-Brane Dynamics” por Richard J. Szabo

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La teoría de cuerdas sin D-branas es como un bocadillo de chorizo solo con pan. El libro de Koji Hashimoto que reseñé la semana pasada presentaba las ideas físicas básicas, con muy pocas fórmulas matemáticas. Como sé que muchos se quedaron con las ganas de más, en esta ocasión he decidido reseñar un libro de texto (breve) sobre D-branas. El pequeño libro de Richard J. Szabo, “An Introduction to String Theory and D-Brane Dynamics (2nd Edition),” Imperial College Press (2011) [148 pp.] presenta las fórmulas básicas que describen las D-branas y su dinámica.

En mi opinión, este libro presenta el mínimo conjunto de fórmulas sobre las D-branas que hay que conocer. El libro omite sus aplicaciones (Szabo no tiene espacio en tan solo 150 páginas), lo que obligará a los buenos aficionados a profundizar (la bibliografía incluye los artículos más relevantes para hacerlo, aunque anteriores al año 2000). Aún así, este libro es muy recomendable como punto de partida antes de atacar monografías más extensas.

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El libro tiene ocho capítulos de contenido y un noveno capítulo con las soluciones a los ejercicios del resto de los capítulos. El capítulo 1, “A Brief History of String Theory” [pp. 1-8], es una breve introducción a la teoría de cuerdas/teoría M al hilo de su historia. Se deja claro que la teoría de cuerdas, como teoría cuántica de la gravedad, se aplica a la escala de Planck, distancias de 1,6 × 10−33 cm y energías de 1,2 × 1019 GeV/c2, por ello las cuerdas aún no han sido observadas. La teoría de la gravedad de Einstein se modifica a estas escalas, pero no lo hace a las escalas que podemos estudiar en los experimentos (salvo en el contexto de las ideas de los mundos brana y las dimensiones extra gigantes). La teoría de cuerdas permite incorporar el modelo estándar de la física de partículas en el marco de un modelo supersimétrico, por ello se buscan señales de la supersimetría a baja energía en el LHC.

La extensa red de dualidades entre las diferentes teorías de cuerdas y las diferentes teorías de supergravedad llevó a mediados de los 1990 a suponer la existencia de una teoría única y final llamada teoría U por Schwarz (1996) y teoría M por Witten (1995). Esta teoría admite objetos fundamentales no perturbativos llamados p-branas (p es el número de dimensiones espaciales), entre las que destacan las Dirichlet p-branes, o Dp-branas, introducidas por Dai, Leigh y Polchinski (1989). Gracias a las D-branas la teoría de cuerdas ha tenido grandes éxitos (entropía de los agujeros negros, correspondencia AdS/CFT y sus aplicaciones, mundos brana, etc.).

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El capítulo 2, “Classical String Theory” [pp. 9-20], introduce la física clásica de las partículas y de las cuerdas (bosónicas) relativistas. La tensión de la cuerda T tiene dimensiones de masa por unidad de longitud y está relacionada con la “longitud intrínseca” de la cuerda (y con la llamada “pendiente universal de Regge”). Se presenta la acción de Nambu–Goto [Goto (1971), Nambu (1974)] que incluye una raíz cuadrada, que se elimina introduciendo una métrica en la hoja del mundo (worldsheet) dando lugar a la acción de Polyakov [Polyakov (1981)].

Las simetrías de la acción incluyen la invariancia ante reparametrizaciones y la invariancia Weyl (o conforme). Gracias a ella se puede seleccionar un gauge conformemente plano (conformally flat) que simplifica los cálculos y permite resolver las ecuaciones de onda para las vibraciones de la cuerda. Se obtiene el desarrollo modal de dicha solución para condiciones de contorno de Neumann en coordenadas del cono de luz y se acaba mencionando la importancia de las transformaciones conformes. No se destaca la importancia de que el campo en la hoja del mundo correspodne a una teoría de campos conformes (conformal field theory) [Belavin, Polyakov, Zamolodchikov (1984); Ginsparg (1990)].

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La (segunda) cuantización de las cuerdas bosónicas se presenta en el capítulo 3, “Quantization of the Bosonic String” [pp. 21-38]. Un proceso sencillo (se trata de una teoría cuántica de campos en 1+1 dimensiones) y natural (en el formalismo de cuantización canónica) que nos lleva a los operadores de Virasoro. No se discute la solución de la anomalía conforme (la necesidad de usar un espaciotiempo de 26 dimensiones, aunque se sugiere que está relacionada con la función zeta de Riemann ζ(z), y sus valores ζ(0) = −1/2, y ζ(−1) = − 1/12). Se pasa directamente a presentar el espectro de las vibraciones de las cuerdas abiertas: un taquión de espín cero e inestable, y un bosón vectorial de espín uno, sin masa, con 24 estados de polarización; su interpretación como teoría gauge (Yang–Mills) nos lleva al grupo de simetría U(1), luego se trata de un “fotón” en un espaciotiempo de 26 dimensiones.

El espectro de las cuerdas cerradas también contiene un taquión de espín cero e inestable, así como un estado tensorial sin masa que sigue una representación irreducible del grupo pequeño SO(24); como hay cuerdas cerradas que vibran hacia la izquierda y hacia la derecha, se descompone el producto tensorial de las representaciones 24 en suma directa, 24 ⊗ 24 = S ⊕ A ⊕ 1, donde S corresponde a un tensor simétrico gµν, un bosón de espín dos, el gravitón, A corresponde a un tensor antisimétrico Bµν, el campo-B de Neveu–Schwarz, similar al electromagnetisomo, que tiene asociado una carga eléctica, y 1 corresponde a un campo escalar Φ, el dilatón.

El capítulo dos presenta una brevísima introducción a la teoría de perturbaciones para describir la interacción entre cuerdas usando el análogo cuerdístico a los diagramas de Feynman de la teoría cuántica de campos. La invariancia conforme permite calcular la matriz de scattering mediante integrales de camino sobre hojas del mundo no equivalentes entre sí, que están caracterizadas por un número finito de parámetros llamados “moduli” (el acoplamiento entre las cuerdas gs viene determinado de forma dinámica por el campo del dilatón Φ). Finaliza el capítulo con la idea de factores (cargas) de Chan–Paton que permiten asociar grados de libertad a los extremos de las cuerdas abiertas (por ejemplo, “quarks” y “anti-quarks”). Como están etiquetados con dos índices i,j = 1,…,N, los estados de las cuerdas |k;ij> presentan una simetría U(N), lo que permite interpretar el campo del “fotón” asociado a la cuerda como un campo de Yang-Mills (campo gauge no abeliano).

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Los tres primeros capítulos constituyen un curso (muy breve) de teoría de cuerdas bosónicas. El cuarto capítulo, “Superstrings” [pp. 39-57] es un curso (también muy breve) de teoría de supercuerdas. Hay dos maneras de introducir la supersimetría en la teoría de cuerdas, el formalismo RNS [Ramond (1971) y Neveu–Schwarz (1971)], que requiere una proyección GSO [Gliozzi, Scherk, Olive (1976)] y el formalismo GS en el cono de luz [Green, Schwarz (1981)], que evita usar dicha proyección. Szabo se decide por el formalismo RNS. Se obtienen una supercuerda libre cuando se añaden d espinores de Majorana sin masa ψµ(τ,σ) a la acción de Polyakov para una cuerda libre, que describe d campos escales sin masa xµ(τ,σ); el resultado son vibraciones transversales bosónicas y fermiónicas de la hoja del mundo de la supercuerda, que sostiene una teoría supersimétrica (1,1).

Sin detalles, Szabo afirma que las supercuerdas eliminan el taquión si se usa un espaciotiempo de diez dimensiones. El espectro fermiónico de las supercuerdas cerradas (condiciones de contorno periódicas para las coordenadas bosónicas) depende de la condición de contorno que se aplica al campo fermiónico, que puede ser la condición de Ramod (R) que da lugar a fermiones y la condición de Neveu–Schwarz (NS) que da lugar a bosones. Para las supercuerdas abiertas, que tienen dos extremos, se pueden usar condiciones de contorno NS–NS y R–R que dan lugar a bosones, y NS–R y R–NS que dan lugar a fermiones, como muestra la tabla de arriba.

Tras presentar brevemente la teoría de perturbaciones para las supercuerdas, básicamente el cálculo de un diagrama con un bucle (loop) usando la invarianza modular SL(2,Z), se discute la supersimetría local en la hoja del mundo para las supercuerdas (vía la estructura de espín en las condiciones de contorno de un toro). Se presenta una identidad de Jacobi para la función de partición como un “milagro” matemático de la teoría de cuerdas. Un resumen más breve de la teoría de supercuerdas es, casi, imposible.

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¿Por qué la teoría de supercuerdas requiere la existencia de las D-branas? Porque la teoría contiene cargas de Ramond–Ramond que no pueden ser asociadas a las supercuerdas y que la dualidad T exige que sean asociadas a un nuevo objeto fundamental. Así presenta las D-branas el capítulo 5, “Ramond–Ramond Charges and T-Duality” [pp. 59-73]. El capítulo considera a la par las D-branas en las teorías de cuerdas tipo II, es decir, tipo IIA (teoría no quiral con cargas R–R en la descomposición de Clebsh–Gordan 16s ⊗ 16c = [0] ⊕ [2] ⊕ [4]) y tipo IIB (teoría quiral con cargas R–R en la descomposición 16s ⊗ 16c = [1] ⊕ [3] ⊕ [5]). Los campos R–R en estas teorías son C(1) y C(3), junto a sus duales C(5) y C(7), para la teoría IIA, y C(0), C(2) y C(4), junto a sus duales C(6) y C(8), para la teoría IIB (el campo C(4) es autodual).

La dualidad T para las cuerdas cerradas compactificadas en un círculo conducen a una torre de estados de Kaluza–Klein. Se discute brevemente la implicación de la dualidad T en la existencia de una longitud mínima en el espaciotiempo. Para las cuerdas abiertas la dualidad T conduce a la transformación de las condiciones de contorno de Neumann en condiciones de contorno de Dirichlet, es decir, los extremos de las cuerdas definen hiperplanos con p dimensiones espaciales llamados Dp-branas. Concluye el capítulo ilustrándose cómo las dualidad T intercambia las teorías de supercuerdas IIA y IIB, incluyendo sus campos R–R y las correspondientes Dp-branas que los soportan.

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La conexión de las D-branas con los campos gauge del modelo estándar se presenta en el capítulo 6, “D-Branes and Gauge Theory” [pp. 75-90]. Las Dp-branas son hipersuperficies p+1 dimensionales en el espaciotiempo a la que están sujetas los extremos de las cuerdas abiertas; estas cuerdas tienen condiciones de contorno tipo Neumann en las coordenadas xµ de la hipersuperficie, µ = 0, 1, …, p, y tipo Dirichlet en las coordenadas transversales a la superficie, µ = p+1, …, 9. Las Dp-branas soportan los campos R–R con potenciales C(p+1), existiendo para la teoría IIA las que tienen p par, p = 0, 2, 4, 6, y 8, y para la teoría IIB, las que tienen p impar, p = −1, 1, 3, 5, 7, y 9. La D9-brana es todo el espaciotiempo 10D para las supercuerdas, la D1-brana es una D-cuerda y nuestro universo se puede interpretar como una D3-brana. La más curiosa es la Dp-brana con p = −1, que corresponde a una solución localizada en el tiempo (un D-instanton).

El espectro de las cuerdas abiertas contiene un campo vectorial sin masa Aµ tipo SO(8) con µ = 0, 1, …, 9. En presencia de una Dp-brana sus componentes se dividen en Aa, a = 0, 1, …, p, que corresponden a campos gauge U(1) en la Dp-brana, y en campos escalares Φm, m = p+1, …, 9, que representan las fluctuaciones de la posición de la Dp-brana en las 9−p dimensiones transversales a ella. Se pueden asociar índices de Chan–Paton a las cargas asociadas a los campos U(1) en la Dp-brana de tal forma que los estados de la cuerda se describen mediante |k;ij> con una masa mij. Los estados sin masa sólo aparecen para i=j, es decir, estados |k;ii>, que corresponden a los campos gauge Aa, que describen la Dp-brana como un “solitón” (un defecto topológico en el espaciotiempo), y a los campos escalares Φm, que describen la “forma” de la Dp-brana (cómo está “sumergida” en el espaciotiempo).

Cuando varias D-branas coinciden en la misma posición (coinciden sus posiciones, es decir, los estados clásicos asociados a los campos escalares Φm), los estados de las cuerdas con extremos en diferentes branas se describen mediante una teoría gauge U(N), para N branas. Los campos escalares Φm pueden actuar como campos de tipo Higgs que rompen la simetría U(N) en una simetría U(k), que involucra sólo k ≤ N branas superpuestas. Más aún, los campos gauge en las Dp-branas pueden incluir términos no lineales, siguiendo la acción de Born–Infeld (1934) en lugar de la del electromagnetismo (que es lineal). Esto refuerza la definición de las Dp-branas como “solitones” de la teoría que siguen una acción no lineal.

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La dinámica de las Dp-branas viene dada por la acción de Dirac–Born–Infeld [Leigh (1989)] que ilustra esta figura y que explica el capítulo 7, “D-Brane Dynamics” [pp. 91-107]. Esta acción es la generalización “natural” para el volumen del mundo de la Dp-brana de la acción de Nambu–Goto para la hoja del mundo de las cuerdas. La acción Dirac–Born–Infeld surge de forma “natural” cuando se exige que las D0-branas de la teoría IIA se comporten como partículas relativistas. Las Dp-branas son supersimétricas y se pueden interpretar como p-branas en una teoría de supergravedad con una métrica inducida en el volumen del mundo de la Dp-brana. Más aún, N Dp-branas coincidientes en una espaciotiempo plano describen una reducción a p+1 dimensiones de una teoría de Yang-Mills supersimétrica de tipo N=1 con grupo gauge U(N) en un espaciotiempo de 10 dimensiones.

Las Dp-branas son los objetos fundamentales que describen la (super)gravedad y las teorías gauge (supersimétricas) en teoría de cuerdas. El capítulo 7 finaliza con una discusión (breve) de las interacciones (fuerzas) entre D-branas. La discusión va enfocada a presentar las D-branas como los objetos que en las teorías de supercuerdas tipo II soportan las cargas R–R [Pochinski (1995)]. Finaliza el capítulo mostrando que los estados de las D-branas son estados tipo BPS, por Bogomol’ny–Prasad–Sommerfeld [Figueroa–O’Farrill (2001)], es decir, preservan la mitad de las supersimetrías del espaciotiempo original (recuerda que las teorías de tipo II tienen dos supersimetrías y que las Dp-branas en estas teorías tienen una sola supersimetría).

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El último capítulo de este libro tan breve, “Ramond–Ramond Couplings of D-Branes” [pp. 109-117] presenta algunos temas avanzados, como las anomalías quirales en las D-branas, las acciones de Chern–Simons y la dinámica de las D-branas que se encuentran dentro del volumen del mundo de otras D-branas. Todo muy breve y dando paso al capítulo 9 que presenta las soluciones (resultado final) de todos los ejercicios del libro.

Como en todo libro de texto los ejercicios son fundamentales. Si bien los de los primeros capítulos son más asequibles, conforme avanzan los capítulos van adquiriendo dificultad y, al menos en mi caso, he tenido que recurrir en más de una ocasión a hacer trampa y ver la solución para usarla como guía. La bibliografía final es bastante completa aunque la mayoría son artículos técnicos clásicos (anteriores al año 2000) de difícil lectura para un principiante.

En resumen, un librito muy recomendable que muestra la gran riqueza de la dinámica de las D-branas y deja con ganas de más.


3 Comentarios

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planck

Si un profano en la materia “flipa” solo con las simetrías gauge del SM cuando hablamos de grupos como SO(32) o E8xE8, dimensiones compactificadas, D-branas, espacios de moduli, etc,etc ya el cerebro directamente explota 😀
Es cierto que la teoría de supercuerdas parece un enorme y abstracto edificio matemático accesible solo para unos pocos superdotados. Es cierto que los detalles son enormes y complejos pero las ideas básicas, los fundamentos genéricos no lo son y deberían ser comprensibles para cualquiera con unos mínimos conocimientos de cuántica, relatividad y QFT.
Una de las cosas que deberíamos de empezar a ver como “naturales” es el tema de las dimensiones extra o “dimensiones ocultas”. Por ejemplo, el grupo SU(2) es ampliamente utilizado para explicar la fuerza débil del SM y para explicar el spin de las partículas. Este grupo es el grupo de simetrías de una esfera tridimensional pero con una “pequeña” peculiaridad: hay que dar 2 giros completos (720º) para volver al punto inicial ¿que cojo… de espacio-tiempo es este? El “giro” de las partículas también se realiza en este extraño espacio. Lo más socorrido es decir que este espacio es solo un espacio matemático sin existencia real, sin embargo, el spin de las partículas y sus “extrañas” propiedades es muy real. Podemos considerar este espacio como un grado de libertad extra que sienten algunas partículas pero ¿no es esto equivalente a una “nueva dimensión”?. Del grupo SU(3) de la fuerza fuerte y sus 8 dimensiones ya ni hablamos. ¿Por que no nos parece extraño hablar de las extra-dimensiones de los grupos gauge dentro del SM y nos parece casi ridículo hablar de las 10 dimensiones de la teoría de cuerdas? Yo pienso que las matemáticas nos indican claramente que hay algo más que las 3+1 dimensiones ordinarias que detectamos con nuestros sentidos, podemos llamarlos espacios matemáticos, grados de libertad extra o el lado oscuro de la fuerza pero su existencia parece fuera de toda duda. De hecho, cada vez que usamos los números complejos estamos añadiendo una “nueva dimensión matemática”. Ni siquiera conocemos la topología de nuestro Universo, esta podría tener una forma no trivial.
Por supuesto, la Teoría de cuerdas debe hacer predicciones comprobables para ser considerada una teoría física pero los indicios parecen apuntar a una realidad del “landscape” y la inmensa cantidad de posibilidades para el vacío de cuerdas supone un inmenso reto para los físicos y matemáticos. Quizás el landscape es “real”, quizás nuestro Universo es un Multiverso (como nos indica claramente la teoría de la inflación) y el landscape representa el inmenso abanico de Universos posibles, Universos sin estrellas ni planetas, Universos sin seres conscientes capaces de plantearse e incluso comprobar empíricamente su existencia. ¿Ciencia ficción o ciencia real?

kurodo77kurodo77

Groove: la teoría de cuerdas no es física(matemáticas si que son).

Es un hecho conocido que no hay experimentos que puedan verificar o refutar cuerdas(y que los que algunos plantean para verificarlos son impracticables). Así que si a mi me dicen que me hablan de física cuando me hablan de cuerdas pues va a ser que no. Me hablan de matemáticas y de filosofía pero no de física(por muy bonito que parezcan la consistencia matemática, los acoplos y otras chorradas).

Así que yo no veo porque el lamento de los críticos a que sea una teoría totalizadora: es normal en cualquier nueva metafísica neoplatonista – las Formas de Platón y las cuerdas se hallan fuera del espacio y el tiempo usuales, y no solo eso, el cambio que plantea Platón que significaba que las copias de las Formas originales se iban degenerando ahora se ha reemplazado por la entropía que lleva al universo a su final – que sea totalizadora(quiere saber todo de todo y resolver todo de todo).

Se tiene razón cuando se dice que la filosofía puede crear mundos de boniato y que imaginar estupideces es gratis. Estoy de acuerdo: las teorías pseudo-científicas no verificables experimentalmente no son otra cosa que eso e imaginar por ejemplo que las cuerdas nos enseñan cosas fundamentales del universo sin tener ni siquiera un experimento que al menos verifique que la teoría no es falsa es imaginar estupideces.

planck

Kurodo, si no sabes diferenciar entre Matemáticas y Filosofía entonces tienes un problema serio. Física y Matemáticas están completamente fusionadas ¿Podrias entender o describir el SM o la RG sin usar Matemáticas? Esa rama de la ciencia a la que tu denominas “chorradas” es el lenguaje en el que están “escritas” las leyes fundamentales de la naturaleza, si no las entiendes deberías estudiar cosas más “cotidianas” como Filosofía o arte dramático.
Como ya he dicho, es totalmente legítimo (imprescindible más bien) exigir pruebas experimentales a una teoría física. Pero conseguir alcanzar el santo grial de la Física es el reto más grande y complejo jamás emprendido y exige llevar al límite el poder de la herramienta más poderosa que dispone el ser humano para entender las leyes fundamentales: las Matemáticas. Ellas predijeron la existencia de “cosas muy raras” que en principio parecían “ilusiones matemáticas”: antipartículas, partículas con cargas fraccionarias (los quarks), bosones que hacían “oscilar” a los fermiones (el W y el Z), un bosón que daba masa a otras partículas… ahora los científicos tienen decenas de evidencias, pruebas parciales, indicios e incluso cálculos en ciertas situaciones físicas reales (ver mi comentario anterior) que apuntan a la existencia de objetos fundamentales de dimensión 1 y tamaño infinitesimal cuyas oscilaciones generan todas las partículas que conocemos. Esto suena extremadamente raro, pero solo un poco más que un objeto puntual de radio 0 que gira y crea un campo magnético (electrón), una partícula de carga fraccionaria, un espacio-tiempo de 4 dimensiones que se “deforma” en la presencia de energía, entrelazamiento, monopolos magnéticos, agujeros negros, la controversia con los fire-walls. ¿Todo esto te parece también pseudociencia? Por supuesto, el experimento decidirá pero lo que debe quedar claro es que la TC tiene mucho de Física (estudia, por ejemplo, la dinámica de las cuerdas) y no solo Matemáticas abstractas y es, con mucho, la que tiene más probabilidades de conseguir la ansiada unificación de las 4 fuerzas de la naturaleza.

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