Reseña: “Un primer curso en gravedad cuántica de lazos” por Gambini y Pullin

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“En estos tiempos modernos muchos de los desacuerdos acerca de la gravedad cuántica de lazos se ventilan en blogs y grupos de discusión de internet. En general no recomendamos que la gente aprenda de la controversia allí. Dado que representan opiniones no editadas de gente [y] son escritos relativamente rápido, en muchas circunstancias contienen afirmaciones muy inexactas.” Por ello, creo muy recomendable para los estudiantes de física y el resto de los físicos interesados un libro como el de Rodolfo Gambini y Jorge Pullin, “Un primer curso en gravedad cuántica de lazos,” Editorial Reverté (2012), traducción al español de “A First Course in Loop Quantum Gravity,” Oxford University Press (2011).

“La gravedad cuántica de lazos (en inglés loop quantum gravity) ha emergido como una posible avenida hacia la cuantización de la relatividad general. Hasta el momento actual tanto la teoría de cuerdas como la gravedad cuántica de lazos son paradigmas incompletos y como consecuencia han surgido controversias acerca de cual es el enfoque más promisorio. [Este] primer acercamiento al tema pensado específicamente para el nivel de licenciatura, enriquecido con ejercicios que ayudan a la reflexión y compresión. [No supone] conocimientos previos de relatividad general. El único material previo que requeriremos es conocimiento de la teoría electromagnética de Maxwell, un conocimiento mínimo de mecánica lagrangiana y hamiltoniana, relatividad especial y mecánica cuántica.”

El libro tiene 11 capítulos y se lee bastante bien salvo los últimos capítulos; más duros y omitiendo gran número de detalles. Para un español la gran dificultad es el dialecto latinoamericano usado (el nombre de muchos términos matemáticos y físicos no corresponde al habitual en España). Sin embargo, creo que no supondrá un problema grave para quienes quieran adentrarse en español en la gravedad cuántica de lazos (por supuesto, también se puede disfrutar de la versión en inglés). El libro puede considerarse como un punto de partida para profundizar más tarde con libros más completos y avanzados (aunque todos en inglés).

PS [04 Dic 2015]: Recomiendo leer el artículo de Jorge Pullin, “Gravedad cuántica de lazos,” Revista Española de Física 29: 40-44 (2015) [PDF gratis].

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Jorge Pullin (con la gaita) y Rodolfo Gambini (sentado), ambos en sus despachos.

El capítulo 1, “¿Por qué cuantizar la gravedad?” [pp. 13-20], nos recuerda que “la gravedad cuántica de lazos es un intento de lograr ese objetivo, pero es una teoría incompleta. [Aún] hoy no tenemos un solo experimento que requiera la gravedad cuántica para su explicación. Es quizá la primera vez en la historia de la física que uno está tratando de construir una teoría sin guía experimental.” Por supuesto, tenemos los problemas asociados a las singularidades en “los dos paradigmas principales de la física, la relatividad general y las teorías cuánticas de campos.” Pero solo tenemos “la estética, los experimentos pensados, la atractiva posibilidad de que la unificación resuelva los problemas de los paradigmas aislados.”

“Tanto la teoría de cuerdas como la gravedad cuántica de lazos son teorías incompletas. Algunas personas las ve como compitiendo entre ellas y por ende si una es correcta la otra no lo es. Nuestro punto de vista es más conservador, pues pensamos que podría ser que tanto la teoría de cuerdas como la gravedad cuántica de lazos son una cuantización de la gravedad en distintos lenguajes y resaltan distintos aspectos del problema en forma natural en los dos enfoques. Por el momento la situación no está decidida.”

Los capítulos del segundo al sexto introducen (o recuerdan) los conceptos básicos de relatividad y teoría cuántica de campos necesarios para el resto del libro. El capítulo 2, “Relatividad especial y electromagnetismo” [pp. 21-36], es un repaso muy esquemático de cinemática, mecánica y electrodinámica relativista. El capítulo 3, “Algunos elementos de relatividad general” [pp. 37-62], es un poco más avanzado; sin conocimientos previos puede ser difícil de comprender. La curvatura (sección 3.3) y las ecuaciones de Einstein y algunas de sus soluciones (sección 3.4) se introducen en pocas páginas. La formulación hamiltoniana de la relatividad general (sección 3.6) y la introducción de las tríadas (sección 3.7) son indispensables para seguir los capítulos siguientes. En mi opinión, quien no haya estudiado estos temas con anterioridad encontrará bastantes dificultades con la notación y el tratamiento (que difiere de la habitual en otros libros de texto).

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“Mecánica hamiltoniana incluyendo vínculos y campos” [pp. 63-78], el capítulo 4, presenta la formulación hamiltoniana de la mecánica bajo restricciones holónomas (vínculos) y el uso del método de multiplicadores de Lagrange. En pocas páginas se pasa a usarla en teoría de campos (sección 4.3): para la teoría de Maxwell, “la componente temporal del vector potencial, A0, [nunca] va acompañada de una derivada temporal, ∂0. Sólo derivadas espaciales de A0 aparecen. Entonces habíamos supuesto incorrectamente que era una variable de configuración. ¡Era un multiplicador de Lagrange!” La idea de vínculo suavizado (suave, diferenciable) y la invariancia de calibre (invariancia de gauge en inglés) nos llevan a un bonito ejemplo (sección 4.4), la “mecánica clásica [de] un reloj que atrasa en forma consistente y no-lineal, y que el tiempo T(t) que mide es una función conocida del tiempo t en el que vale la ley de Newton. ¿A quién le puede interesar estudiar la mécanica con un reloj malo? En relatividad general uno de hecho está enfrentado con una situación notablemente similar: la teoría es invariante bajo cambios arbitrarios de la variable temporal.”

El capítulo 5, “Teorías de Yang–Mills” [pp. 79-88], es necesario porque “la relatividad general escrita en términos de las variables de Ashtekar se parece a una teoría de Yang–Mills [basada] en su(2), [como] las interacciones débiles.” El álgebra de Lie su(2) corresponde a las matrices de Pauli. La introducción es breve y se remite varias veces al libro de John C. Baez y Javier P. Muniain, “Gauge Fields, Knots and Gravity,” World Scientific (1994). Se introduce el concepto de holonomía (sección 5.2) y se finaliza con la definición de la exponencial ordenada en camino, que generaliza el teorema de Stokes para la “circulación al caso de Yang–Mills. ¿Podemos relacionar la exponencial ordenada en camino a una integral en la superficie contenida por la curva? La respuesta es afirmativa, pero el resultado, llamado teorema de Stokes no abeliano es bastante complicado y no es fácil de usar. La exponencial ordenada en camino de un potencial vector a lo largo de una curva cerrada es llamada holonomía y es una matriz.”

La última sección del capítulo 5 puede resultar dura para la mayoría de los lectores, que tendrán que recurrir al libro de Baez y Muniain (1994) para detalles adicionales. Pero es muy importante ya que “la traza de la holonomía es mucho más que un ejemplo de observable. ¡Es una base para todo posible observable que sea solamente función de la conexión! Este resultado central será la base de la representación de lazos para teorías de calibre y gravedad.”

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La cuantización canónica de una teoría de campos se presenta de forma breve en el capítulo 6, “Mecánica cuántica y elementos de teoría de campos” [pp. 89-110]. “Dada una teoría clásica uno puede construir una versión cuántica a través de un procedimiento llamado cuantización canónica.” Se formula en forma hamiltoniana y “se elige un conjunto de cantidades físicas que es lo suficientemente grande como para describir la física de interés y las promueve a operadores auto-adjuntos actuando sobre un espacio de Hilbert.” Me permito destacar la nota a pie de página: “En general elegir distintas elecciones llevará a teorías inequivalentes, [resultado] conocido como teorema de Groenewold–van Hove (1946,1951).”

Tras cuantizar el oscilador armónico se aplica la idea de un campo escalar. Tras la representación de Schrödinger se discute “el cuadro de Heisenberg para apreciar mejor cómo los campos cuánticos operan en el espacio-tiempo.” Se introduce el concepto de propagador (“a veces llamado la función de correlación a dos puntos o la función de Green de dos puntos”). Los campos interactuantes (sección 6.3) se presentan con un campo escalar con potencial cuártico, incluyendo la fórmula de Dyson y los diagramas de Feynman. Su renormalizabilidad (sección 6.4) permite discutir “la gravedad donde la constante de acoplamiento tiene unidades. [La] teoría libre describe un campo tensorial simétrico sin masa y corresponde a partículas de espín 2 conocidas como gravitones. [La] única manera de cancelar las divergencias es agregar un número infinito de términos al lagrangiano desnudo. [Esos] términos son irrelevantes a bajas energías, así que [se] puede utilizar la gravedad cuántica perturbativa como una teoría efectiva a energías bajas.”

“La discusión [hecha] de este tema [es] muy superficial.” Gambini y Pullin recomiendan “una discusión más detallada pero aún muy legible de la gravedad cuántica perturbativa [en] el artículo de revisión” de Richard P. Woodard, “How far are we from the quantum theory of gravity?,” Reports on Progress in Physics 72: 126002 (2009), doi: 10.1088/0034-4885/72/12/126002, arXiv:0907.4238 [gr-qc]. Finaliza el capítulo 6 como una mención al “escenario de seguridad asintótica (asymptotic safety en inglés), introducido por primera vez por Weinberg (1979). [La] expectativa [de] que los infinitos contratérminos de alguna manera se puedan reabsorber en una redefinición de parámetros desnudos, la constante de Newton y la constante cosmológica. Trabajos recientes sobre el tema han significado un avance pero no hay un consenso general sobre si provee una teoría viable de la gravedad cuántica.”

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El tema central del libro se introduce en el capítulo 7, “Relatividad general en términos de las nuevas variables de Ashtekar” [pp. 111-124]. “En la acción de Einstein–Hilbert, si uno examina en detalle la expresión de la curvatura, concluye que la componente g00 de la métrica y las componentes g0i aparecen sin estar derivadas con respecto al tiempo. Por consiguiente son multiplicadores de Lagrange. [La] teoría por ende tiene seis grados de libertad de configuración (gij es una matriz simétrica de 3×3) y cuatro vínculos, lo que deja dos grados de libertad, exactamente como el caso de la teoría de Maxwell.” Por ello, “Ashtekar (1986) introdujo un nuevo conjunto de variables para describir la relatividad general en el lenguaje canónico. La mitad de [estas] variables son las tríadas densitizadas Eai (sección 3.7) y la otra mitad se comportan como una conexión de Yang–Mills SU(2), Aia (sección 5.1).”

“El espacio de fases (sin vínculos) de la relatividad general escrito en términos de las nuevas variables de Ashtekar coincide con el espacio sin vínculos de una teoría de Yang–Mills. De hecho uno puede considerar a la relatividad general como un tipo distinto de teoría de Yang–Mills, una que en adición a la ley de Gauss tiene cuatro vínculos extra y tiene un hamiltoniano nulo. Por supuesto hay diferencias profundas entre la dinámica de la relatividad general y la de las teorías de Yang–Mills.” El acoplamiento con la materia (sección 7.3) y su cuantización canónica (sección 7.4) nos lleva a la cuestión: “¿Qué pasa con el vínculo hamiltoniano? Allí uno se enfrenta a varios problemas. El primero es que dicho vínculo no genera una simple acción geométrica ni siquiera a nivel clásico. [Además] la presencia de dos tríadas causa problemas. [Se produce] una delta de Dirac [que] en teoría de campos cuántica usual con un espacio-tiempo de fondo fijo [se] trabaja [mediante] regularización. [Pero] este no es un buen procedimiento en el caso donde uno no tiene una geometría de fondo fija.”

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Los lazos y las redes de espín aparecen en el libro en el capítulo 8, “Representación de lazos de la relatividad general” [pp. 125-145]. “Trabajar en un espacio de lazos puede sonar extraño al principio, pero tiene propiedades muy naturales, particularmente en el contexto de la gravedad. Por ejemplo, es fácil resolver el vínculo de difeomorfismos en dicho espacio.” Por supuesto, “para atender el problema de la sobre-completitud de la base de lazos [hay] que hablar un poco acerca de representaciones de álgebras. [La] conexión que uno usa para describir la relatividad general es una conexión su(2). [Las] redes de espín de hecho constituyen una base para todas las funciones invariantes de calibre que minimiza el grado de sobre-completitud de la base de lazos.” Por supuesto, seis páginas no dan para mucho y los autores confiesan que han “omitido una gran cantidad de detalles matemáticos en [la] sección [8.1] para hacer el material accesible a nivel de la licenciatura.”

Los operadores geométricos en la representación de lazos (sección 8.2) permiten la introducción del parámetro de Barbero–Immirzi que “aparece explícitamente en la expresión del área. [Si] pudiéramos medir el cuanto de área podríamos determinar el valor del parámetro. [La] imagen que emerge es la de que las redes de espín acarrean ‘cuantos de área’ en sus líneas y ‘cuantos de volumen’ en sus intersecciones y estos se vuelven los ladrillos fundamentales para construir una geometría cuántica.” El vínculo hamiltonianao de Thiemann (sección 8.3) está “bien definido [lo que] es un resultado importante. Constituye una teoría bien definida de la gravedad cuántica. Sin infinitos. [Un] tratamiento no perturbativo que es finito y sin divergencias.” Pero hay que poner los pies sobre la tierra. “¿Debería ser esto causa de celebración? Sólo si la teoría captura la física correcta. No es meritorio, por lo menos desde el punto de vista físico, construir teorías que son matemáticamente consistentes pero vacías de contenido físico.”

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El capítulo 9, “Una aplicación: cosmología cuántica de lazos” [pp. 147- 158], discute si “la singularidad [primordial] es eliminada en cosmología cuántica de lazos. La presentación será difícil de seguir para quien no tenga buenos conocimientos de cosmología relativista. La “cuantización tradicional de Wheeler–de Witt” (sección 9.2) se deduce del vínculo hamiltoniano. “Una ecuación de evolución en [un] tiempo emergente [que permite] construir paquetes de onda picudos centrados en una solución clásica, digamos, para grandes volúmenes del universo, con incertezas pequeñas en el volumen y su variable canónica conjugada.” La presentación es parca en detalles y entender “el vínculo hamiltoniano” (sección 9.4) requerirá que el lector profundice en estos asuntos con libros más avanzados. Lo que quiero destacar es que “la teoría cuántica no tendrá como límite semiclásico la relatividad general, al menos en ciertos regímenes.”

“La teoría semiclásica” (sección 9.5) permite evitar estudiar la teoría cuántica completa y muestra que “si uno continúa hacia atrás el universo re-expande. Un ‘rebote’ ha reemplazado la gran explosión.” Se elimina la gran explosión (big bang) gracias a que “la teoría [tiene] valores mínimos para los cuantos de área y volumen negándose a contraerse por debajo de dichos mínimos.” Por supuesto, estas conclusiones de la teoría semiclásica “no [permiten] concluir seriamente de este análisis que la gran explosión se elimina. Sin embargo, es la conclusión del tratamiento cuántico completo. [La] gran explosión es reemplazada por un gran rebote y la cosmología comienza a expandirse de nuevo hacia el pasado.” Pero “uno debe ser cuidadoso. La cosmología cuántica de ciclos [o de lazos] no es automáticamente una aproximación a la teoría completa.” Gambini y Pullin recomiendan el artículo de Martin Bojowald, “Loop Quantum Cosmology,” Living Reviews in Relativity 11: 4 (2008), doi: 10.12942/lrr-2008-4, arXiv:gr-qc/0601085.

“Otros resultados” [pp. 159- 193] aparecen en el capítulo 10. Primero, la entropía de los agujeros negros (sección 10.1.1) y la radiación de Hawking (sección 10.1.2) en gravedad cuántica de lazos (sección 10.1.3) permiten determinar el valor del parámetro de Barbero–Immirzi. “El cálculo de la entropía ha sido repetido para un número de agujeros negros de distinto tipo y en todos los casos el mismo valor del parámetro de Barbero–Immirzi es necesario para reproducir el resultado de Bekenstein.” Segundo, el vínculo maestro (sección 10.2.1) y las discretizaciones uniformes (sección 10.2.2). Tercero, las espumas de espín (sección 10.3.1) y las integrales de camino (sección 10.3.2), que describen “la transición entre geometrías; dada una geometría inicial en una feta tridimensional del espacio-tiepmo y una final, ¿cuál es la probabilidad de transición?” Y cuarto, los posibles efectos observacionales (sección 10.4).

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El capítulo 10 será difícil de seguir para la mayoría de los lectores que no hayan leído/estudiado con anterioridad artículos sobre gravedad cuántica de lazos. Salvo quizás la sección 10.4.1, sobre la propuesta de Amelino-Camelia et al. (1998) que “efectos de la gravedad cuántica potencialmente podrían dejar una huella en observaciones de explosiones de rayos gama.” Se presenta un “efecto distinto del encontrado por Amelino-Camelia et al. en teoría de cuerdas. Allí no encontraron dependencia en la helicidad, [un] efecto posible en gravedad cuántica de lazos, pero de ninguna manera [una] certeza. Resulta que el efecto de hecho está experimentalmente descartado, no por observaciones de rayos gama pero por radioastronomía. [Hay] preguntas conceptuales [generadas] por el cálculo [que] no se entienden bien aún. La más obvia es que las ecuaciones efectivas corregidas de Maxwell que resultan no son invariantes Lorentz. Romper la invariancia Lorentz es muy peligroso para una teoría dado que puede rápidamente llevar a discrepancias experimentales grandes.”

Quizás lo que más me ha gustado del capítulo 10 es “el problema del tiempo” (sección 10.5). La interpretación de las constantes del movimiento que evolucionan usando probabilidades condicionales es muy sugerente. Un trabajo de Gamini et al. (2009) cuya “idea es construir probabilidades condicionales pero donde las cantidades que se usan son constantes del movimiento que evolucionan. [Por] supuesto uno está aún lejos de resolver el problema del tiempo en situaciones de interés, dado que se tienen que construir las constantes que evolucionan y eso en general no es posible en relatividad general en vacío.” Como “la mayor parte del material de este capítulo es sobre investigaciones actuales [en 2011] existen pocas introducciones pedagógicas, el único material para leer más que se pueden recomendar son las referencias citadas.”

El último capítulo, “Temas abiertos y controversias” [pp. 195-200], nos recuerda que “no hay muchas cosas que el estado del arte actual de la teoría permita calcular explícitamente.” Mucha controversia se dirige “a la versión específica del vínculo hamiltoniano propuesta por Thiemann y que [se discute] en este libro. Una objeción importante es el nivel de ambigüedad de la construcción. Por un lado, existen ambigüedades de orden de factores y existe la ambigüedad de qué tipo de lazo uno agrega al vértice para dar la curvatura y conexión que aparece en el vínculo hamiltoniano en el límite cuando la triangulación se encoge. [La] guía usual es usar naturalidad. [Pero] ¿son las ambigüedades en la definición del vínculo hamiltoniano similares a los infinitos contratérminos que uno necesita introducir en teoría de perturbaciones en el caso no renormalizable? La gente que trabaja en gravedad cuántica de lazos tienen a pensar que no lo son.” Como dice Ashtekar (2008) “el aspecto más insatisfactorio del estatus actual del programa es que el significado físico y las ramificaciones de estas ambigüedades está aún pobremente entendido.”

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“Otro punto que preocupa a la gente es ¿dónde están los infinitos que aparecen en la gravedad cuántica perturbativa reflejados en la gravedad cuántica de lazos? Todo parece ser finito. Desafortunadamente es difícil hacer contacto con la gravedad cuántica perturbativa partiendo de la teoría completa. Así que la respuesta a este punto no es conocida.” El libro concluye con sabias palabras: “Sólo el tiempo y más trabajo nos dirán si la gravedad cuántica de lazos es viable o no. En conjunto las muchas lecciones aprendidas [hacen] el esfuerzo muy valioso y atractivo [si importar] el éxito final en proveer una teoría de la gravedad cuántica.”

En resumen, un buen libro que al estar escrito en español acercará la gravedad cuántica de lazos a muchos lectores jóvenes que aún tienen miedo del inglés. Sin embargo, el libro, en su brevedad, pasa de puntillas por encima de muchos temas que requieren una discusión más profunda (aunque también técnicamente más complicada). En general me parece que Gambini y Pullin han alcanzado un buen equilibrio entre lo que se puede contar a nivel de licenciatura y lo que se debe contar para promover vocaciones hacia la gravedad cuántica de lazos. ¡Les deseo el máximo éxito en su empresa!


8 Comentarios

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planck

Reconozco que no he leído prácticamente nada sobre gravedad cuántica de lazos (LQG) y que mi opinión puede estar sesgada de tanto leer a Lubos pero creo que hay indicios sólidos que sitúan a la teoría de cuerdas (ST) en un plano muy superior al de LQG en cuanto a candidatos a constituir una teoría cuántica de la gravedad. Entre ellos los más importantes creo que son los siguientes:
1º) ST es una teoría que unifica las 4 fuerzas fundamentales mientras que LQG es solo una teoría cuántica de la gravedad.
2º) LQG viola una de las leyes más fundamentales de la naturaleza: la simetría Lorentz. Personalmente no entiendo como una teoría que pretende cuantizar la relatividad general (GR) puede violar el principio más fundamental sobre el que se construye la relatividad. ¿Alguien sabe explicar esto? Además si, como tengo entendido, la LQG establece marcos de referencia privilegiados destruye inmediatamente el pilar fundamental de la relatividad general.
3º) LQG no es capaz de reproducir la GR en el límite clásico. Esto es absolutamente básico.
4º) No reproduce (creo) el cálculo correcto para la entropía de los agujeros negros.
5º) La acción de Einstein-Hilbert que utiliza LQG es solo una acción efectiva a largas distancias que recibe correcciones a pequeñas escalas.
6º) LQG posee problemas de consistencia y de divergencias.
7º) LQG no permite calcular la matriz S. Se supone que toda teoría cuántica de la gravedad debe poder hacerlo.
8º) Experimentos con supernovas distantes parecen contradecir una de las predicciones fundamentales de LQG: la “granuralidad” del espacio-tiempo.
9º) LQG se queda al margen de todos los avances conseguidos en el entorno de las supercuerdas: dualidades, teoría M, principio holográfico, entropía de los BH, comportamiento del plasma quark-gluones, etc,etc
Por supuesto esto no quiere decir que no se deba seguir investigando en LQG, es posible, que en algunos aspectos pueda mostrarnos ciertas características de la gravedad cuántica y hay ciertos indicios recientes de acercamiento entre cuerdas y LQG.

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

Yo leí este libro hace ya casi un año :)

En lo personal encontré muy interesante la formulación de la relatividad general en el contexto de las variables de Ashtekar. Creo que estamos en una etapa en la física en la que hay bastantes “evidencias” de que la métrica no es el objeto fundamental (tétradas, conexiones, emergencia dinámica por interacción de cuerdas, álgebras de clifford etc.) el problema con LQG es que a mi no me resultó tan convincente y satisfactorio (a nivel de experiencia) como estudiar cuerdas (se que es odioso leer a gente como yo siempre queriendo hablar de esta competencia donde como bien ha señalado Francis no existe).

A mi me generó desconfianza LQG pues (esto ya es en el libro de Rovelli)

1)primero al foliar el espaciotiempo usando la descomposición 3+1 es muy restrictivo.

2)Cuando se define la conexión de espín para la sección espacial donde vivirán las redes de espín el propio Rovelli señala que en principio esta conexión definirá un fibrado cuya fibra es SL(2,C) pero como este es no compacto y tiene representaciones irreducibles de dimensión infinita entonces se modifica introducciendo el parámetro de Barbero-Immirzi para reducir el grupo a SU(2) y poder desarrollar la teoría. Esto es un paso muy sutil pues el propio Gell-Mann ha señalado que el problema de fondo de la gravedad como teoría cuántica es que no sabemos cuantizar apropiadamente una teoría “gauge” basada en un grupo de lie no compacto he infinito dimensional (como lo es el de difeomorfismos del espaciotiempo).

Con esto quiero decir que al evadir este punto a mi siempre me quedó la incerteza de si realmente se está cuantizando lo que necesitamos… Creo que Molt argumenta algo parecido (y mil veces más astuto que lo que yo digo) para decir que LQG no considera los grados de libertad fundamentales de la gravedad.

Por cierto profundizando en los siempre interesantes comentarios de planck encontré estos enlaces:

http://motls.blogspot.mx/2004/10/obj...ravity.html

http://naukas.com/2011/08/08/graveda...d-cuantica/

¿Alguien sabe de artículos donde se hable de las relaciones LQG y cuerdas? yo jamás he leído sobre esto pero gracias a este fantástico blog sé que existe.

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

Un comentario sobre el parámetro de Barbero.

A mi me pareció realmente astuto el hecho de que en principio LQG se encuentra con el problema de tener digamos este parámetro indeterminado ¿Qué hacen al respecto? algo muy interesante:

Calculan la entropía del agujero negro y el resultado queda en términos del parámetro de Barbero, entonces fijan el parámetro de tal manera que la cuenta de exactamente el valor calculado por Bekeinstein y Hawking.

Creo intuir que se considera que es fundamental el cálculo de Hawking :) a mi me pareció un detalle curioso.

También a mi al menos (tal vez por ignorante) me perturba que tanto a cuerdas como a lazos les de la misma dependencia del área para la entropía del agujero negro

HMarxHMarx

“consideran el tiempo como un evento emergente en un universo que es atemporal. De ahí concluye que necesitamos sentirnos atados al tiempo como una parte de un sistema que evoluciona, los observadores de un universo eterno y atemporal están sujetos a un conjunto de posibilidades que no pueden trascender”
https://www.youtube.com/watch?v=4XEp...e&t=26

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