Una nueva superficie K3 inspirada en los números taxicab

Dibujo20151019 taxi 1729 tito eliatron sevilla

Los matemáticos estudian objetos que se descubren (o inventan) por caminos, a veces, muy intrincados. Se ha descubierto una nueva superficie K3 elíptica (con número de Picard 18) que ha sido llamada 1729. Supongo que ya conoces la historia del número de Hardy–Ramanujan, 1729, y su relación con un taxi (en su defecto consulta a Tito Eliatron Dixit). De hecho, 1729 es el segundo número taxicab Ta(2)=1729. Se llaman números taxicab Ta(n) a los que se pueden escribir como suma de dos cubos de n formas diferentes. Ramanujan descubrió este número tras encontrar un método para obtener las infinitas soluciones de la ecuación diofántica de Euler x³+y³=z³+w³ (en concreto 1729 = 1³+12³=9³+10³).

Si eres matemático te recomiendo consultar Ken Ono, Sarah Trebat-Leder, “The 1729 K3 Surface,” arXiv:1510.00735 [math.NT]. Yo me he enterado gracias a Luboš Motl, “K3 surface containing the 1729 yellow cab,” The Reference Frame, 19 Oct 2015, que se hace eco porque las superficies K3 (en general, las variedades K3) son importantes en teoría de cuerdas.

Esta entrada participa en la Edición 6.7: El punto del Carnaval de Matemáticas, alojado en el blog Matifutbol cuyo autor es Herminio López. Recuerda que puedes contribuir entre el 17 y el 25 de octubre de 2015.

No quiero entrar en muchos detalles técnicos, pero tampoco me puedo resistir a ofrecer algunos comentarios. La ecuación x³+y³=k es una curva elíptica sobre los números racionales (su forma de Weierstrass es y²=x³−432 k²). Una superficie K3 es una generalización bidimensional de una curva elíptica (en general, las variedades K3 son variedades algebraicas con fibrado canónico trivial). Tomando la ecuación x³+y³=m(t), se puede demostrar que la ecuación elíptica y²=x³−432 m(t)² tiene rango dos para todo t. Además, ecuación define una superficie K3 elíptica (en las variables x, y y t) con número de Picard 18. Para los detalles de la demostración te recomiendo consultar el artículo de Ono y Trebat-Leder.

Quizás no lo sepas, pero el número de Picard de una superficie K3 está entre 0 y 20. La superficie K3 llamada 1729 es importante porque se conocen muy pocas superficies K3 con alto número de Picard. Estas superficies se suelen descubrir usando un cociente con una curva C y en este caso dicha curva es altamente no trivial

y²−132 003 308 704 176 245 102 247 936 y = x³ − 7 550 778 520 501 689 214 254 602 155 146 485 718 479 954 847 046 041.

Parece casi imposible que algún matemático estudie este cociente salvo bajo la sombra de la inspiración de Ramanujan. El número 1729 es muy sugerente para muchos matemáticos. Por ello se estudian muchos objetos matemáticos relacionados con este número taxicab. Y gracias ello se ha estudiado la familia de curvas elípticas x³+y³=m(t) que ha permitido el descubrimiento de la nueva superficie K3.

Dibujo20151019 animated-quartic-reference-frame-lubos-motl

Las superficies K3 aparecen en teoría de cuerdas/teoría M gracias a la dualidad cuerda-cuerda (string-string duality), que relaciona entre sí dos teorías de cuerdas compactificadas de forma adecuada. Una teoría de cuerdas tipo IIB compactificada en una superficie K3 es dual a una teoría de cuerdas heterótica compactificada en un toro. Las compactificaciones toroidales son las preferidas de muchos expertos porque tienen la ventaja de que preservan todas las supersimetrías (del espaciotiempo sin compactificar). Además, son las compactificaciones más sencillas con esta propiedad. Por ello las variedades K3 han sido muy estudiadas en teoría de cuerdas.

Quizás una compactificación en la nueva superficie K3 llamada 1729, o en su superficie K3 especular vía la simetría del espejo (mirror simmetry), contenga física interesante que merezca la pena estudiar. Se ha conjeturado la existencia de superficies K3 de número de Picard 18 con propiedades interesantes. Quizás la superficie K3 llamada 1729 acabe siendo un objeto matemático con gran interés en física. Realmente es asombroso lo que dan de sí objetos matemáticos estudiados solo por su belleza, o por su relación con Ramanujan.

Los físicos que quieran profundizar en estas ideas pueden consultar César Gómez, “D-Brane Probes and Mirror Symmetry,” arXiv:hep-th/9612104, y Amit Giveon, David Kutasov, “Brane dynamics and gauge theory,” Rev. Mod. Phys. 71: 983 (1999), doi: 10.1103/RevModPhys.71.983.

4 Comentarios

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ShevekShevek

Curiosamente, el invariante j(E) de una curva elíptica tiene la siguiente expresión si ésta se encuentra en la forma de Weierstrasse:

j(E) = 1728 * (4a^3 / (4a^3 + 17b^2))

No es 1729 pero se parece muuuucho…

P. RobertP. Robert

El numéro 1728 tiene curiosmenta la misma importancia per los grupos de Lie finidos.

Francisco R. Villatoro

En Facebook, Carlos S. Alonso nos aclara lo siguiente:

“La superficie K3 no aparece en Teoría de Cuerdas gracias a dualidad alguna, es simplemente la solución más sencilla no trivial a una compactificación cuatro-dimensional de cualquiera de las Teorías de Cuerdas, por ejemplo, la Heterótica. Es decir, aparecieron en Teoría de Cuerdas mucho antes de que se conociera ninguna dualidad.

Depende un poco de lo que uno esté buscando, pero las compactificaciones toroidales no son las “más preferidas” porque preserven toda la supersimetría sino al contrario, son consideradas fenomenológicamente irrelevantes por eso mismo.

Por otro lado, la imagen que supuestamente representa el K3 no creo que de una buena idea, aunque sea sólo a nivel intuitivo, de lo que es una K3 surface, ya que toda K3 surface es simply connected (simplemente conexa) y el objeto de la imagen no parece serlo.”

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