Terence Tao demuestra la conjetura de la discrepancia de Erdős

Dibujo20151023 Erdos Tao photograph

El genial matemático Terence Tao (Universidad de California en Los Ángeles, EEUU), Medalla Fields en 2006 en el ICM de Madrid, publicó el pasado 17 de septiembre en arXiv una demostración de la conjetura de la discrepancia de Erdős (propuesta cerca de 1935 y publicada en 1957). Un problema sencillo de enunciar: para cualquier sucesión infinita de los números +1 y –1, siempre existe un conjunto finito de términos equidistantes cuya suma supera, en valor absoluto, cualquier cantidad previamente elegida, por grande que sea. Un problema rematadamente difícil de resolver.

Tao, que sigue siendo un niño a sus 40 años, conoció de niño a Paul Erdős (1913–1996). Ahora es el matemático más genial de la actualidad. Su trabajo sorprende a propios y a extraños. Su blog What’s New es todo un referente en la blogosfera. Junto con Timothy Gowers, Medalla Fields en 1998, promociona los proyectos PolyMath que usan la web para la resolución colectiva de problemas matemáticos. El problema de la discrepancia de Erdős fue atacado sin éxito por PolyMath5 en el año 2010. Gracias a dicho proyecto hoy contamos con una demostración.

La demostración está dividida en dos partes. En la primera se reduce el problema a la conjetura de Elliott, Terence Tao, “The Erdos discrepancy problem,” arXiv:1509.05363 [math.CO], y en la segunda se demuestra que es suficiente una versión promediada de dicha conjetura, gracias a la cual se culmina la deseada demostración, Terence Tao, “The logarithmically averaged Chowla and Elliott conjectures for two-point correlations,” arXiv:1509.05422 [math.NT].

Esta entrada es mi última participación en la Edición 6.7: El punto del Carnaval de Matemáticas, alojado en el blog Matifutbol cuyo autor es Herminio López. Recuerda que aún puedes contribuir antes del 25 de octubre de 2015.

Dibujo20151023 Terry Tao Credit Graeme Mitchell for The New York Times

Sea una sucesión infinita de números +1 y −1, como S = <–1,+1,+1,–1,+1,+1,–1,+1,+1,–1,+1,+1,–1,+1,+1,…> (dos +1 entre un –1). La idea es estudiar la suma de un conjunto de N números elegidos en S de forma que sus posiciones están separados por una distancia D. Por ejemplo, tomando N= 7 y D=4 en la sucesión S se obtendría –1+1+1–1+1+1–1 = +1, y tomando N=8 y D=2 en S se obtendría +1–1+1+1–1+1+1–1 = 2. El problema de la discrepancia de Erdos afirma que para todo entero positivo C, tan grande como queramos, existen números N y D tales que la suma es mayor que C. En el caso de S, si tomamos C=50, es fácil comprobar que para N=153 y D=2 se tiene una suma mayor de 50. El problema de Erdos afirma que esto ocurre para toda sucesión S que se pueda imaginar (tomando el valor absoluto de la suma). Fuente de este ejemplo, con idea de la demostración.

En 2010 el proyecto PolyMath5 tenía por objeto demostrar la conjetura de la discrepancia de Erdős. Intervinieron cientos de matemáticos, pero Tao fue quien ofreció la idea más prometedora hacia la solución, reducir el problema a la conjetura de Elliott. Sin embargo, nadie fue capaz de lograrlo. El proyecto acabó en fracaso, como nos resumió W. T. Gowers, “Erdős and Arithmetic Progressions,” arXiv:1509.03421 [math.CO].

El trabajo no quedó en agua de borrajas. La conjetura fue demostrada por ordenador en febrero de 2014, gracias a un software programado por Boris Konev y Alexei Lisitsa (ambos de Univ. Liverpool, Reino Unido). Donde el proyecto PolyMath5 fracasó, un ordenador venció. Boris Konev, Alexei Lisitsa, “A SAT Attack on the Erdos Discrepancy Conjecture,” arXiv:1402.2184 [cs.DM]; Boris Konev, Alexei Lisitsa, “Computer-Aided Proof of Erdos Discrepancy Properties,” arXiv:1405.3097 [cs.DM].

Pero mucha gente despotrica de las demostraciones matemáticas por ordenador. Lograr una demostración humanamente comprensible parecía algo imposible. Pero genios como Tao nunca cejan en sus proyectos. Espoleados por el proyecto PolyMath5, Kaisa Matomäki (Univ. Turku, Finlandia) y Maksym Radziwiłł (Univ. Rutgers, EEUU) lograron en febrero de 2015 un resultado clave hacia la demostración de la conjetura Chowla (Kaisa Matomäki, Maksym Radziwiłł, “Multiplicative functions in short intervals,” arXiv:1501.04585 [math.NT], y Kaisa Matomäki, Maksym Radziwiłł, “A note on the Liouville function in short intervals,” arXiv:1502.02374 [math.NT]). Gracias a dicho resultado, junto a Tao, lograron en marzo de 2015 una demostración de una versión promediada de la conjetura de Chowla (Kaisa Matomäki, Maksym Radziwiłł, Terence Tao, “An averaged form of Chowla’s conjecture,” arXiv:1503.05121 [math.NT]).

El trabajo de Matoäki y Radsiwill fue la pieza final del puzzle que necesitaba Tao para demostrar la conjetura de la discrepancia de Erdős. Quizás nadie daba un céntimo por ello. Pero la versión promediada de la conjetura de Chowla fue la chispa que llevó a una versión promediada de la conjetura de Elliot. Más aún, las ideas que estaban flotando en el ambiente durante el proyecto PolyMath5 empezaron a cuajar, dando como resultado final exitoso.

El proyecto PolyMath5 de 2010 ha sido completado por Tao en 2015. ¿Habría resuelto Tao el problema si no hubiera existido PolyMath5? ¿Habrían escrito su artículo Matoäki y Radsiwill sin la inspiración de PolyMath5? ¿Habrían trabajado Boris Konev y Alexei Lisitsa en este problema? ¡Y a quién le importa! Lo único que importa es que ya tenemos una demostración del problema de la discrepancia de Erdős que cualquier matemático puede entender (si consume las horas de estudio y esfuerzo que requiere).

Más información divulgativa en Christian Lawson-Perfect, “Terence Tao has solved the Erdős discrepancy problem!,” The Aperiodical, 18 Sep 2015; Tim Gowers, “EDP28 — problem solved by Terence Tao!,” Gowers’s Weblog, 20 Sep 2015. Y por supuesto puedes leer al propio Terry Tao, “The Erdos discrepancy problem via the Elliott conjecture,” What’s New, 11 Sep 2015; “The logarithmically averaged Chowla and Elliott conjectures for two-point correlations; the Erdos discrepancy problem,” What’s New, 18 Sep 2015; también te recomiendo “An averaged form of Chowla’s conjecture,” What’s New, 17 Mar 2015.

En español puedes leer a “Demostrada una antigua conjetura en teoría de números. Terence Tao resuelve el problema de la discrepancia de Erdös,” Investigación y Ciencia, 28 Sep 2015; “El matemático Terence Tao supera a un ordenador en la resolución de un problema matemático,” RT Actualidad, 26 Sep 2015;


3 Comentarios

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Robín

Aunque no soy matemático y tampoco quiero considerarme un científico -que no tengo suficiente formación, pero que creo además que es ya la hora de dejar de lado el foso artificial entre ciencia y arte; entre matemática y lenguaje; entre pensamiento general y universal y pensamiento científico- creo haber entendido, entre muy pocas otras cosas, que la longitud máxima de una sucesión de unos y de menos unos, cuya discrepancia no sea superior a 1; es de 11 términos. Es posible que yo haya entendido mal esta cuestión; pero si no es así, ¿Se puede demostrar la cosa de una manera no demasiado complicada? ¿ O tenemos que hacer un trabajo exhaustivo de comprobación caso por caso ?Thank you for your time (and space); waiting for an answer here.

Francisco R. Villatoro

Robín, las cuestiones que se pueden demostrar de forma sencilla y no demasiado complicada las logra demostrar el primer matemático que las ataca y en poco tiempo; las cuestiones que requieren muchas décadas de trabajo, realizado por cientos de matemáticos, nunca son cosas sencillas de demostrar y nunca tienen una demostración que no sea demasiado complicada.

Robín

Claro.
Gowers; nada menos que un medallista Fields; escribe en su blog : “”Siempre he sentido que este proyecto (poymath 5), aunque no resolvió el problema, tuvo un éxito distinto, porque al final de él, y no fui yo el único, entendía el problema mucho mejor y de una manera muy diferente””

La virtud de las conjeturas difíciles -aunque entendibles en prima o segunda instancia- de Erdos, que no es poca, es pues la de hacernos entender mejor las cosas.

Me estoy pregunto yo que si Erdos hubiera formulado su conjetura de esta otra forma : ¿ Es infinita y creciente la sucesión que a cada sucesión de unos y de menos unos con discrepencia n>=1 le hace corresponder su longitud máxima; cuyo primer término es 11 ? Decía que yo me estaba preguntando que si entonces el resultado de la colaboración conjunta de Gowers, Tao y tantos otros hubira sido exitoso; y de serlo, si hubiera aportado los mismos eresulatdos o bien otros realtivamente muy distintos.

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