Superredes de grafeno inspiradas en el conjunto de Cantor

Dibujo20151216 cantor set periodic set until n equal four aps

El conjunto fractal de Cantor no existe en la Naturaleza pues presenta autosemejanza a todas las escalas. Sólo existen prefractales de Cantor, que muestran autosemejanza hasta cierta escala finita. En física e ingeniería se usan como modelo para estudiar sistemas cuasiperiódicos, que no son periódicos, pero tampoco aleatorios. Por ejemplo, para estudiar la propagación de cuasipartículas electrónicas en superredes semiconductoras y en superredes de grafeno con una estructura cuasiperiódica.

La idea es colocar una hoja de grafeno sobre una estructura multicapa alternada formada por dos materiales (normalmente SiO2 y SiC), llamada superred. Las cuasipartículas (ondas de electrones) en el grafeno se mueven sometidas a un potencial eléctrico generado por la multicapa (cuando entre sus extremos se aplica una diferencia de potencial). El caso más sencillo son las superredes periódicas, pero también se ha propuesto el uso de superredes prefractales basadas en el conjunto de Cantor.

Sobre superredes fractales de grafeno recomiendo Lifeng Sun et al., “Transport properties through graphene-based fractal and periodic magnetic barriers,” Journal of Physics: Condensed Matter 22: 445303 (2010), doi: 10.1088/0953-8984/22/44/445303; J.S. Ardenghi et al., “Electronic properties of Cantor random box distribution of impurities in graphene,” Superlattices and Microstructures 89: 398–408 (2016), doi: 10.1016/j.spmi.2015.11.033.

Estos trabajos suelen usar el método matricial para calcular la dispersión en superredes cuánticas que se expone en Juan A. Monsoriu, Francisco R. Villatoro et al., “Quantum fractal superlattices,” Am. J. Phys. 74: 831 (2006), doi: 10.1119/1.2209242, arXiv:physics/0412087 [physics.ed-ph]; Francisco R. Villatoro, Juan A. Monsoriu, “Tunneling in quantum superlattices with variable lacunarity,” Physics Letters A 372: 3801–3807 (2008), doi: 10.1016/j.physleta.2008.03.002, arXiv:quant-ph/0702042.

Como puedes ver en la figura que abre esta entrada la construcción de un prefractal de Cantor es muy sencilla. Se parte de un segmento de longitud unidad (n = 0) que se divide en tres trozos de longitud 1/3, descartando el trozo central (n = 1). Este proceso se repite una vez más con ambos trozos (n=2), dando lugar a cuatro trozos de longitud 1/9. Y así sucesivamente, en el paso n-ésimo obtenemos 2n trozos de longitud 1/3n con 2n−1 entre ellos. Consulta la figura y donde se compara el prefractal n=4 con una estructura periódica también a n=4.

Dibujo20151216 quantum mechanics potential well

La superred sobre la que se encuentra la hoja de grafeno actúa como una distribución de pozos de potencial para las ondas de electrones en el grafeno (bajo la hipótesis de que su longitud de onda es mucho menor que la anchura de los pozos). Usando la formulación matemática que describe la incidencia de una partícula cuántica en una barrera de potencial, pero aplicada de forma reiterativa para toda la superred se obtiene el coeficiente de reflexión y el de transmisión para toda la estructura. Los cálculos son sencillos, basta multiplicar matrices de 2×2 en el caso no relativista y matrices de 4×4 en el caso relativista (recuerda que en grafeno se propagan fermiones de Dirac sin masa). Omito los detalles (los matemáticos interesados que lean esto pueden consultar los artículos que cita arriba).

Dibujo20151216 Angular dependence of the transmission probability for different stages of the Cantor set prefractal graphene superlattice iop org

El resultado es un matriz de dispersión (scattering), producto de 2n+1 matrices, a partir de la cual se puede obtener el coeficiente de reflexión y de transmisión de las cuasipartículas en el grafeno. Estas ondas se mueven con cierto ángulo respecto a las capas de la superred, siendo 0º el movimiento transversal respecto a las capas, −90º el movimiento longitudinal hacia la izquierda y +90º el movimiento longitudinal hacia la derecha.

Los fermiones de Dirac sin masa muestran la llamada paradoja de Klein, el efecto túnel es perfecto para un ángulo de incidencia normal al pozo de potencial, es decir, el coeficiente de transmisión es exactamente igual a la unidad. Para la superred esta propiedad se observa para el ángulo 0º. Esta figura muestra los resultados para el coeficiente de transmisión entre −90º y +90º para la superredes fractales (f2, f3, f4) y para la superredes periódicas (p2, p3, p4).

Dibujo20151216 Angular dependence transmission probability Cantor set prefractal graphene superlattice iop org

Sin entrar en más detalles técnicos, observarás que hay ciertos ángulos que tienen transmisión perfecta (T=1, R=0), no reflejan nada, y otros para los que se da reflexión perfecta (T=0, R=1), todo se refleja. Para dichos ángulos la hoja de grafeno sobre la superred se comporta como un filtro que deja pasar o impide el paso de las ondas que tiene ciertos ángulos. Esto permite diseñar dispositivos para el control de las ondas de electrones en el grafeno en función de los ángulos de incidencia.

¿Para qué puede servir todo esto? Poder controlar si una onda pasa o no pasa por cierto lugar, o si se refleja con cierto ángulo o no se refleja, permite diseñar dispositivos con grafeno similares a las puertas lógicas que usan en los microprocesadores. Todavía estas ideas están en una fase muy primitiva, pues colocar una hoja de grafeno sobre una superred sin que presente pliegues y otros defectos es muy difícil. Pero quien sabe, quizás algún día sea posibles fabricar con éxito estos dispositivos y las superredes fractales logren un nicho de mercado.

Coda final. Esta entrada participa en la edición 6.9: el conjunto de Cantor del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews; recuerda que puedes participar entre el 17 y el 23 de diciembre. Para avisar de tus contribuciones en Twitter usa la etiqueta #CarnaMat69, mencionando a la cuenta @MartaMachoS y a la del carnaval @CarnaMat.


3 Comentarios

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GastónGastón

Se que no es el objetivo del articulo, pero tengo una duda. Mandelbrot no estaría muy de acuerdo (mas bien estaría preocupado) que consideraran al Conjunto de Cantor como un fractal…¿Que piensan ustedes? (Me gustaría escuchar los argumentos a favor de la opción fractal, ya que esta de común acuerdo con los expertos en fractales . Sepan que soy casi un completo ignorante de los fractales, y solo leí un curso que estaba en la red sobre ellos ).

GastónGastón

No, ninguno. Solo lo mencione porque el comentario apareció en el curso de fractales que baje de la red, como dije antes en el comentario. El curso se llama “Introducción a la Geometría Fractal” /
link aquí http://www.docentes.unal.edu.co/cibe...Fractal.pdf
Fue desarrollado por Juan Pablo Braña (no lo conozco).
El mismo fue dictado en el año 2003 a través del sitio http://www.fractaltec.org y constó de 5 clases y varias charlas en los foros de debate.
Es un texto muy básico, interesante en ciertos aspectos, con algunos baches explicativos.

El texto dice:
“Tenemos otra vez como imagen generadora una línea recta (se genera de arriba hacia
abajo). Estudien con detalle lo que ven y notarán que ahora S = 2 y L = 3. Por el
contrario de lo que sucede con el Conjunto de Cantor, el algoritmo nos divide ahora la
recta en 3 segmentos iguales, pero elimina a uno de ellos y no agrega nada como
sucedía antes. Por lo tanto tenemos:

D = Log 2 / Log 3 , D = 0.6309…

Bien, obtuvimos una dimensión fraccionaria. Pero que cambió? Ella es menor que su
dimensión topológica correspondiente a 1 por ser una línea recta su generador. Esto es
algo que le preocupó a Mandelbrot, pero expertos en fractales consideran igualmente
al Conjunto de Cantor, y a otros con estas particularidades, como fractales.
Personalmente las excepciones me molestan y preocupan bastante, si bien es cierto
que tiene una autosimilitud perfecta, por su dimensión yo optaría por no considerarlo
un fractal”.

No se que te parecerá. Consegui en la red de Mandelbrot, Benoit: “Los Objetos Fractales” y otros textos del mismo y pensaba leerlos cuando tuviera tiempo. Es que en estos días me puse a arreglar papeles y casualmente encontré este curso entre ellos. Y justamente tu articulo me llamo la atención.

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