La física de la lotería de Navidad

Dibujo20151222 Christmas lottery spain

Seguro que has leído muchos artículos sobre las matemáticas de la lotería, pero ninguno sobre la física de la lotería. Las bolas en el bombo se comportan como un medio granular (el bombo de la suerte se diseñó para almacenar hasta 85.000 bolas, pero desde 2011 se introducen 100.000 bolas). La rotación del bombo es lenta (15 vueltas por minuto) y las bolas se mezclan por un proceso de corte y arrastre (cutting & shuffling). El proceso es parecido a como se baraja un mazo de naipes. El número de vueltas necesarias para garantizar que la probabilidad de cada bola sea uniforme, que yo sepa, no ha sido calculado. La física de los medios granulares indica que son necesarias muchas vueltas.

En mi opinión, influye mucho la posición inicial de las bolas. Los bolas se colocan ordenadas en las 200 liras de hasta 500 bolas. Se cuelgan de forma ordenada en el llamado paraguas y se vierten en un recipiente llamado tolva. Luego se introducen en el bombo. Este protocolo garantiza cierto azar inicial en el rellenado del bombo. Como en los sorteos los bombos se rotan pocas veces, en mi opinión, gran parte de la mezcla final de las bolas depende mucho de esta aleatoriedad inicial. Por cierto, el bombo de la suerte fue fabricado en 2006 por la empresa chiclanera Fluidmecánica del Sur. Más información en “Noticias en prensa,” Fluidmecánica del Sur.

Sobre la mezcla por corte y arrastre en medios granulares en recipientes esféricos recomiendo leer a Gabriel Juarez et al., “Mixing by cutting and shuffling 3D granular flow in spherical tumblers,” Chemical Engineering Science 73: 195–207 (2012), doi: 10.1016/j.ces.2012.01.044; Zafir Zaman et al., “Slow axial drift in three-dimensional granular tumbler flow,” Phys. Rev. E 88: 012208 (2013), doi: 10.1103/PhysRevE.88.012208, arXiv:1307.8133 [cond-mat.soft]; Umberto D’Ortona et al., “Influence of rough and smooth walls on macroscale flows in tumblers,” Phys. Rev. E 92: 062202 (2015), doi: 10.1103/PhysRevE.92.062202.

[PS 23 Dic 2015] Recomiendo leer a Julián Estévez, aka @Jeibros, “La mecánica de las bolas de El Gordo,” Idea secundaria, 24 Dic 2012.

Este vídeo ilustra el protocolo inicial de rellenado del bombo que garantiza el azar inicial de la distribución de bolas. Dado que la rotación del bombo es lenta y el proceso de mezcla introduce poco azar adicional, salvo que se haga rotar muchas veces el bombo. He visto algunos vídeos y lo rotan entre 5 y 10 veces cada vez que los niños rellenan todos los alambres de una tabla.

Dibujo20151222 spherical tumbler filled with particlesPhys Rev E 2013 2015

¿Cómo se mueven los bolas dentro del bombo? La rotación lenta hace que se inclinen las bolas y se provoque una avalancha de forma periódica. Las bolas que se encuentran en la parte superior se deslizan sobre las otras bolas cayendo (ver flechas en la figura). Esta avalancha periódica provoca que una capa de bolas en forma de cuña pase de la zona elevada a la zona baja.

Dibujo20151222 Mean particle trajectory for 25 tumbler rotations from a spherical tumbler simulationPhys Rev E 2013

Para seguir la trayectoria de las bolas en el interior del bombo conviene usar simulaciones por ordenador. La repetición de las avalanchas en la superficie de las bolas provocada por la rotación del bombo (25 veces en la figura) provoca que las bolas describan una trayectoria más o menos elíptica (como ilustra esta figura). En esta simulación en concreto no se ha tenido en cuenta la rugosidad del contenedor esférico (recuerda que el bombo es una jaula con varillas de bronce y latón).

Dibujo20151222 visualizing creeping region granular flowing layer aiche journal 2013

El flujo de las bolas en el bombo en rotación está impulsado por la gravedad. La fricción entre las capas de bolas conduce a la existencia de un ángulo crítico; cuando se supera este ángulo el estado se vuelve inestable y las bolas de las capas superiores fluyen hacia abajo con una velocidad que decrece linealmente con la profundidad. Este proceso conduce a un mezclado de las partículas que introduce el azar en su distribución. Sin embargo, cuando el número de partículas supera el ecuador de la esfera que las contiene se forma un núcleo en el interior que rota pero cuya mezcla es pobre. Por eso en el bombo de la lotería se garantiza que el nivel de las bolas no supere el ecuador del bombo con objeto de maximizar la tasa de mezcla de las bolas. Más información en Paul B. Umbanhowar et al., “Modeling granular materials: A test bed for framing and analysis,” AIChE Journal 59: 3237–3246 (2013), doi: 10.1002/aic.14153.

Dibujo20151222 wedge mdel avalanche mixing aiche journal 2013

El bombo de la lotería rota lentamente luego se observa el proceso de avalancha en cuña (wedge avalanche mixing). Al rotar el bombo se inclinan las bolas hasta alcanzar el ángulo crítico θm, momento en el que una cuña de bolas cae en avalancha para relajar dicho ángulo hasta un valor θs. Conforme sigue rotando el bombo este proceso se va repitiendo de forma periódica, logrando la mezcla de las bolas. En un bombo esférico cuyo interior es suave se produce una región de mezcla pobre (ilustrado en la parte derecha esta figura) donde se cruzan los ángulos θm y θs (como ilustra la figura de la izquierda). Más información en Guy Metcalfe et al., “Avalanche mixing of granular solids,” Nature 374: 39-41 (1994), doi: 10.1038/374039a0.

Dibujo20151222 snapshots particle mixing state acs publ iaec research 2014

Un punto clave para garantizar una buena mezcla de las bolas para una velocidad de rotación lenta es la rugosidad de la pared interior del bombo. No he encontrado ningún estudio detallado de la estructura en forma de varillas del bombo, pero esta figura ilustra la diferencia entre un contenedor esférico y otro con una forma poligonal redondeada. Las dos figuras de arriba son para el caso de 1,5 vueltas y las dos de abajo para 12,5 vueltas. Se ve perfectamente que la rugosidad del bombo maximiza la mezcla de las bolas. Más información en Nan Gui et al., “Particle Mixing Study in Rotating Wavy Wall Tumblers by Discrete Element Method Simulation,” Ind. Eng. Chem. Res. 53: 13087–13097 (2014), doi: 10.1021/ie501409f.

En resumen, el azar en el sorteo se garantiza gracias a la distribución inicial de las bolas en el bombo, que las bolas rellenen menos de la mitad del bombo y que la superficie interior del bombo no sea lisa sino que está formada por varillas. Gracias a ello una rotación lenta permite una buena mezcla de las bolas. Sin lugar a dudas la física de la lotería de Navidad, la física de los medios granulares, es apasionante.

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