¿Sorpresa sobre los números primos?

Dibujo20160316 Kannan Soundararajan and Robert Lemke Oliver Stanford University photo by Waheeda Khalfan quanta magazine

La vida te da sorpresas, sorpresas te da la vida… He leído en Microsiervos que dos matemáticos de la Universidad de Stanford han descubierto un nuevo comportamiento de los números primos. Para mi sorpresa lo que cuentan ya fue descubierto por Chebyshev en 1853. Y fue demostrado por G. H. Hardy y J. E. Littlewood en 1923. Como Alvy no es matemático he supuesto que lo que han descubierto debe ser otra cosa.

He buscado su fuente, un artículo en Quanta Magazine, escrito por una divulgadora que es matemática. Mi sorpresa ha ido en aumento. Ella cuenta casi lo mismo sin mencionar a Chebyshev. Como siempre, ante la duda, el paper. Por fortuna, Chebyshev aparece en el primer párrafo. ¡Menos mal! ¿Qué han descubierto Kannan Soundararajan y Robert Lemke? Una nueva conjetura, una ligera mejora en el resultado asintótico de Hardy y Littlewood. ¿Han demostrado la conjetura? No, no han sido capaces. Más sorpresas… ¿cómo puede ser noticia una conjetura tan técnica y que aporta tan poco? Hypotheses non fingo.

Terry Tao, siempre al quite, ha logrado demostrar dicha conjetura en un breve post en su blog. Basta refinar un poco el argumento clásico de Hardy y Littlewood. Cualquier buen estudiante de teoría de números debería haber sido capaz de lograrlo. Eso sí, nunca tan rápido y veloz como Tao (que por algo es un genio). Sorpresa ¡Sorpresa! Me gustaría decirte “no seas pazguato, que no te sorprenda todo lo que leas sobre los números primos”. Pero quizás te pueda molestar. No es mi intención. Lo sé, lo sé, a veces soy un pedante. Ya me callo.

Para entender mi sorpresa, te recomiendo leer a Alvy (@Alvy), “Descubierto un extraño comportamiento de los números primos que se «repelen»”, Microsiervos, 14 Mar 2016. Luego pasar a su fuente, Erica Klarreich, “Mathematicians Discover Prime Conspiracy,” Quanta Magazine, 13 Mar 2016. Para luego leer las cuatro primeras páginas (el resto no merece la pena) de Robert J. Lemke Oliver, Kannan Soundararajan, “Unexpected biases in the distribution of consecutive primes,” arXiv:1603.03720 [math.NT]. Y, finalmente, disfrutar con el genial Terry Tao, “Biases between consecutive primes,” What’s new, 14 Mar 2016. También se ha hecho eco del asunto Evelyn Lamb, “Peculiar pattern found in ‘random’ prime numbers,” News, Nature, 14 Mar 2016.

Por cierto, si eres matemático y nunca habías oído hablar del resultado de Chebyshev te recomiendo Andrew Granville, Greg Martin, “Prime Number Races,” The American Mathematical Monthly 113: 1-33 (2006), doi: 10.2307/27641834 [PDF], y, como no, Michael Rubinstein, Peter Sarnak, “Chebyshev’s bias,” Experimental Mathematics 3: 173-197 (1994), doi: 10.1080/10586458.1994.10504289 [PDF].


12 Comentarios

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Javier CillerueloJavier Cilleruelo

Sigo este blog con mucho interés por su gran calidad, pero creo que la apreciación sobre este resultado ha sido algo precipitada. La desviación apreciada por Chebychev y la observada por Oliver y Soundarajan son de distinta naturaleza. Esta última, siendo más dramática, nunca había sido observada anteriormente por nadie.
Soundarajan es de los mayores especialistas mundiales en los aspectos más “finos” de la distribución de los números primos. Sus trabajos con Andrew Granville en Annals of Mathematics son sólo una muestra de ello.
Por otra parte, ni ellos ni Tao demuestran la conjetura de Hardy-Ramanujan. Lo que si que hacen es demostrar que la desviación observada es consistente con una versión fuerte de dicha conjetura.
El hecho de que que alguien como Tao dedique una entrada a este resultado indica la importancia del mismo. Tao dice textualmente:

There is a very nice recent paper by Lemke Oliver and Soundararajan (complete with a popular science article about it by the consistently excellent Erica Klarreich for Quanta) about a surprising (but now satisfactorily explained) bias in the distribution of pairs of consecutive primes when reduced to a small modulus q.

Efectivamente todavía no hay nada demostrado pero pronostico una gran actividad en esta linea. Oliver y Soundarajan han descubierto un planeta que nadie sospechaba que existía y han dado una explicación plausible de su existencia.

MaríaMaría

Muchas gracias por el artículo, muy interesante.
Aunque no soy matemática y me he perdido un poco en el artículo de Soundararajan y Lemke, he visto que ellos trabajan con distribuciones de restos (por ejemplo en módulo 3), y en cambio en el artículo de Microsiervos hablan de las terminaciones de los números primos. ¿Es una simplificación que hacen para que lo entendamos los “profanos”, o he entendido yo mal el artículo?
Uno de los ejemplos que ponen son los restos de dos primos consecutivos al dividirlos por 3, y observan que no siguen distribuciones homogéneas. ¿Tiene algo que ver con las terminaciones de los primos?
Muchas gracias, y perdonad si es una pregunta demasiado simple…

JulianJulian

¿También se produce esa “repulsión” en sistemas numéricos no decimales?. Es decir, en el sistema hexadecimal, por ejemplo, ¿también es más probable que un primo terminado en 9 le siga otro acabado en 1?.

JulianJulian

¿Pero esto quiere decir que la distribución de los números primos es aleatoria y no sigue ningún criterio (desconocido hasta el momento)?. Tenía entendido, que la mayoría de los matemáticos creían que la hipótesis de Riemann es correcta, aunque no se haya probado aún. Gracias por responder, saludos.

Francisco R. Villatoro

Julian, la distribución de números no es aleatoria, como es obvio desde que fueron descubiertos. Y por otro lado el nuevo descubrimiento es una consecuencia de la hipótesis de Riemann (generalizada). La idea del nuevo trabajo es aportar algún indicio hacia un nuevo camino para atacar la demostración de la hipótesis de Riemann; un camino poco prometedor en mi opinión (espero estar equivocado).

AsahelAsahel

Hola Francisco. Me gusta mucho lo que haces! Pocos divulgan la Ciencia como tu. He leído lo que dices en : Hazlo publicalo ya…
Me gustaría saber mas acerca de lo que comentas sobre publicar un descubrimiento en internet y pensar que un listo lo puede robar. Podrías explicarme un poco más sobre este tema? Lo pido porque hoy en día hay mucha gente que anda buscando como aprovecharse de las ideas de otros para hacer dinero.
Gracias y te felicito por tu buen trabajo!

RobínRobín

El problema es cuando la *matemática* cede ante la *literatura*. Por ejemplo; en el artículo de Microsiervos se afirma lo siguiente : “”de hecho no existe ninguna fórmula que genere únicamente números primos””. Eso es literatura; ni siquiera llega a ser filosofía. Habría que definir primero; sin ninguna ambigüedad; lo que es una fórmula. He aquí una (fórmula) que genera no sólo todos los números primos; sino, además, el enésimo número primo, según se quiera y se desee :
http://www.primepuzzles.net/problems/prob_038.htm
Probablemente, el simpático autor Microservano, estaba pensando; cuando escribió “fórmula”; en polinomio o en función o en….
Ahora bien; esta fórmula no añade fundamentalmente nada nuevo a la teoría de los números primos; que quizás, eso es lo que en el fondo quería decir el autor que cito. (De la importancia de no hacer literatura).

RobínRobín

He aquí un programita escrito muy rápidamente en Pari gp :
m=10^9;i=0;a=floor(m/(3*log(m)));u=vector(a);forprime(p=5,m,if(p%10==3,i++;a=(nextprime(p+1))%10;u[i]=a));print(i);b=0;c=0;d=0;e=0;for(j=1,length(u),if(u[j]==1,b++);if(u[j]==3,c++);if(u[j]==7,d++);if(u[j]==9,e++));print([b,c,d,e])
Busca los primos que son consecutivos a los primos que terminan en 3 (en el sistema de base 10) y cuenta cuales terminan en 1 , 3, 7 o 9. He buscado a partir de 10^3 hasta 10^9 en que mi viejo ordenador ya tarda 2 minutos ; a pesar de la excelente rapidez de Pari gp; y usa unos 500 MBytes de memoria RAM. Por cada potencia de 10^t de t = 3 a t = 9, se obtiene siempre que 9 > 7 > 1 > 3 con la excepción 7 > 9 > 1 > 3 para 10^3.
Y el cociente entre los que terminan en 9 y los que terminan en 3 es respectivamente de :
17; 3,88; 2,83; 2,36; 2,05; 1,86; 1,72
A mí; me llama mucho la atención; que no he leído aún el artículo de Tao; la gran disparidad de estos cocientes (que van de 17 para 10^3 a 1,72 para 10^9).
Aquí van los datos para 10^3 :
[7, 9, 7, 9, 9, 9, 7, 7, 7, 9, 7, 7, 9, 9, 3, 7, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 7, 9, 1, 9, 9, 7, 7, 9, 7, 1, 9, 1, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 1] (El primer 7 corresponde al 17, que sucede al 13 y el primer 9, al 29 que sucede al 23).
41
[4, 1, 19, 17]
41 números primos terminan en 3 (sin contar el 3); hasta 10^3. Y de los números primos que siguen inmediatamente a estos primos terminados en 3; 19 terminan en 7; 17 en 9; 4 en 1; y sólo uno en 3. Los únicos números primos consecutivos; hasta 1000; que terminan ambos en 3 son 283 y 293. Los siguientes son 1153 y 1163.
Y estos son los datos para 10^9 : (12712498 [3046813, 2229686, 3595468, 3840531])

carlos

Gracias por el artículo. En especial por el gran número de referencias de números primos que das y el orden de lectura. Muy útil para mi.

Javier Grisales Herrera

Imaginen ahora que yo descubrí y registré con derechos de autor en 2016 una fórmula que permite agrupar en 4 familias áureas al conjunto de números primos mayores que 5. Es decir, una partición áurea en 4 clases de equivalencia dada la última cifra de cada primo mayor que 5. Todo esto usando la función impar seno, los recíprocos decimales de cada primo mayor que 5 y el módulo 9.
Aquí les dejo ahora mi blogg para que puedan revisarlo y comentar.
http://javiermathprimes.blogspot.com.co/

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