Anomalía de la dualidad electromagnética en un espaciotiempo curvo

Dibujo20170413 Electromagnetic Duality wikipedia commons

Una anomalía es la rotura de una simetría clásica debida a efectos cuánticos. El electromagnetismo clásico en el vacío (sin cargas) presenta una dualidad entre los campos eléctricos y magnéticos. La electrodinámica cuántica en un espaciotiempo plano (Minkowski) preserva dicha dualidad. Se publica en Physical Review Letters que en un espaciotiempo curvo con invariante de Chern–Pontryagin no trivial esta dualidad presenta una anomalía. Quizás sea observable su efecto en la polarización del fondo cósmico de microondas.

Las ecuaciones de Maxwell en el vacío son invariantes ante el cambio E B, y B → −E. Como no existen monopolos magnéticos, esta dualidad electromagnética no es cierta para las ecuaciones de Maxwell en presencia de cargas o corrientes eléctricas. En electrodinámica cuántica (QED) esta dualidad significa que en el vacío de la teoría el número de fotones con helicidad izquierda coincide con el número con helicidad derecha; el vacío QED en un espaciotiempo plano no está polarizado y no puede polarizar a los fotones. En un espaciotiempo curvo (bajo un campo gravitacional) aparece la anomalía. Por tanto, los fotones se polarizan cerca de los objetos astrofísicos más masivos.

Se espera esta anomalía afecte a los fotones del fondo cósmico de microondas. Este efecto no se ha tenido en cuenta en los mapas de su polarización obtenidos por el telescopio espacial Planck. Cuando se determine su magnitud se sabrá si es necesario hacerlo. El artículo es Ivan Agullo, Adrian del Rio, Jose Navarro-Salas, “Electromagnetic duality anomaly in curved spacetimes,” Physical Review Letters 118: 111301 (2017), doi: 10.1103/PhysRevLett.118.111301, arXiv:1607.08879 [gr-qc], continuación del trabajo previo de Ivan Agullo, Aitor Landete, Jose Navarro-Salas, “Electric-magnetic duality and renormalization in curved spacetimes,” Physical Review D 90: 124067 (2014), doi: 10.1103/PhysRevD.90.124067, arXiv:1409.6406 [gr-qc].

A nivel divulgativo recomiendo Beatrice Bonga, “A new anomaly: the electromagnetic duality anomaly,” ParticleBites, 20 Sep 2016; “Physicists discover hidden aspects of electrodynamics,” Phys.Org, 11 Apr 2017. Por cierto, sobre anomalías en general recomiendo Barry R. Holstein, “Anomalies for pedestrians,” American Journal of Physics 61: 142-147 (1993), doi: 10.1119/1.17328; o el más técnico Adel Bilal, “Lectures on Anomalies,” arXiv:0802.0634 [hep-th].

Dibujo20170413 Electromagnetic Duality arxiv 1607 08879

Este es el segundo trabajo de Iván Agullo de la Universidad del Estado de Louisiana (EE.UU.), ahora con Adrián del Río y José Navarro-Salas, ambos de la Universidad de Valencia (España), sobre la anomalía de la dualidad electromagnética. Asumiendo un espaciotiempo plano, la dualidad clásica entre campos eléctricos y magnéticos en el vacío implica que las magnitudes mostradas en estas ecuaciones son nulas. En presencia de cargas eléctricas, esta dualidad implica la existencia de monopolos magnéticos, como observó Dirac en 1931; más aún, los efectos cuánticos explican por qué la carga eléctrica (y la carga magnética de los monopolos) está cuantizada.

Dibujo20170413 Electromagnetic Duality Anomaly arxiv 1607 08879

Asumiendo que el espaciotiempo es FLRW, las magnitudes anteriores dejan de anularse y pasan a depender de la curvatura. La gravitación rompe la dualidad observada por Dirac entre cargas eléctricas y monopolos magnéticos. Quizás los efectos gravitacionales son los que explican por qué no hemos observado aún los monopolos magnéticos. Por supuesto, esta conjetura requiere futuros estudios teóricos.

Lo más importante ahora mismo es cuantificar cómo afecta la nueva anomalía a la polarización de los fotones del fondo cósmico de microondas en función de la distribución de masas del universo a grandes escalas. Serán necesarios futuros estudios para clarificarlo. Sin lugar a dudas, volveremos a oír hablar de esta anomalía en los próximos años.

26 Comentarios

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CurioseandoCurioseando

Gracias Francis. Tienes una Semana Santa muy activa, nos has inundado de entradas :)

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

Off Topic:
Esa ecuación con la que ilustra Francis el final de la entrada es bellísima (la del valor de expectación de la corriente igual a la primera clase de Chern). Uno de mis profesores suele decir que en ese punto debes de caer en cuenta que algo maravilloso y profundamente misterioso está pasando con la naturaleza. Es emocionante que aparezca en primer lugar un valor exacto, que dicha cantidad (al menos en las anomalías típicas como la ABJ o la quiral) no reciba contribuciones cuánticas más allá de un lazo y sobre todo… ¡Que sea un término topológico! A priori la topología no tenía nada que ver, aún si sabes que el contexto matemático de las teorías de norma es la teoría de conexiones en haces principales no es inmediatamente obvio que es lo que está pasando. No es tan “normal” que algo geométrico arroje algo topológico y menos cuando el contexto de cálculo para el físico era algo “analítico”

Lamento si meto ruido, esta clase de cosas me emocionan mucho, creo son de las sorpresas más grandes que gritan una increíble armonía en la naturaleza. Tenía que decirlo.

On topic:

Me gusta como suena el artículo, No creo que la explicación del porque no observamos monopolos a bajas energías sea la rotura de la dualidad electrico-magnética por gravedad, simplemente pasa que una carga magnética es (S-dual) la contraparte de una carga eléctrica en acoplo fuerte. Y sobre la baja densidad Inflación hace muy bien su trabajo.

Por otro lado: La gravedad es una forma de rotura de simetría conforme (el gravitón “está muy cerca de ser un goldstone para la rotura de esta simetría”). No extraña que eso rompa la dualidad. El hecho de que el valor de expectación de la corriente dependa de la curvatura es clarísima señal de que en el fondo todo esto es una máscara de la anomalía de Weyl.

Me causa curiosidad que se hable de la rotura de dualidad, estrictamente hablando una dualidad no es una simetría 😀 aunque claro que hay grupos para representar cosas como la S y la T dualidades (y por consiguiente la U). Una dualidad es mucho más.

No sé, en el fondo me parece que lo que están calculando es la anomalía de Weyl. Lo interesante es que no se me ocurre como ver que anomalía conforme no cero implica rotura de S dualidad. Habrá que leer el artículo.

Gracias Francis!

planck

Muy interesante Ramiro. Debo confesar que a mi la simetría conforme me causa cierto desconcierto. En una métrica conforme la “invarianza” de escala hace que perdamos la noción fundamental de distancia o de volumen ¿Como puede ser que algo así pueda formar parte fundamental de la naturaleza? ¿No es la noción de distancia algo fundamental? En los agujeros negros la dualidad AdS/CFT y el principio holográfico indican que toda la información sobre la curvatura está codificada en la frontera pero ¿Donde está físicamente esta frontera? ¿Cual es el significado Físico del “conformal infinity”? Quizás, como apuntan ciertas teorías, a nivel fundamental cosas como la localidad o la distancia son propiedades emergentes ¿Quien necesita la ciencia-ficción? Por otro lado, intuitivamente, la simetría conforme parece el principio de covariancia general llevado al extremo: no pueden existir marcos de referencia privilegiados, incluso si cambiamos la escala a la cual analizamos los fenómenos. Desde este punto de vista se puede entender intuitivamente la relación entre la gravedad y la simetría conforme y porque el gravitón podría ser el ” boson goldstone” de esta ruptura de simetría. Todo esto parece indicar que nos estamos perdiendo alguna simetría/dualidad fundamental, creo (espero) que nos estamos acercando a la respuesta. Sea como sea el camino hacia ella promete ser fascinante…

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

Planck:

La pregunta que te haces es terriblemente vital. ¿Por qué la simetría conforme juega (o debería) jugar un papel importante en la naturaleza?, esta es de las preguntas (en mi humilde opinión) más grandes que te puedes hacer en el contexto de desarrollos fundamentales como holografía, teoría de cuerdas y obviamente (el conformal bootstrap).

-La “conformal field theory” tiene en principio una motivación muy interesante por ser de utilidad práctica: Estudiar sistemas físicos que están cerca de sufrir una transición de fase. Por ejemplo el agua en su punto triple

-Aquí viene otra razón importante (esta es maravillosa): Toda teoría cuántica de campos (¡La que sea!) se puede ver como flujo del grupo de renormalización entre dos CFT´S (Es decir que explores la teoría a todas las escalas de energía) . Estudiando CFT puedes entender todo el espacio de teorías cuánticas, en particular las consistentes. ¿Nada mal eh? 😉

-Si alguien quiere proponer una teoría cuántica de campos consistente que “aspire a ser teoría del todo” tiene sólo dos opciones: O bien no es CFT, en cuyo caso basta aumentar la energía y llegar a un régimen con simetría conforme (esto debe ser posible si es consistente) o bien es conforme.

-En realidad puede pasar que la teoría tenga un salto de masa o que posea partículas sin masa en el IR pero a grandes rasgos todas las teorías consistentes de campos son conformes y si no lo son debeís dejarlas evolucionar y serán conformes 😀

-Otra idea práctica es que las teorías conformes están caracterizadas (hablando muy muy vagamente) por una cantidad llamada “carga central”. Si dos teorías comparten este mismo número, serán equivalentes a nivel dinámico. ¿Qué tiene de sorprendente? por poner un ejemplo: El modelo de Ising es un retículo con un “qubit” en cada vértice que permite estudiar el agua cerca de su punto crítico, otro sistema puede ser un magneto uniaxial, un tercero puede ser un bosón libre… ¡Todos estos están en la misma clase de universalidad! ¡Son modelos duales de una misma teoría! ¿Os suena algo? 😉 además si consideras versiones lorenzianas de estos sistemas además tienes igualdad con otros sistemas aún más exóticos como la transición de fase de la superfluidez para helio cuatro, esto no sólo se hace por autosatisfacción: Pensad que de entre todos estos eliges el más fácil de simular por ordenador y trabajas con él. Aún mejor: si ya resolviste uno de ellos resolviste todos. ¿Tampoco está mal?

-En física casi siempre se resuelve un modelo simple y después se estudian pequeñas deformaciones cuánticas de este. Como es bien sabido por buenos aficionados de la física como usted Planck, es el sueño de todo Físico ver llegar el día en que se puedan resolver problemas de manera exacta y que no sean pequeñas perturbaciones de uno soluble. Pues bien, esta es una gran época para ser físico o amante de la física, estas cosas ya están ocurriendo, hay muchas líneas de ataque a problemas prácticos (como el modelo de Ising) hasta problemas teóricos (Como SCFT (2,0), duales holográficos de teorías de alto espín o las little string theory) que son atacadas con técnicas de increíble poder y que genuinamente exploran todo el espacio de parámetros para dar resultados exactos. Todas se basan en que la simetría conforme es muy restrictiva y prefija fuertemente la dinámica del sistema que la presenta. Las palabras mágicas para buscar sobre esto son: Conformal Bootstrap.

Esta es para Planck: Le considero una persona que vale mucho y sensible a esta clase de cosas por ello le comparto mi profunda fascinación por la idea del bootstrap, de verdad espero con un pequeño comentario causar el impacto que debería

La idea del Bootstrap es hermosa porque se trata de resolver una teoría imponiendo consistencia. Esto es increíblemente lindo si lo pensás un momento. Todas las teorías dependen de otras para poder tener sentido, por ejemplo la teoría electrodébil necesita de QCD para asuntos como cancelación de anomalías. Pero hay teorías (¡atención!) que sólo requieren de su propia consistencia para formular completamente su dinámica.

De esto puedes concluir que en una CFT que admite un bootstrap no hay objetos fundamentales. normalmente se piensa que los átomos están hechos de partículas y las partículas son excitaciones de los campos entonces los campos son “elementales” con la posibilidad de algo más. En la idea del Bootstrap no es así :) Todo objeto está hecho de los demás y los demás del primero. Dual models o everything.

Lo fascinante es que esto funciona. Por ejemplo en relatividad: Un agujero negro es un solitón y podeís pensar que está hecho de toda la materia que lo formó, pero ¿no te parece que hay algo sospechoso en que sea tan simple y sólo dependa de tres parámetros? (paradoja de la información), Pasa que un agujero negro es un estado excitado de una cuerda :) (se puede demostrar) y la cuerda y sus vibraciones son “elementales”. Luego el agujero.. ¿es compuesto o elemental? respuesta: es ninguno, es dual a todo :) es una cuerda pero via dualidades es dual a branas y cualquier otro objeto :) un sólo objeto es dual a todo.

Dual models of everything! (Esta frase es de Green, Schwarz y Witten para describir la motivación inicial de la teoría de cuerdas)

Un ejemplo más mundano pero interesantísimo es el modelo de ising en 3D que fue resuelto hace poco usando estas ideas :)

Las ideas hermosas… están de regreso :)

Francisco R. Villatoro

Ramiro y Planck se preguntan “¿por qué la simetría conforme juega un papel importante en la naturaleza?”

En mi opinión, la respuesta es la integrabilidad. La mecánica cuántica no relativista (evolución unitaria y proyección del estado) es completamente integrable; obviamente, la ecuación de Schrödinger es lineal, luego integrable, pero lo importante es que el proceso de medida (proyección del estado) preserva la integrabilidad (la clave es que el estado pertenece a un espacio de Hilbert).

En mi opinión, cualquier “teoría de todo” debe explicar el porqué. Lo más sencillo, como es obvio, es que dicha teoría esté basada en una teoría cuántica de campos integrable. Las teorías cuánticas de campos conformes en 1+1 dimensiones son completamente integrables (de ahí que los modos de vibración de las cuerdas sean solución de ecuaciones lineales de onda, y pertenezcan a espacios de Hilbert). La manera más obvia de preservar dicha integrabilidad en una teoría de 1+d dimensiones es que la métrica 1+d sea inducida (su origen sea dinámico) a partir de la teoría conforme 1+1; esta es la idea que se propone en la teoría de cuerdas.

La dualidad (o correspondencia) AdS/CFT (gauge/gravity) está relacionada de forma íntima con la integrabilidad. Para diagramas planos, la integrabilidad está clara; para diagramas no planares aún queda mucho por hacer. Pero, en mi opinión, la integrabilidad está en el origen íntimo del principio holográfico y de la dualidad gauge/gravity. Y a la pregunta de Ramiro y Planck mi respuesta es que la Naturaleza es cuántica, luego integrable; la simetría conforme y la integrabilidad están relacionadas de forma íntima; por ello la simetría conforme juega un rol relevante en la Naturaleza.

Saludos
Francis

Pedro MascarósPedro Mascarós

Dos dudas, Francis; si estoy preguntando estupideces, como siempre, se me puede decir abiertamente, pues no tengo el suficiente bagaje matemático:
¿Podríamos tener una teoría del todo basada en una teoría NO integrable? , dicho de otra forma, ¿es posible tener una teoría NO integrable, única, que no sea un conjunto de teorías integrables sin conexión unas con otras? , dicho de otra forma ¿tenemos en la actualidad estructuras matemáticas que no precisan de inegrabilidad para ser consistentes y compactas?

Si la simetría conforme es una señal de esta integrabilidad, es una gran noticia; mi segunda pregunta es ¿tenemos teoremas firmes sobre la conexión integrabilidad y simetría conforme?

Francisco R. Villatoro

Pedro, “¿Podríamos tener una teoría del todo basada en una teoría NO integrable?” Por supuesto, el modelo estándar es una teoría no integrable y descubrir teorías cuánticas de campos en 3+1 que sea integrables y no triviales raya lo imposible. Lo perturbativo sin integrabilidad es asintótico (es decir, las aproximaciones son siempre divergentes, convergen hasta cierto orden a partir del cual empiezan a diverger). Que la QED perturbativa sea asintótica no molesta a nadie (para la magnitud más precisa conocida en toda la física, el momento magnético anómalo del electrón, basta un desarrollo a orden cinco). Pero que la QCD perturbativa sea asintótica significa que es completamente inútil (al menos para quarks de baja masa y a baja energía).

“¿Tenemos teoremas firmes sobre la conexión integrabilidad y simetría conforme?” Hay pocos teoremas y todos se aplican al caso 1+1 dimensiones; más allá todo son conjeturas. Lo más prometedor es la conjunción de simetría conforme y supersimetría (pero el resultado son teorías de campos demasiado sencillas para describir la complejidad observada en la Naturaleza). Queda mucho trabajo en este tema, y jóvenes como Ramiro, si recogen el guante, creo que pueden aportar cosas muy interesantes en este campo (por ello escribí el comentario de más arriba).

Pedro MascarósPedro Mascarós

Gracias Francis.
A Ramiro habrá que seguirlo de cerca…de momento lo tengo localizado en Twitter. :-)

planck

Gracias Francis, excelente explicación: unitariedad, integrabilidad y simetría conforme están íntimamente relacionados por esto las teorías conformes tienen un papel tan importante. Darse cuenta de como conceptos distintos están realmente relacionados es una de las claves para no perderse y evitar que los “árboles” no te dejen ver “el bosque”. Un saludo.

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

Francis.

¿Qué le puedo decir? Solo puedo envidiar su destreza para transmitir ideas.

Estoy totalmente de acuerdo la palabra mágica es: Integrabilidad. Mucho de lo que puse es sensacionalista, rescato mi intento de dar ejemplos.

Francis expresó de manera fantástica la idea verdadera que está detrás del éxito de la teoría de cuerdas. La integrabilidad de las teorías conformes en dos dimensiones. Witten incluso tiene un artículo divulgativo para explicar esta idea. Comparto una reseña de Francis:

http://francis.naukas.com/2016/07/01...de-cuerdas/

Sobre Ads/cft también estoy de acuerdo. Y mucho más, otro asunto que está muy en boga es el amplitudiedro de Arkani-Hamed, si hay una razón profunda de porque es posible escribir las amplitudes de forma tan simple y encontrar tanta riqueza de estructuras, es gracias al tipo de teoría en la que se aplican las ideas (N=4 SYM) tiene mucha (super)simetría (de hecho tanta como es posible). Lo verdaderamente retador (como bien dice Francis) es decir algo sobre los diagramas no planares.

También hubo hace unos pocos años revuelo con los duales holográficos de teorías de alto espín en Ads. De nuevo el secreto es que Ads/cft es ante todo una especie de dualidad entre una teoría fuertemente acoplada y otra en “acoplo débil”, Puede parecer delirante la conjetura de Klebanov y Polyakov sobre el dual holográfico de una teoría de alto espín, pero la genialidad de estos hombres radica en que el dual holográfico es una teoría integrable (en cierto límite), que tiene operadores de alto espín y aprovechar el hecho de que Ads/cft también es una dualidad On/off shell, como no se puede calcular en Vasiliev fuera de la capa de masa y en los modelos O(N) (y en cualquier CFT) siempre te fijas en las funciones de correlación. En el fondo la genialidad es un olfato agudo de búsqueda de simpleza. Aquí también la palabra clave es: Integrabilidad.

Me disculpo por el comentario atrevido de “la teoría del todo”.

Gracias Francis.

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

Planck:

No sé si unitareidad y simetría conforme estén tan relacionadas.

Como comenté la principal motivación de las teorías conformes es resolver problemas en mecánica estadística y muchas veces estos son sistemas que no son unitarios.

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

Francis:

Gracias por el comentario que le hizo a Pedro sobre mi. Se que le molestan los “pelota” pero para mi significa muchísimo que usted nos explique.

Yo no tendría ni la mitad de intereses y ganas de aprender que llevo conmigo de no ser por este blog.

Gracias y de nuevo me disculpo por mis comentarios atrevidos. Tendré mas mesura en adelante

planck

Muchas gracias por tu excelente comentario Ramiro, si una de las cosas que pretendías era que quedara impresionado con el concepto de bootstrap lo has conseguido plenamente. Leí hace poco el post de Lumos http://motls.blogspot.com.es/2017/02...ium=twitter sobre el resurgir de esta idea y me impactó mucho la imagen del supuesto poliedro que separa las CFT permitidas y las que no ¡Las teorías permitidas conocidas (como el modelo de Ising) están siempre en los vértices del poliedro! Pero, en mi opinión, sin duda lo más importante y trascendente del bootstrap es lo que significa para la Física y su poder de explicar la naturaleza (lo que tu has explicado) : Si esta idea es correcta, la naturaleza sería explicable puramente por razones de consistencia (más bien autoconsistencia) esto significaría (en mi opinión) que la Física ¡Si puede aspirar a una teoría del todo que explique el Universo! En un periodo en el que el principio antrópico parecía ser la única “explicación” ¡ Esto sería una noticia grandiosa para la Física ! El reduccionismo sería solo una ilusión: no existen componentes fundamentales, no existe una jerarquía, todo surgiría, de alguna forma, como distintas “caras” de una misma estructura que se manifiesta vía dualidades. El problema es aplicar esta idea en 3 o más dimensiones aunque hay avances esperanzadores… ¡El poder de predicción de la Física-Matemática resurge en todo su esplendor!

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

Planck:

Agradezco tus comentarios, pero también lamento que tuve un arrebato de emoción. Estudio estas cosas con mucho entusiasmo, sin embargo las cosas son más sutiles de lo que planteo.

No es cierto que la idea del bootstrap conforme esté aquí (al menos en principio) para remplazar de ninguna forma la forma usual de hacer física (ya sabes con lagrangianos y teoría de perturbaciones). Como explicó Francis esto se aplica a modelos muy concretos de sistemas muy especiales. Sin embargo no deja de ser interesantísima la propuesta y su aplicación, en algunos casos es la única forma conocida de proceder.

Tampoco es cierto que el bootstrap sea un principio manifiesto en la teoría de cuerdas. Para empezar la teoría tiene una matriz S bien definida (perturbativamente y para acoplo pequeño) con la que se calculan amplitudes, de manera diferente pero a fin de cuentas ni siquiera en string field theory se computan funciones de correlación como se hace en una teoría conforme típica. Lo que quería expresar es el hecho de que el concepto de ser compuesto y elemental es aparentemente problemático en la teoría porque las dualidades crean una unidad en la que es difícil distinguir objetos.

Pedro:
Lamento si causé conflicto en usted al hacer mi atrevido comentario sobre “la teoría del todo”. Me refería (hablando más precisamente) a que una teoría consistente debe tener una completación ultravioleta y un límite infrarrojo bien definidos y estos (al ser puntos fijos en la dinámica del grupo de renormalización) serán teorías conformes. Lo que digo es sólo por simplicidad, lamento si mi comentario sugirió otra cosa.

Una disculpa a ambos

planck

Ramiro, no creo que tengas que disculparte por haber tenido “un arrebato de emoción”. Explicar ciertas ideas o conceptos Físicos apasionadamente no tiene nada de malo siempre que se sea consciente de cuando el concepto es probable, especulativo o muy especulativo. Es cierto que el concepto de “bootstrap” solo es aplicable a unos pocos fenómenos muy limitados, es cierto que no va a cambiar a corto plazo la manera de hacer Física (no era eso lo que yo quería decir) pero la idea subyacente fundamental del bootstrap es bella y poderosa y si es cierta, al menos una parte de la naturaleza es explicable desde principios de autoconsistencia y esto juega a favor de la Física y su poder predictivo (que es lo que yo quería decir). Explicaste un concepto de gran belleza y prometedor (aunque aún limitado y especulativo) con pasión y no dijiste nada esencialmente incorrecto (aunque si matizable) ¿Cual es el problema? Es cierto que explicar con rigor estos conceptos es casi imposible en un escueto comentario en la web de Francis, esto requiere mucho más esfuerzo y lectura de documentos técnicos, sin embargo, si lo que se quiere es “picar” la curiosidad de la gente y animarlos a profundizar en las ideas, un comentario apasionado de vez en cuando es más útil que 100 papers en arxiv. Un saludo y espero que no renuncies a comentarios apasionados de vez en cuando.

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

Un último comentario Planck:

Tengo muchos pero a este en particular no me puedo resistir:

Un agujero negro es el objeto holográfico por excelencia, si un agujero negro está en pie de igualdad con una cuerda altamente excitada (o un arreglo de branas) entonces la cuerda es holográfica y por dualidad toda la teoría.

Teoría de cuerdas es una implementación máxima del principio, donde todos sus objetos (¡Incluidas sus simetrías y sus dualidades mismas!) son holográficos.

Saludos planck

SuzudoSuzudo

Tengo la extraña manía de reescribir todas las ecuaciones físicas en donde apare Pi a como quedarían si apareciera Tau en su lugar. Lucen como mejor

Pedro MascarósPedro Mascarós

“…espaciotiempo curvo con invariante de Chern–Pontryagin.. ”

Lev S. Pontryagin era ¡ciego desde los 14 años! Y tiene trabajos muy importantes en topología algebraica y diferencial además de teoría de control. Me parece impresionante que alguien ciego a principios del siglo xx llegara tan lejos en las mates.
Tengo un par de libros de este hombre (los dictaba grabando en magnetófono) , uno sobre ecuaciones diferenciales, y otro muy chulo “Generalizaciones de los números” donde hace un repaso de los tipos de números que existen y demuestra que ya no es posible encontrar nuevos tipos, que cumplan las propiedades que todos entendemos que han de tener los números (cuerpo topológico conexo localmente compacto), lo cual es uno de sus conocidos teoremas.

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

Pedro:

Yo no diría que Pontryagin “clasifico todos los tipos posibles de números”. Aunque supongo que si así se llama el libro que refieres me debo estar equivocando, me disculpo de antemano pero me interesa saber en que sentido “están clasificados los números”. Hay varias formas (mas o menos elementales) de demostrar que las únicas álgebras de división sobre los reales son los reales mismos, los complejos y los cuaternios. Pero para mi la generalización más obvia de número es un anillo y decir cualquier cosa sobre la categoría de anillos es algo serio, uno de los libros que leía cuando estudié teoría de módulos decía que estos son más importantes por ser álgebra lineal (linealizaciones) de anillos y herramienta para poder decir algo de los últimos que por ser módulos… Incluso no creo que tomar semi anillos o monoides sea mala elección de objetos que se comportan como “números” (Ahí están los semianillos tropicales, árticos o los adeles).

Pero vamos, me da mucho gusto que saques a flote la belleza de sus contribuciones. Hay que tener una sensibilidad especial. Por las condiciónes que escribes (Espacio topológico localmente compacto) me figuro que te refieres a la dualidad de Pontryagin. Esta última es una verdadera joya, parte esencial del entendimiento profundo de la existencia de la transformada de Fourier y del análisis armónico mismo. Que para un físico es parte indispensable de su forma de entender la naturaleza.

Pedro MascarósPedro Mascarós

Hola Ramiro,
por supuesto Pontryagin no hizo ningún tipo de clasificación, no, no. Pontryagin tiene un teorema con su nombre que dice lo siguiente: “Todo cuerpo topológico conexo localmente compacto es o bien el campo de los números reales, o bien campo de números complejos, o bien el cuerpo de los cuaterniones”

En su libro, que acabo de coger para no hablar de memoria “Generalizaciones de los números” Ed. Mir, repasa los número complejos, cuaterniones, espacios vectoriales, cuerpos algebraicos, números p-eadicos, y los cuerpos topológicos algebraicos. A lo que pontryaguin llega finalmente, además de su teorema, es a la opinión de que los números reales y complejos no son producto casual del desarrollo histórico, sino que surgieron en las matemáticas (por necesidad) como los únicos entes que pueden desempeñar el papel de números.
En otras palabras, lo que tú mismo ya comentas: “Hay varias formas (mas o menos elementales) de demostrar que las únicas álgebras de división sobre los reales son los reales mismos, los complejos y los cuaternios”

Tengo otro libro muy bonito, esta vez de I.M. Yaglom llamado “Número complejos y sus aplicaciones en geometría” donde generaliza el concepto de número complejo, extendiéndose a números unitarios y duales (números hipercomplejos) lo cuales son muy curiosos y también perturbadores, por ejemplo, no solamente el espacio tiempo de Minkowski puede construirse perfectamente bien a partir del plano complejo (“El universo tetradimensional de Minkowski” A.A. Sazánov) aunque en física no se deriva así, si no que podría construirse también a partir de los unitarios (“Hipertexto y Birkhauser – The Mathematics of Minkowski Space-Time. With an Introduction to Commutative Hypercomplex Numbers 2008″).

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

Hola de nuevo Pedro:

Gracias por tu respuesta. Primero quiero aclarar que después de leerte caí en cuenta que mal interpreté tus palabras, me disculpo y me explico: “Cuerpo” es una terminología para lo que yo refiero como “Campo”, hecha esa aclaración estoy de acuerdo con lo que comentas :)

Me parece muy interesante y te felicito por ser poseedor de semejantes libros :) Cada minuto invertido en esto retribuye mucho al crecimiento intelectual. Incluso si uno decide no apreciar las cosas por su belleza la utilidad y el poder del álgebra y los números en la física es un asunto de práctico :)

Por citar un ejemplo: Saber sobre análisis de Clifford no sólo es interesante en si mismo, es vital para entender desde la teoría del campo hasta supergravedad :) estas son la clase de cosas de las que Wigner se sorprendía en su famosa frase “La irrazonable efectividad…”

No dejes de pensar en ello :)

planck

Por cierto, parece que en los números, a nivel fundamental (teoría de números), también está “codificada” la invarianza de escala o algo similar a la simetría conforme: La función zeta parece conservar esta simetría, la noción convencional de “distancia” entre números parece diluirse lo que explica cosas como que la “suma” de los infinitos números sea -1/12 o quizás la “regularidad” de la distribución de los números primos. Otra fascinante relación entre Matemáticas puras y Física…

Pedro MascarósPedro Mascarós

Bueno, Plank, como decía el gran S. Jay Gould: “Busca…y encontrarás”… no falla.

AlejandroAlejandro

A pesar de no ser experto en este tema, he sido capaz de entender y seguir muy bien esta entrada, lo que habla muy bien de como Francis hace sus entradas, midiendo y cuidando las palabras para que un físico con algo de cultura en QED y GR pueda entender el alcance del artículo. Un saludo y gracias.

planck

Si tuviéramos que explicar de forma rápida a unos seres extraterrestres cual es la propiedad fundamental del Universo que habitamos sin duda utilizaríamos el concepto de SIMETRÍA. Si les presentáramos a estos seres unas cuantas expresiones Matemáticas que representen la simetría Lorentz, la simetría Conforme o la simetría del grupo de Poincaré ¡Estos nos entenderían perfectamente! ¡Las Matemáticas que representan las leyes fundamentales son totalmente Universales! ¿Quien puede pensar que estas expresiones son solo son un invento humano?
Es increíble darse cuenta como la naturaleza parece “conspirar” haciendo las cosas más increíbles y contraintuitivas para preservar la simetría: “desdobla” las partículas (fermiones), obliga a que estas “giren”, dilata el tiempo, encoje el espacio, curva el propio espacio-tiempo, produce la fuerza electromagnética, la fuerza débil… y cuando la simetría se rompe produce nuevas partículas y fuerzas como “residuos” de la simetría original. Sin duda la simetría de nuestro Universo tiene que responder a un motivo fundamental, sin simetría no hay corrientes conservadas, no hay invariantes y por tanto no hay magnitudes Físicas, no hay causalidad ni regularidades… probablemente un Universo así no podría existir (al menos con seres conscientes que lo estudien). Como dice Ramiro en su primer comentario las dualidades parecen ser generalizaciones aún más profundas de la simetría, hay algo profundo y trascendente que relaciona diferentes espacios duales y probablemente cuando lo encontremos daremos un gran paso hacia el “santo grial” de la Física: la naturaleza fundamental del espacio-tiempo.

Pedro MascarósPedro Mascarós

“¿Quien puede pensar que estas expresiones son solo son un invento humano?”….pues ¿quien va a ser, Plank? YO jajajajaja 😉

Busca y encontrarás; coge un número, el que quieras, por ejemplo el 13, y después selecciona un monumento famoso, o un árbol cualquiera, o una silla, y busca relaciones de ésta con el número 13…te vas a hinchar a encontrar relaciones curiosas.

Recuerdo hace algunos años viendo un cuento con mi hija, en él salía un mundo donde todo era cuadrado, otro donde todo era redondo…etc, y nos preguntamos cómo era el nuestro. El nuestro es muy graciosos también, de hecho bastante chistoso, fíjate, todo es simétrico en par, el mundo del dos. Dos ojos , dos orejas, dos pechos, brazos piernas; las sillas, los coches, los edificios, todo se puede dividir en dos partes iguales, siempre; en la naturaleza no siempre, pero se puede aproximar, no vemos una forma perfecta de dividir un árbol en dos partes, pero si nos empeñamos siempre hay una forma; una vez descubrimos que se podía sacar y predecir muchas cosas con la simetría en la naturaleza, empezamos a sacar grandes cosas, y posiblemente nos lleve a predecir y explicar mucho, pero se agotará, como todo, y habrá que buscar otra.

Nota: Un ejemplo histórico curioso. Cuando se creía no solo que la evolución humana se reproducía fielmente en el desarrollo del feto, si no que existía una relación entre razas y desarrollo evolutivo, donde el hombre blanco era la cúspide, el doctor Down llegó a la conclusión de que las personas con síndrome de Down eran hombres cuyo estado evolutivo en el feto se había quedado en “Mongol”; y así buscó…buscó y encontró, los rasgos de la cara, el color amarillo de la piel… ¡todo encaja!…de ahí el nombre de “mongólicos”…y obviamente todo estaba mal por que su base estaba mal. Busca y encontrarás.

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