Bienal RSEF 2017: Conferencia “Gravisolitones y ondas no lineales”

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Érase una vez, en un lugar muy lejano, un gravisolitón solitario que se encontró con otro gravisolitón solitario. La pareja de gravisolitones, cual enamorados, se pusieron a bailar; primero, de lejos, luego, cada vez más cerca, hasta que acabar bailando pegados, abrazadísimos los dos. Su pasión culminó en un beso, que los fundió a los dos, produciendo una singularidad anular desnuda, impúdica, que el censor cósmico vistió con un horizonte de sucesos. De esta unión cósmica nació un nuevo gravisolitón.

Unos mil trescientos millones de años más tarde, el 14 de septiembre de 2015, los últimos suspiros de amor de estos gravisolitones resonaron en los oídos de los dos detectores de ondas gravitacionales por interferometría láser (LIGO) que hay en EE.UU. Solo oyeron las dos últimas décimas de segundo del fogoso y pasional encuentro entre ambos gravisolitones. El suceso más energético jamás observado por la humanidad, que radió más energía que todas las estrellas del universo durante ese tiempo.

Inicié con este cuento, espero que una curiosa historia de amor, mi charla “Gravisolitones y ondas no lineales” en el Simposio “Enseñanza, Divulgación e Historia de la Física”, conjunto en la XXXVI Reunión Bienal de la Real Sociedad Española de Física y en el 27º Encuentro Ibérico de Enseñanza de la Física. A pesar de su título se trataba de una charla dirigida a un público de profesores de física y química en educación secundaria. Mi objetivo fue motivarles a profundizar en este campo tan interesante. Presentación en PDF en la web Indico.

DIbujo20170720 john scott russell 1834 report on waves 1844

Hace mucho tiempo, antes de la llegada del ferrocarril, la capital de Escocia, Edimburgo, necesitaba carbón y minerales. En 1822 se construyó el Canal de la Unión, de unos 50 km de longitud y unos dos metros de profundidad, para proveer a la capital. El transporte de la carga se realizaba usando barcazas sin motor, que eran arrastradas por caballos desde una de las orillas del canal.

A sus 23 años, nuestro príncipe azul, el ingeniero naval John Scott Russell, recibió el encargo de desarrollar un sistema de propulsión a motor de vapor para las barcazas. Por ello recorría a caballo el canal para seguir a las barcazas durante su viaje. Un día de agosto de 1834, desde la otra orilla del canal, observó algo que cambiaría su vida por siempre y jamás. Los caballos que arrastraban una barcaza se pararon y ésta se detuvo de forma súbita. En su proa el agua se agitó de forma violenta, generando una ola que se alejó rápidamente de la barcaza.

Nuestro príncipe había encontrado a la princesa de sus sueños, una ola de unos 40 centímetros de alto y unos 9 metros de ancho que se movía a una velocidad de unos 14 km/h. La princesa de Russell húyó de él, cual cenicienta sin zapato de cristal, sin cambiar de forma, sin perder velocidad, sin descomponerse en olas más pequeñas. Nuestro príncipe la persiguió a caballo durante unos 3 km, hasta que la perdió de vista para siempre.

Dibujo20170726 fotos villatoro bienal rsef 2017 Manuela Martin Sanchez

Enamorado de la belleza de su inalcanzable princesa, sabía que nadie le iba a creer. Parecía imposible que existiera la ola solitaria de Russell. Como buen científico, nuestro príncipe decidió reproducir su ola en un pequeño canal anejo al Canal de la Unión. Tras 10 años de trabajo publicó una descripción detalla de la onda de Russell, la princesa de sus sueños, en “Report on Waves” (1844).

Muchos otros científicos, quizás envidiosos de la belleza de la onda de Russell, dudaron de que fuera real. Hamilton, quizás el mayor experto en ondas de la época, ocupado con sus cuaterniones, hizo oídos sordos del trabajo de Russell. George B. Airy (1801-1892) en 1845 y George G. Stokes (1819-1903) en 1847 publicaron demostraciones matemáticas de que la onda de Russell no podía existir. Su princesa solitaria tenía que ser producto de sus sueños. Su existencia era físicamente imposible.

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Por fortuna, nuestro príncipe azul encontró un gallardo mosquetero francés que salió en defensa de su amada. Joseph V. de Boussinesq (1842-1929) estudió las ondas de superficie en aguas someras y mostró que la onda de Russell podía existir en 1872. En contra de las ideas de Airy y Stokes obtuvo una ecuación matemática en 1877 que describía a la perfección las propiedades de la onda de Russell.

Por desgracia, esta ecuación no recibió el nombre del mosquetero; se llama ecuación de Korteweg-de Vries porque de Vries la obtuvo y estudió en la propagación de ondas solitarias en tubos elásticos en su tesis doctoral dirigida por Korteweg. Esta ecuación y las ondas de Russell quedaron en el olvido hasta después de la II Guerra Mundial, cuando reaparecieron en la física de plasmas.

Si algún día viajáis a Edimburgo, y os gusta pasear por el campo, no olvidéis visitar en el Canal de la Unión el puente de piedra que atesora una placa en honor de nuestro príncipe azul, Russell, y su princesa de ensueño, la onda solitaria.

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Yo soy físico computacional, uso ordenadores para estudiar las leyes de la Física. Esta foto muestra a John von Neumann, el padre de la Física Computacional, junto a su ordenador MANIAC en 1952. En 1946 von Neumann afirmó que algún día, mediante experimentos usando ordenadores, se descubrirían nuevas leyes físicas, nuevos fenómenos de la Naturaleza. Así ocurrió no mucho tiempo más tarde.

Pocos físicos han sido geniales tanto en física teórica como en física experimental. Enrico Fermi también lo hubiera sido en física computacional de no fallecer con 53 años de edad. En 1952 le propuso a Pasta y a Ulam el estudio usando el ordenador MANIAC de la equipartición de la energía en un sistema de osciladores no lineales acoplados (25 masas unidas por sendos muelles). El programa de ordenador fue escrito por la físico-matemática Mary Tsingou.

Se esperaba que al introducir energía un único modo vibratorio, se repartiera entre todos los modos por igual. Fermi quería estudiar la escala de tiempo del proceso. Para su sorpresa, la energía pasaba de unos modos a otros y retornaba a los primeros. La llamada recurrencia de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou fue la primera ley física de la Naturaleza descubierta usando ordenadores.

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Para entender el origen de la recurrencia, Norman Zabusky y Martin Kruskal decidieron estudiar mediante ordenador un análogo continuo. Kruskal obtuvo la ecuación de Korteweg-de Vries y el programa de ordenador fue escrito con ayuda de Gary S. Deem. En 1965, hace unos cincuenta años, observaron que una onda con forma de un coseno se descomponía en un conjunto de ondas de Russell que interaccionaban entre sí sin cambiar de forma ni de velocidad. Estas ondas solitarias sin pelo, cuya amplitud, anchura y velocidad está determinada por un único parámetro, fueron bautizadas como “solitones” (porque eran un análogo clásico a la dualidad onda-partícula). Como cenicienta, la princesa de Russell despertó de su letargo y su estudio se convirtió en un tópico candente.

El estudio de la princesa de Russell, gracias a la ecuación de Korteweg-de Vries obtenida por Boussinesq, fue tan intenso que pronto se descubrió el secreto de su belleza. La amplitud de la onda se podía interpretar como un pozo de potencial para partículas cuánticas descritas por la ecuación de Schrödinger. Cuando una función de onda incide en un pozo de potencial parte se refleja y parte se transmite. Pero existen pozos de potencial en 1+1 dimensiones que no reflejan nada de nada, solo transmiten. Lo más sorprendente es que estos pozos de potencial sin reflexión corresponden a los solitones de la ecuación de Korteweg-de Vries.

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En muchas ecuaciones de onda no lineales se conserva un análogo a la masa, al momento lineal y a la energía. La ecuación de Korteweg-de Vries tiene infinitos invariantes, infinitas cantidades conservadas, luego es integrable de forma completa en el sentido de Liouville. Gardner, Greene, Kruskal y Miura tras una serie de artículos desarrollaron el método espectral inverso, una especie de transformada de Fourier no lineal. Una ecuación es integrable por este método si es la condición de compatibilidad entre dos operadores lineales, uno en espacio y otro en tiempo, de tal forma que para sus soluciones los autovalores sean independientes del tiempo, y sus autofunciones compatibles.

La transformada espectral inversa se puede interpretar como una transformada de Fourier no lineal. La condición inicial se interpreta como un pozo de potencial; se resuelve el problema de dispersión (scattering) directo y se obtienen ciertos parámetros de scattering independientes del tiempo. Se usa el otro operador lineal para determinar la evolución en tiempo de estos parámetros. Finalmente , se resuelve un problema de scattering inverso que devuelve un nuevo pozo de potencial que depende del tiempo, la solución de la ecuación en derivadas parciales original. El procedimiento es parecido al uso de la transformada de Fourier para resolver ecuaciones en derivadas parciales lineales, por eso se suele llamar transformada de Fourier no lineal.

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En lugar de la ecuacion de Schrödinger se puede usar la ecuación de Dirac, con lo que el método GGKM se generaliza al método AKNS y se puede aplicar a muchas otras ecuaciones de evolución en 2D (1+1). Además de ecuaciones con primera derivada temporal, como la ecuación de Korteweg-de Vries, el método IST de AKNS se puede aplicar a ecuaciones con segunda derivada temporal, como la ecuación seno-Gordon (una ecuación de Klein-Gordon con un coseno como potencial no lineal) y otras ecuaciones de onda no lineales.

Las ecuaciones de Einstein de la gravitación son ecuaciones de onda no lineales si se separa el tiempo del espacio vía una flecha del tiempo (una foliación adecuada). Usando un gauge adecuado se aproxima el tensor de Ricci por un operador de d’Alembert para ondas lineales (aparecen términos no lineales cuando se consideran efectos a mayor orden). Por tanto, las ondas gravitacionales son un fenómeno intrínseco a estas ecuaciones. Y el método IST de AKNS podría ser aplicado a dichas ecuaciones de onda no lineales.

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El premio Nobel de Física 1979, Abdus Salam, conjeturó que los agujeros negros eran solitones y por tanto que existían los solitones gravitacionales. Un agujero negro es una solución 4D (3+1), pero añadiendo dos simetrías (que la solución sea estacionaria y axilsimétrica), vía dos vectores de Killing, la métrica se reduce a 2D (1+1) junto a un factor de escala para las otras dimensiones.

La solución más general de las ecuaciones de Einstein para el vacío de tipo estacionario y axilsimétrica es un agujero negro de Kerr-NUT (Newman-Unti-Tamburino) con tres parámetros. El parámetro b de NUT debe ser b=0 para evitar una singularidad anular desnuda más allá del horizonte. El parámetro a de Kerr describe el momento angular del agujero negro en rotación. Y el parámetro m corresponde a la masa equivalente del agujero negro.

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Belinski y Zakharov observaron que las ecuaciones para la métrica 2D cuando hay dos simetrías (vectores de Killing) son análogas a un par AKNS (a veces también llamado par de Lax). Así desarrollaron el método espectral inverso en la relatividad general e introdujeron con rigor el concepto de solitones gravitacionales (o gravisolitones). Todas las soluciones exactas conocidas de las ecuaciones de Einstein son gravisolitones.

El método de Belinski y Zakharov parte de una métrica de base (background) que se reviste mediante un operador matricial que se puede descomponer en una suma de polos. Lo habitual en la teoría de solitones es que los polos (autovalores) sean independientes del tiempo; sin embargo, en el método BZ son solución de ecuaciones diferenciales y, por ello, se habla de trayectorias de polos. Greacias a ello aparecen nuevos fenómenos, como la fusión de dos gravisolitones, que no se suelen observar entre solitones.

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Los interesados en los detalles disfrutarán de este libro de Belinski y el español Verdaguer. Los agujeros negros son solitones gravitacionales, las soluciones cosmológicas también lo son, incluso las ondas gravitacionales no lineales, como las ondas cilíndricas de Einstein-Rosen y las ondas planas, son solitones gravitacionales. Repito, todas las soluciones exactas conocidas de las ecuaciones de Einstein son gravisolitones.

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LIGO ha observado ondas gravitacionales originadas por la fusión de parejas de agujeros negros astrofísicos. En teoría de la gravitación se llama solución tipo pantalón a la que corresponde a la fusión de dos agujeros negros en rotación mutua. Las perneras del pantalón son los agujeros negros que giran en espiral como si estuvieran bailando. La entrepierna del pantalón es el merger, la fuente principal de ondas gravitacionales durante la fusión. Y la cintura del pantalón es el agujero negro naciente.

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El secreto de la enorme emisión de ondas gravitacionales durante la fusión está en la entrepierna del pantalón. Los horizontes de sucesos de los agujeros negros en rotación se deforman como si fueran lágrimas, lanzando pequeños brazos hasta que se tocan. En ese momento aparece un anillo negro, un horizonte de sucesos con topología no trivial. Una solución muy inestable que desaparece en milésimas de segundo emitiendo unas 2,5 masas solares en energía gravitacional.

Esta figura muestra una simulación numérica mediante superordenador del merger de la fusión de agujeros negros observada en septiembre del año pasado. Entre estos dos horizontes de sucesos deformados como si fueran globos aparece un anillo negro, muy inestable, de unos 7 km de diámetro. Este merger que emite unas 2,5 masas solares en ondas gravitacionales no se parece en nada a un agujero negro.

Mi objetivo con esta charla es incentivaros a profundizar más en la teoría de solitones gravitacionales. Hay muchos problemas sin resolver, como la acción en detalle del censor cósmico para revestir con un horizonte las singularidades desnudas que aparecen en las colisiones de ondas cilíndricas y agujeros negros. Los gravisolitones son muy diferentes de los solitones, pero su comportamiento es apasionante. LIGO está observando gravisolitones.

11 Comentarios

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Gabriel DomínguezGabriel Domínguez

Francis: esta entrada ¿es el contenido de la conferencia o una “versión extendida” de la misma? ¿Se publicará un vídeo -o un audio al menos- de esta conferencia? Una vez más, gracias por divulgar lo más interesante y novedoso de la Física.

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

Gabriel:

No se publicarán, Francis ya dijo que desafortunadamente no se habían grabado las charlas.

Francisco R. Villatoro

Gabriel, el guión de la charla, luego debe reflejarla bastante bien; aunque estaba preparada para 30 minutos y me pidió el chairman que me limitara a 25 minutos, luego dedicí contar menos en la parte más matemática, de GGKM a BZ.

Gabriel DomínguezGabriel Domínguez

Toda mi admiración hacia los que hayan entendido el apartado matemático de tu charla, Francis. Yo… no acabo de entender qué tiene de ‘especial’ la onda que se propaga hacia adelante después de detenerse la barcaza… ¿no es pura inercia?

Por cierto, después del gráfico “ISM-AKNS” se repite el párrafo “En muchas ecuaciones de onda no lineales…”, que ya aparece un poco antes.

Pedro MascarósPedro Mascarós

“…en 1845 y George G. Stokes (1819-1903) en 1847 publicaron demostraciones matemáticas de que la onda de Russell no podía existir…”

Francis, ¿cómo es posible que hubieran demostraciones de que no podían existir? , ¿no eran realmente demostraciones completas?, ¿tenían suposiciones o conjeturas que resultaron falsas?, ¿eran simplemente erróneas?

Francisco R. Villatoro

Pedro, la demostración se basa en linealizar las ecuaciones de Navier-Stokes; resulta una relación de dispersión de tipo tangente hiperbólica, que via desarrollo de Taylor da una serie en potencias pares, luego siempre hay dispersión (las derivadas mayores a la segunda no se pueden anular). A finales del siglo XIX no se sabía que había soluciones de una ecuación de evolución no lineal que podían desaparecer en el proceso de linealización.

La ecuaciones de Boussinesq son no lineales, pero su deducción no convencía a Airy, que murió pensando que las ondas de Russell eran un artefacto inexistente; a Stokes le convencieron al final de su vida, pero a regañadientes. Hasta los 1990 no se logró demostrar con rigor matemático que las ecuaciones de Navier-Stokes describen ondas de Russell.

Por cierto, a finales del XIX también hubo demostraciones matemáticas de que los pájaros no podían volar según las ecuaciones de Navier-Stokes-Stokes (y volaban por influjo divino). Tras el primer vuelo de los Wright (donde el influjo divino no era posible) se desarrolló la primera teoria que explica por qué un ala de pájaro o avión puede volar.

Perico el cruelPerico el cruel

Francis, he leído en más de un sitio una relación entre los gravitones y las ondas gravitacionales; me cuesta mucho relacionar lo que sería el campo gravitatorio como producto de deformación espacio-temporal, con la idea de partículas que intercambian energía y producen la gravedad…¿casan realmente las dos ideas?, es decir ¿pueden ser las dos cosas ciertas, la solución geométrica y los gravitones?

Francisco R. Villatoro

Perico, no sabemos si los gravitones existen, pero en su caso hemos observado ondas con más de 10^50 gravitones; hablar de gravitones en relación a dichas ondas es como hablar de quarks para explicar cómo se derrama el agua de tu vaso.

GroovyGroovy

Magnífico artículo. Tengamos en cuenta que la TRG tiene un siglo de existencia y todavía se presenta resistencia a aceptar los pulsos gravitacionales, que son radiativos. ¿A qué se debe la resistencia? No tengo la menor idea, solo sé que la secuencia lógica de los hechos apunta que J. Weber y sus colaboradores detectaron los pulsos y LIGO no ha hecho otra cosa que confirmarlos usando una tecnología diferente a la weberiana. En 1916 Einstein encontró soluciones de tipo ondulatorio a sus ecuaciones en el régimen de campo débil. Pero fue en 1957 en la reunión de Chapel Hill, Carolina del Norte, donde se puso sobre el tapete la posibilidad de medir los pulsos gravitacionales. Recordemos que lo que impulsó a Weber a fabricar sus aparatos fue una sugerencia de Hermann Bondi, astrofísico y matemático, y coautor de la teoría estacionaria con Gold y Hoyle. Es decir, un grupo variado de científicos empujaron para que hubiese verificación experimental de las ondas de la gravedad. Es evidente que la tarea de localizarlas tiene dificultades y que hay que mejorar la precisión de los detectores pero no entiendo la resistencia a aceptar los pulsos gravitacionales.

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