La sorpresa de la función seno cardinal (sinc)

Dibujo20170824 sinc function wikipedia

Las sorpresas son algo habitual en matemáticas. Muchas de ellas están asociadas al peligro de extrapolar observaciones. Te voy a poner un famoso ejemplo que usa la función seno cardinal (sinc). Esta función se usa mucho en procesado digital de señales y teoría de la información, pues aparece en el teorema del muestreo de Shannon. También se usa en análisis numérico, física computacional e ingeniería computacional.

La definición de esta función es

\displaystyle\mathrm{sinc}\,(x)=\frac{\mathrm{sin}\,(x)}{x}\,,\qquad \mathrm{sinc}\,(0)=1\,,

y su representación gráfica es la curva roja de la figura. La cuestión que te voy a plantear está relacionada con el cálculo de integrales de productos de esta función. Puedes comprobar fácilmente que las siguientes identidades son verdad:

\displaystyle\int_0^\infty\mathrm{sinc}\,x\,dx = \frac{\pi}{2}\,,

\displaystyle\int_0^\infty\mathrm{sinc}\,x\,\mathrm{sinc}\,\frac{x}{3}\,dx = \frac{\pi}{2}\,,

\displaystyle\int_0^\infty\mathrm{sinc}\,x\,\mathrm{sinc}\,\frac{x}{3}\,\mathrm{sinc}\,\frac{x}{5}\,dx = \frac{\pi}{2}\,,

\displaystyle\int_0^\infty\mathrm{sinc}\,x\,\mathrm{sinc}\,\frac{x}{3}\,\mathrm{sinc}\,\frac{x}{5}\,\mathrm{sinc}\,\frac{x}{7}\,dx = \frac{\pi}{2}\,,

\displaystyle\int_0^\infty\mathrm{sinc}\,x\,\mathrm{sinc}\,\frac{x}{3}\,\mathrm{sinc}\,\frac{x}{5}\,\mathrm{sinc}\,\frac{x}{7}\,\mathrm{sinc}\,\frac{x}{9}\,dx = \frac{\pi}{2}\,,

\displaystyle\int_0^\infty\mathrm{sinc}\,x\,\mathrm{sinc}\,\frac{x}{3}\,\mathrm{sinc}\,\frac{x}{5}\,\mathrm{sinc}\,\frac{x}{7}\,\mathrm{sinc}\,\frac{x}{9}\,\mathrm{sinc}\,\frac{x}{11}\,dx = \frac{\pi}{2}\,,

\displaystyle\int_0^\infty\mathrm{sinc}\,x\,\mathrm{sinc}\,\frac{x}{3}\,\mathrm{sinc}\,\frac{x}{5}\,\mathrm{sinc}\,\frac{x}{7}\,\mathrm{sinc}\,\frac{x}{9}\,\mathrm{sinc}\,\frac{x}{11}\,\mathrm{sinc}\,\frac{x}{13}\,dx = \frac{\pi}{2}\,,

La pregunta que quiero que pienses, primero, y que resuelvas, después, es cuánto vale la siguiente integral:

\displaystyle\int_0^\infty\mathrm{sinc}\,x\,\mathrm{sinc}\,\frac{x}{3}\,\mathrm{sinc}\,\frac{x}{5}\,\mathrm{sinc}\,\frac{x}{7}\,\mathrm{sinc}\,\frac{x}{9}\,\mathrm{sinc}\,\frac{x}{11}\,\mathrm{sinc}\,\frac{x}{13}\,\mathrm{sinc}\,\frac{x}{15}\,dx\,.

La respuesta, como ya se indica en los comentarios, es que las integrales que valen \pi/2 cumplen que 1 > 1/3 + 1/5 +\cdots+1/13, mientras que cuando se cumple 1<1/3 + 1/5 +\cdots+1/15, su valor es más pequeño, en concreto

\displaystyle\int_0^\infty \prod_{k=1}^{n} \mathrm{sinc}\,\frac{x}{2\,k+1}\,\,dx<\frac{\pi}{2}\,, \qquad n\ge{7}\,.

El valor para n=7 es exactamente igual a

\displaystyle\frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}\,\pi\approx{}0.499999999992646\cdots\,\pi\,.

Este resultado aparece por primera vez en Georg Pólya, “Berechnung eines bestimmten Integrals,” Mathematische Annalen: 74: 204-212 (1913), doi: 10.1007/BF01456040 (pp. 208-209). Pero es famoso tras su redescubrimiento por David Borwein, Jonathan M. Borwein, “Some Remarkable Properties of Sinc and Related Integrals,” The Ramanujan Journal 5: 73-89 (2001), doi: 10.1023/A:1011497; una demostración gráfica (basada en la transformada de Fourier) se publicó en Hanspeter Schmid, “Two curious integrals and a graphic proof,” Elemente der Mathematik 69: 11-17 (2014), doi: 10.4171/EM/239. Permíteme que siga este último para ilustrar cómo se demuestra la fórmula

\displaystyle{}2\,\tau_n=\int_{-\infty}^{\infty}\prod_{k=0}^n\mathrm{sinc}\,(a_k\,x)\,dx\,,

\displaystyle{}2\,\tau_n = \frac{\pi}{a_0}\,, \qquad \sum_{k=1}^n a_k\le{a_0}\,,

\displaystyle{}2\,\tau_n < 2\,\tau_{n-1}\,,\qquad\sum_{k=1}^n a_k>{a_0}\,.

Una integral se puede calcular usando la transformada de Fourier del integrando de la forma

\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=F(0)\,,

\displaystyle{}F(\omega)=\mathbb{F}(f(x))=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,e^{-j\,\omega\,x}\,dx\,,

donde j=\sqrt{-1}. La transformada de Fourier de la función seno cardinal es un rectángulo

\displaystyle\mathbb{F}(\mathrm{sinc}\,(x))=\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{sinc}\,(a_k\,x)\,e^{-j\,\omega\,x}\,dx=\frac{2\,\pi}{2\,a_k}\,\mathrm{rect}\,\omega/(2\,a_k)\,,

donde \mathrm{rect}(x)=1, para |x|<1/2, y \mathrm{rect}(x)=0, para |x|>1/2.

La transformada de Fourier de un producto de funciones es igual al producto de convolución de sus transformadas individuales, es decir,

\displaystyle\mathbb{F}(f(x)\,g(x))=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,g(x)\,e^{-j\,\omega\,x}\,dx=F(\omega)\ast\frac{1}{2\,\pi}G(\omega)\,.

Dibujo20170824 rect convolutions hanspeter schmid elem math 2014

Para una sucesión \{a_k\}, con a_k{\ge}a_{k+1}, podemos definir F_0(\omega)=a_0\,\mathrm{rect}\,(a_0\,\omega), y de forma recursiva F_k(\omega)=F_{k-1}(\omega)\ast{a_k}\,\mathrm{rect}\,(a_k\,\omega); es fácil ver que la anchura de la función F_0(\omega) es a_0 y la de la funciones F_k(\omega) es a_0+a_1+\cdots+a_k. El valor F_k(0) será igual a 1 cuando esta anchura es menor que la anchura del primer rectángulo, a_0. En otro caso, el producto de convolución erosionará el valor en cero y hará que adquiera un valor menor que la unidad. Por tanto, se ha demostrado gráficamente que

\displaystyle{}F_n(0)=1\,,\qquad \sum_{k=1}^n a_k \le a_0\,,

\displaystyle{}F_n(0)<F_{n-1}(0)\,,\qquad\sum_{k=1}^n a_k>a_0\,.

Con esta expresión se demuestra la fórmula de arriba.

Hay fórmulas matemáticas mucho más sorprendentes, como la igualdad

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\prod_{k=0}^n\mathrm{sinc}\left(\frac{n}{2k+1}\right)=-\frac{1}{2}+\int_{0}^{\infty}\prod_{k=0}^n\mathrm{sinc}\left(\frac{n}{2k+1}\right)\,dx\,,\qquad n\le{40248}\,,

que es falsa para todos los enteros mayores de 40248. Más información en Robert Baillie, David Borwein, Jonathan M. Borwein, “Surprising Sinc Sums and Integrals,” The American Mathematical Monthly 115: 888-901 (2008), http://www.jstor.org/stable/27642636.

Todos estos ejemplos nos muestran que no se puede demostrar una verdad matemática, como la hipótesis de Riemann, mediante experimentos computacionales. Hay verdades aparentes que son válidas para todos los casos estudiados hasta ahora, pero que podrían no serlo para un caso aún no considerado.


13 Comentarios

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ÑbrevuÑbrevu

Conozco el resultado, pero no lo voy a decir por aquí para no destriparlo :). Lo único que diré es que, obviamente, el resultado no es pi/2, ni pi/2 multiplicado por 2, ni por 0, sino pi/2 multiplicado por un número que no es entero. Una vez vi referirse a esta secuencia como “el concepto que tienen las matemáticas de una broma pesada”.

Eso sí, conozco el resultado pero no me sé al dedillo la razón por la que era así. Espero una explicación detallada, y a ver si me entero exactamente de cuál era la razón por la que esto ocurría. Recuerdo que tenía algo que ver con el hecho de que 1 + 1/3 + … + 1/13 es un poquito menos de 2, y que 1 + 1/3 + … + 1/15 es un poquito más de 2.

HectorHector

Como dice Francis en el texto: “Las sorpresas son algo habitual en matemáticas. Muchas de ellas están asociadas al peligro de extrapolar observaciones.”

Diego RuizDiego Ruiz

Me huelo que algo relacionado con la función signo, ¿es posible?
Espero no haber dicho nada que “chafe” el acertijo.
¡Un saludo!

P.D.: ¿Se puede escribir directamente con LaTeX aquí, en los comentarios?

Pedro MascarósPedro Mascarós

A ojo de buen cubero, como
sinc(x/a) = a*sin(x/a)/x
y por lo tanto tienes el producto de senos
((3*5*7*…*15.)/x^8)sinx*sin(x/3)*sin(x/5)*….*sin(15)

se me ocurre que si le aplicáramos las identidades de toda la vida

sin(a)*sin(b) = (1/2)(cos(a-b) – cos(a+b)) y
sin(a)cos(b) = (1/2)(sin(a+b) + sin(a-b))

para finalmente tener una suma de integrales de senos o cosenos cuyos ángulos son todas las combinaciones de suma y resta de x, x/3, x/5, …, x/15, pues no es posible que la última integral dé lo mismo que las anteriores, ya que no va a seguir la pauta de tener todos los ángulos positivos, ya que

1-(1/3)-(1/5)-(1/7)-(1/9)-(1/11)-(1/13) = 0.07 resultado positivo, pero

1-(1/3)-(1/5)-(1/7)-(1/9)-(1/11)-(1/13)-(1/15) = -0,021 negativo

Pero vamos, seguro que se puede simplificar mucho más y dar un resultado a la integral fácilmente.

Andrés GuzmánAndrés Guzmán

Primero trate de usar integración de variable compleja. Pero no llegué muy lejos, fundamentalmente porque los productos de sincs no se pueden expresar fácilmente como productos de funciones como Exp[ix]/x. También intenté usar directamente la función sinc definida en el plano complejo: sen(z)/z. Lamentablemente, el contorno típico, vale decir, aquél que incluye la recta real más la semicircunferencia extendida al infinito no se comporta bien. Particularmente, no podemos aplicar el lema de Jordan a la integral de la semicircunferencia infinita. Integración de variable compleja entonces no fue muy útil.

Afortunadamente recordé la propiedad probablemente más importante de sinc: su transformada de Fourier es muy simple, consistiendo solo en una función ventana. Los productos de las sincs están relacionados con convoluciones de funciones ventana cada vez más estrechas. La integral pedida está relacionada con el valor de la convolución en el punto 0. El valor de la convolucion en cero es siempre constante, ya que sucesivas convoluciones van “suavizando” sólo los bordes de la primera ventana, sucesivamente. Sin embargo, la “suavizacion” alcanza el punto 0 justo entre 13 y 15 (aritméticamente, la razón está relacionada con lo que dijo alguien más arriba, que las sumas de los impares hasta 13 es menor que 1 pero hasta 15 es mayor que 1). El valor exacto de la integral no lo calculé, pero suena a un ejercicio algo tedioso. Me sorprendería si fuera un número “bonito”.

Bueno, si mi interpretación es correcta, supongo que podría conjeturar que, para todo n entero positivo:
\int^\infty_0 sinc(x) sinc(x/10^1) sinc(x/10^2)…sinc(x/10^n) dx =\pi/2
ya que las sucesivas suavizaciones de ventanas que se hacen angostas tan rápidamente nunca llegarían a influir el valor cerca de cero. El numero podría ser menor que 10, pero de esta manera me aseguro (creo).

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

“Si es falso que las Matemáticas enseñan a pensar, por lo menos debe admitirse que enseñan lo fácil que es estar equivocado”

He llegado tarde a este post :( pero como siempre: Francis ha hecho un trabajo maravilloso.

Antes me veía desmotivado por el número tan elevado de contraejemplos que tienen algunas ramas de la Matemática, incluso hay dos libros (hay más) particularmente famosos dedicados a contraejemplos en análisis y topología.

Lo emocionante de las Matemáticas es justamente eso, de poco sirve enfrentarte a problemas en los que es fácil intuir la respuesta, es parecido a hacer un viaje, siempre es mucho más emocionante ir a donde puedes perderte y aprender a no hacerlo

Un enlace a una lista de errores comunes en Matemáticas.

https://mathoverflow.net/questions/2...mathematics

Pedro MascarósPedro Mascarós

Ramiroooooo, que has llegado tarde a este pequeño reto que es de lo tuyo, de mates.
Yo lo leí por la tarde, y de camino a casa, desde el trabajo ,y después en casa, hasta que ya vi por donde iban los tiros, anduve absorto; mi mujer me preguntó si todo iba bien jajaja. Al día siguiente anduve por el stack exchange de matemáticas para aclarar dudas surgidas.

A veces pienso que si le pusiera el mismo interés a mi trabajo, sería un crack jaajaja

Sea como fuere, Ramiro, trabajando o estudiando, siempre un ratito para ver si Francis ha publicado. Fundamental

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

Gracias por su amable comentario Pedro.

Me alegra mucho leer que tuvo el placer de pensar en Matemáticas, nada mal para pasar una tarde, aunque hay peligro de ser descortés con la gente 😉

Que bueno también que visite Math Stack Exchange, se aprende muchísmo y creo hace bien encontrar espacios para reunirse con personas que tienen mismos intereses. Ahí fallan las redes sociales, no hay mucho espacio para hablar con suficiente profundidad. Aunque su gracia tienen.

Lo mejor para usted Pedro. Espero leerle por aquí pronto

GuillermoGuillermo

El resultado se obtienen directamente en Mathematica sin mas que escribir directamente la entrada:

Integrate[Product [Sinc[x/(2 k + 1)], {k, 0, 7}], {x, 0, Infinity}]

Out[1]=
(467807924713440738696537864469 Pi])/935615849440640907310521750000

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