El significado matemático de la tablilla babilónica Plimpton 322

Dibujo20170906 plimpton 322 babylonian clay tablet cuneiform 1800 bc columbia university

La tablilla de barro Plimpton 322 muestra 60 números en 15 filas y 4 columnas. Se sabe que es un trozo de una tablilla más grande que tenía 38 filas y 8 columnas. ¿Para qué servía? La hipótesis más sólida es que era una tablilla escolar. Los babilonios usaban tablillas escolares con el enunciado de un problema matemático por una cara y su solución por la otra. La tablilla Plimpton 322 no tiene nada escrito por detrás; en la parte de la tablilla que falta estaría el enunciado: calcular las soluciones de la ecuación a²=b²+c² ordenadas por (a/b)²; solo hay 38 soluciones en el álgebra babilónica y en la tablilla aparecen las 15 primeras.

Habrás leído noticias que afirman que la tablilla Plimpton 322, datada en 1800 a. e. c., es una tabla trigonométrica de Babilonia. Por desgracia, esta hipótesis no tiene ni pies ni cabeza; su origen es un matemático que quiere vender un libro suyo sobre trigonometría. No hay ningún indicio histórico de que los babilonios conocieran el concepto de ángulo o de secante (la función trigonométrica “calculada” en la tablilla). Dicha hipótesis es una interpretación presentista (leer el pasado con ojos del presente). La trigonometría es una rama de las matemáticas que nació con los astrónomos griegos 1500 años más tarde.

Permíteme que te explique el contenido de la tablilla siguiendo a Derek J. de Solla Price, “The Babylonian “Pythagorean Triangle” Tablet,” Centaurus 10: 1-13 (1964), doi: 10.1111/j.1600-0498.1964.tb00385.x; la hipótesis de que esta tablilla es una tabla de ternas pitagóricas es de O. Neugebauer, A. Sachs, “Mathematical Cuneiform Texts,” American Oriental Society (1945) [link]. Por supuesto, se trata de la hipótesis que hoy aparece en todos los libros de historia de las matemáticas; recomiendo el capítulo 3 de Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach, “A History of Mathematics,” John Wiley & Sons (1968) [link].

[PS] Sobre números pitagóricos y su construcción, recomiendo la lectura de Miguel Ángel Morales Medina, alias ^DiAmOnD^, “Cómo contruir triángulos pitagóricos,” Gaussianos, 30 Nov 2006. [/PS]

Dibujo20170906 cuneiform numerals writting

Los sumerios y babilonios usaban una sistema de numeración sexagesimal (en base 60 = 5 × 12). ¿Por qué 60? Supongo que sabrás la razón. Tenemos cinco dedos en cada mano, dos falanges en el dedo pulgar y tres falanges en los otro cuatro dedos. Podemos contar hasta doce con una mano usando el pulgar y señalando a cada falange en cierto orden; con la otra mano podemos contar hasta cinco; por tanto, con ambas manos podemos contar hasta 60. Por cierto, “¿Cómo puedes contar hasta doce con los dedos de una sola mano?” LCMF, 23 Abr 2012.

En la escritura cuneiforme se usaban dos símbolos para escribir los números, el clavo (1) y la cuña (10). Como muestra los números del 1 al 9 se representaban con clavos agrupados en filas de como mucho tres clavos seguidos. Los números entre el 10 y el 59 se representaban con tantas cuñas como decenas y tantos clavos como unidades. Para representar números más grandes se usaba una notación posicional con estos números separadas por espacios cortos. Por ejemplo, 61 = 1 (60) + 1 era clavo, espacio corto, clavo; 122 = 2 (60) + 2 era dos clavos, espacio corto, dos clavos.

No existía notación para el cero, usándose un espacio largo. No se podían repetir espacios largos, lo que generaba cierta ambigüedad con los ceros repetidos; lo sabemos porque muchas tablillas tienen errores debido a ello (Plimpton 322 es un ejemplo). Por ejemplo, los números 3601 = 1 (60)² + 0 (60) + 1, y 216001 = 1 (60)³ + 0 (60)² + 0 (60) + 1, se escribían igual como clavo, espacio largo, clavo. Tampoco existían los ceros por la izquierda o por la derecha. Por ello, los números 1, 60 y 3600 se escribían con un clavo (el contexto determina el valor correcto).

Los babilonios conocían los números fraccionarios, pero no tenían un símbolo para la coma decimal. Por ello, un clavo podía representar los números 1, 60, 1/60, 3600, 1/3600, etc. Los dígitos sexagesimales 1, 51, 10 podía representar los números 400200 = 1 (60)³ + 51 (60)² + 10 (60), 6670 = 1 (60)² + 51 (60) + 10, 111,167 = 1 (60) + 51 + 10/(60), 1,85278 = 1 + 51/(60) + 10/(60)², 0,0308796 = 1/(60) + 51/(60)² + 10/(60)³, etc. Repito, el contexto determinaba en cada caso de qué número se trataba.

Dibujo20170906 sexagesimal numbers in plimpton 322 babylonian clay tablet

Sabemos que los babilonios conocían los rudimentos del álgebra. Sabían multiplicar, dividir, calcular raíces cuadradas y raíces cúbicas (para esto último usaban el método numérico de la bisección). Sabían resolver ecuaciones cuadráticas con raíces positivas como x² + p x = q, x² = p x + q, y x² + q =p x, con p y q positivos (recuerda que en dicho caso la ecuación x² + p x + q = 0 tiene raíces negativas); usaban la misma fórmula que tú estudiaste en la escuela, por ejemplo, para x² + p x = q, calculaban x = sqrt( (p/2)² + q) + p/2. También sabían resolver ecuaciones cúbicas como p x³ + q x² = q, y similares; por cierto, ¿sabrías resolver esta ecuación cúbica?

La tablilla Plimpton 322 presenta las soluciones de la ecuación pitagórica a²=b²+c²; tú sabes que esta ecuación tiene infinitas soluciones llamadas ternas pitagóricas, que representan los tres lados de un triángulo rectángulo (con un ángulo de 90 grados). Los babilonios no conocían el concepto de infinito, así que solo sabían calcular un número finito de soluciones a esta ecuación. Para ello usaban la fórmula (p² + q²)² = (2 p q)² + (p² − q²)², donde la hipotenusa es a = p² + q², el cateto largo es b = 2 p q y el cateto corto es c = p² − q². Tomando esta fórmula para 1 ≤ q < p ≤ 60 se obtienen 38 soluciones babilónicas (ternas pitagóricas).

En concreto, en el trozo de la tablilla Plimpton 322 que conocemos aparecen 15 ternas pitagóricas; la primera columna es (a/b)² = (p² + q²)²/(2 p q)², la segunda es c = p² − q², la tercera es a = p² + q², y la cuerta es un ordinal (números de 1 al 15). Las filas de la tablilla están ordenadas de forma decreciente en (a/b)². Si sabes trigonometría, sabrás que (a/b)² = (sec θ)², donde θ es el ángulo opuesto al cateto corto c, o el formado por la hipotenusa a y el cateto largo b. Pero si no sabes trigonometría, porque los babilonios no la sabían, solo es una manera bastante natural de ordenar las soluciones (a mí me parece natural, no sé a ti).

Dibujo20170906 proposed reconstruction plimpton 322 babylonian clay tablet

Esta tabla te muestra la reconstrucción completa de lo que sería la tablilla Plimpton 322 con sus 38 filas y 8 columnas (recuerda que solo se conserva el trozo recuadrado con 15 filas y 4 columnas). Si le das la vuelta a la tablilla de arriba a abajo (lo habitual entre babilonios) y escribes por la parte trasera el enunciado del problema de esta tablilla escolar, resultaría que aparecería en la parte que no se conserva de la tablilla. No sé qué piensas, pero a mí me resulta una hipótesis muy natural para explicar la tablilla Plimpton 322.

Por supuesto, la opinión de los historiadores de la matemática que han estudiado esta tablilla desde 1945 no es tan sensacionalista como la opinión de un australiano que quiere vender su libro de trigonometría. Este matemático australiano, que no es experto en historia antigua de la matemática, ofrece una hipótesis mucho más atractiva que la opinión de los expertos. Más aún, recomienda la lectura de su libro. Pero lo siento, querido lector, me niego a citar el artículo en Historia Mathematica del australiano y su libro sobre la divina proporción, la trigonometría racional y la geometría universal. Si estuvieras interesado, busca en Google.


30 Comentarios

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Crul

El interfecto ha comenzado hace poco una serie de vídeos sobre las matemáticas de la antigua Babilonia (Old Babylonian Mathematics) y la tablilla Plimpton 322 en el canal de N J Wildberger.

Gracias por el aviso.

Hèctor

Interesante entrada Francis. La verdad es que tengo un poco olvidada esta parte de la historia de las matemáticas así que por eso quería preguntar una cosa. Has dicho que los babilonios podían resolver ciertas ecuaciones cúbicas. Igual recuerdo mal, pero, ¿no las resolvían a través de tablas? ¿O tenían fórmulas para casos concretos (fórmula general no porque esa llegó siglos después)? Es que me suena algo de que partían de las soluciones y multiplicando tres factores del estilo x-a llegaban a la ecuación cúbica pero leyendo la entrada me ha entrado la duda.

Francisco R. Villatoro

Héctor, parece ser que usaban algoritmos. Boyer dice en su libro “Mesopotamian mathematicians were skillful in developing algorithmic procedures, among which was a square-root process often ascribed to later men.” También dice que para resolver la ecuación x² – x = 870 hay una tablilla que dice “Take half of 1, which is 0;30, and multiply 0;30 by 0;30, which is 0;15; add this to 14,30 to get 14,30;15. This is the square of 29;30. Now add 0;30 to 29;30, and the result is 30, the side of the square.” Este algoritmo es la fórmula x = sqrt( (p/2)² + q) + p/2.

Pero para las ecuaciones cúbicas preferían el uso de la interpolación en tablas. Boyer dice: “Pure cubics, such as x^3 = 0;7,30, were solved by direct reference to tables of cubes and cube roots, where the solution x = 0;30 was read off. Linear interpolation within the tables was used to find approximations for values not listed in the tables. Mixed cubics in the standard form x^3 + x^2 = a were solved similarly by reference to the available tables which listed values of the combination n^3 + n^2 for integral values of n from 1 to 30.” Pero Boyer también indica que para ecuaciones más complicadas usaban un algoritmo que reducía la cúbica a una con dicha forma. “For still more general cases of equations of third degree, such as 144 x^3 + 12 x2 = 21, the Babylonians used their method of substitution. Multiplying both sides by 12 and using y = 12 x, the equation becomes y^3 + y^2 = 4,12, from which y is found to be equal to 6, hence x is just 0;30.”

Por cierto, para dividir usaban la multiplicación por el inverso: “Division was not carried out by the clumsy duplication method of the Egyptians, but through an easy multiplication of the dividend by the reciprocal of the divisor, using the appropriate items in the table texts. Just as today the quotient of 34 divided by 5 is easily found by multiplying 34 by 2 and shifting the decimal point.”

Pedro MascarósPedro Mascarós

A ver, a ver, permitidme que haga de abogado del diablo, porque si bien es cierto que N. J. Wildberger se está pasando dos pueblos con este tema, yo lo sigo desde hace varios años y tiene dos vertientes muy distinguibles; una como constructivista extremista, y otra como profesor; la primera parte es chunga, de hecho yo lo he visto en debates y no escucha, no atiende a razones; su defensa de los números racionales y su desdén al infinito en acto o los números que no sean racionales (o complejos con racionales) le lleva a tergiversar, eso es cierto.

Pero la parte como profesor es intachable, no solamente llena las clases en south wales, es que tiene un montón de series buenísimas, por ejemplo de historia de las demostraciones, o de geometría…y si veis sus clases grabadas, o aquellas series de youtube que no versen sobre sus ideas constructivistas, veréis que no mezcla sus inclinaciones, y explica las cosas en un inglés simple fenomenalmente bien.
No será experto en historia, pero sí lo es en números racionales y tiene una buena beca del heraldo público australiano por estas investigaciones, además de lo que cobrará en la universidad, por lo que yo dudo que busque vender su libro por tema monetario, simplemente quiere vender su idea, quiere convencernos a todos ¿ser famoso? Es posible.

Le falta actitud científica cuando se trata de defender sus ideas, pero es un gran profesor.

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

Grandísimo comentario Pedro.

También sigo a Wildberger desde hace años; repitiendo lo que dices: Como profesor es extraordinario. Yo he visto muchas de sus lecciones y en particular recomiendo con mucha fuerza ver las de topología algebraica (especialmente si uno está comenzando), enfatiza las preguntas elementales que trata de contestar la topología, preguntas propias de un niño, tales como resolver Puzzles, distinguir formas o construir juguetes. Si

Para crear polémica: Me atrevo a recomendar sus lecciones de geometría diferencial, son particularmete interesantes pues se enfrenta de golpe con el problema de “hacer cálculo diferencial” usando sólo racionales. ¿El resultado? no sé, será interesantísimo debatir si sus artificios son equivalentes a usar números reales (yo creo que si). El beneficio de ver las lecciones es que son muy buenas y si uno se detiene a pensar cae en cuenta que la resiliencia de Wildberger a usar las propiedades de completitud de los reales y funciones trascendentes hace que la clase tenga un sabor a geometría algebraica y mejor aún: Aisla los resultados que se generalizan a geometría sobre anillos (conmutativo y con unidad) más generales.

Quiero decir: Uno puede mirar las lecciones de goemetría y en donde Wildberger pone a los racionales fingir que tenemos algo como un dominio entero (con alguna valuación) y aprender de paso un poco de geometría algebraica 😀 !!

La joya de Wildberger es el curso de Topología, aunque dudo que se pueda aprender a resolver el nivel de problemas que piden en un curso, Wildberger se ensucia las manos haciendo ejemplos muy explícitos, haciendo repasos, calculando mucho y dedicando clases completas a conceptos importantes. Y en cuanto a sus posturas, aquí no hay problema, se puede pensar en todo momento que se aprende homología racional y basta usar el teorema de coeficientes universales (si es que es necesario) para pasar a la “ortodoxia”.

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

Por cierto:

Un hecho que muestra cierta “irracionalidad” 😉 en la actitud de Wildberger es cuando enseña el producto libre de grupos, es decir; bajo sus ideas todos estamos felices con el hecho de que sea recursivamente construíble, pero Wildberger es a mi parecer vago con el concepto y casi no da ejemplos, dudo que ignore cosas como que existen grupos finitamente generados que no pueden ser recursivamente presentados entre otras cosas, no creo que tenga algo interesante que decir sobre estas cosas salvo ignorarlas.

Aún entre los objetos que viven en lo recursivamente construible, entre lo númerable y la lógica de primer orden hay especies más exóticas que los reales, por ejemplo grupos libres o funciones de Ackermann.

El problema es que el niega a los reales por contraintutivos, sin embargo, cosas que él acepta tienen propiedades aún más difíciles de imaginar, me viene a la mente el concepto de “punto genérico” en geometría algebraica.

¿Es más contraintuitivo un número real que un punto genérico?
¿Tiene sentido la pregunta?
¿Importa saber la respuesta?

Me atrevo a decir no a todas esas preguntas. Los lectores de Francis decidirán.

Pedro MascarosPedro Mascaros

😀
Me alegra un montón, Ramiro, que seas también seguidor de Wildberger.

La contradicción más elemental de nuestro constructivista profesor, es que la misma simetría que él niega , necesaria para poder dar propiedades a objetos no construibles a partir de otros construibles, la usa sin sonrojo cuando le es necesaria para sus fines.

Pero sus cursos son una delicia. “I’m Norman Wildberger. Thanks for listening”

Nota: Francis no le quería dar publicidad, y vamos al final a montar un club de fans 😉

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

¡Pedro! :) La alegría es recíproca, que gusto encontrar en usted alguien que aprecia los videos de Wildberger.

Es sumamente delicado recomendar a Wildberger, aunque yo lo hago, creo que si se miran sus contenidos con la misma medida de escepticismo y crítica sana con la que se debe mirar todo no debería haber ningún problema. Al contrario, se transforma en una experiencia intensa y que vale la pena experimentar.

Incluso es un ejercicio interesante para el pensamiento crítico. Comento mi experiencia al compartir sus videos con amigos

– Un aspecto grave: Alguien se preguntaba si realmente es consistente lo que hace. Es decir; Wildberger no tiene una postura concreta sobre cual es su sistema axiomático o si va a usar otro tipo de lógica, topos o lo que sea que busque. Ser no constructivista no es sólo negar el axioma de elección y adoptar ZF + negar elección, hay formas de hacerlo y es lógico que alguien se pregunte eso pues una vez fijada postura hay que probar consistencia.

Y hay una forma de demostrar que ZF + (No elección) NO es el esquema de Wildberger y son sus lecciones de álgebra lineal. Pues en el sistema mencionado hay espacios vectoriales sin base y además existen espacios vectoriales con bases de diferente cardinalidad. Por otro lado Wildberger discute bases y no parece preocuparle lo anterior. Además de que en esa lógica Q admite clausuras algebraicas no isomorfas, que seguro algo tienen de patologico y dan una idea de lo aterrador que es pensar así, sin la noción de módulo libre ( teorema de Serre-Swann ) ¿Cómo podría alguien dar una definición razonable de haz vectorial? y lo que eso implica ¿Puedo definir campos vectoriales, espinores etc.? Moraleja: Negar los números reales no es tan fácil como ignorarlos, la razón que los excluya tendrá consecuencias.

– Interesante: Mis amigos hacen geometría algebraica y en particular se preguntaban que tanto se afecta la teoría de números y su rama al negar los reales. Esa pregunta es muy buena.

Porque da la impresión que no hay esperanza, ni sentido en hacer una teoría de extensiones de cuerpos. ¿Cómo definir extensión simple?

Es decir: La teoría de extensiones de campos es totalmente vacua D:

En fin. Es un debate super interesante, se podrían escribir libros. Lo importante es reflexionar sobre lo sorprendente que es el hecho de que algo exista y no pueda ser construido y sobre todo:

Lo bien adaptados que parecemos estar los humanos y la naturaleza a esa premisa.

Muchos saludos Pedro

Pedro MascarósPedro Mascarós

Yo creo que nos adaptamos a lo no construible porque tenemos un gran apego a la equidad y simetría; si a partir de n, puedo demostrar n+1, entonces no tenemos reparos en ir al infinito y más allá. Y sobre todo porque como es lógico, anteponemos los resultados a nuestra intuición, y si no que nos lo digan a los físicos, que si hay que patear las matemáticas para que cuadre con la naturaleza, se patea.

La horma de nuestro zapato la hemos encontrado al querer recoger todo el infinito; nos ha dado cosas maravillosas, pero a un precio duro, como la definición de clase en teoría de conjuntos, o el axioma de elección…si no pongo el axioma tengo subconjuntos incomparables, si lo pongo, soy incapaz de dar una buena ordenación al conjunto tal como digo que tiene axiomáticamente ….todo esto haría que alguien sensato rechazara el infinito en acto…pero la ciencia no va de sensatez, va de aventura, de riesgo y de conocer todo lo que nos sobrepase.

Los motivos por los que Wildberger no termina nunca en tener una base, un fundamento adecuado (ni siquiera en su serie math fundations) son, a mi entender, dos:
1) Por que se empeña en ir contra las matemáticas actuales, y todo lo piensa y razona en función de las matemáticas actuales construidas sobre los reales. Cuando lo que debería de hacer es empezar a construir desde los racionales lentamente y de la forma que estos números exigen. ¿No dice él que los matemáticos se alejaron de los racionales porque los reales daban resultados fáciles, pero sin fundamento, y no por que estuviera agotada esa vía? Pues que la agote…pero él sabe que si hiciera las cosas bien, moriría de viejo antes de conseguir nada notable…y así no se llega a la gloria.

2) Está solo. ES imposible abarcar tanta matemática tú solo; necesitaría un montón de gente joven interesada en seguir el camino de los racionales hasta el final, lo cual no tiene nada de malo; sería muy bonito que los humanos tuviéramos matemáticas desde cualquier vía medianamente interesante.

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

Pedro:

Totalmente de acuerdo con cada palabra que escribe estimado Pedro. Especialmente creo que el punto 2) es muy cierto, tal vez si tuviera muchos matemáticos jóvenes algo podría hacer.

Humildemente quisiera resaltar un tercer punto (Ya anticipado por usted): Simplicidad, Dicen que la ambición suprema de las mentes extraordinarias es la simplicidad, esa que tenían magos como Cervantes en la literatura, Feynman en la Física o Grothendieck en Matemáticas. Si los reales dan resultados simples, creo que ya es suficiente con ello para quedárnoslos.

Para mi el beneficio de esta discusión es claro: Volver a pensar en conceptos “obvios” (No digo que sea el caso con Wildberger). Ideas de toda la vida pueden dar sorpresas, en los círculos elitistas de Matemáticos se discuten hoy en día cosas como la relevancia de la estructura aditiva contra la multiplicativa en algún anillo, que ha tenido revuelo por el tema de la conjetura abc o el campo de un elemento.

Quien sabe. Tal vez algo grande se esconde en lo mas simple, no está nunca por más reflexionar en lo básico… para ganar claridad (y con ella simplicidad 😉 )

Francisco R. Villatoro

Pepón, la abreviatura oficial DRAE de “antes de la era común” (la abreviatura oficiosa es “a. c.” que se usa a veces por analogía con “a. C.”, que el DRAE acepta, pero no recomienda).

GroovyGroovy

En un sentido fuerte es cierto que los babilonios no conocían la trigonometría pero en un sentido débil egipcios y babilonios poseían conocimientos embrionarios de trigonometría. Este es un debate abierto dado que los babilonios fueron astrónomos y elaboraron registros detallados de la salida y puesta de las estrellas, movimiento de los planetas y eclipses solares y lunares. Esto prueba que tenían familiaridad con la distancia angular medida sobre la esfera celeste.

Carl B. Boyer, en su libro “Historia de la matemática” (Alianza Editorial), expresa su admiración por los matemáticos babilonios por sus hallazgos algebraicos. A partir de su análisis de la tablilla Plimpton 322 argumenta que una vez salvadas las necesidades utilitarias aquellos investigadores exploraron la teoría de números y construyeron un embrión de trigonometría. Añade que no existen fuentes egipcias del teorema de Pitágoras mientras que en el periodo babilonio antiguo dicho teorema se usaba con frecuencia.

Aquí entramos en el terreno de la especulación, pero algunas noticias indican que Pitágoras viajó a Arabia, Fenicia, Babilonia e incluso la India. ¿Quiere esto decir que encontró el teorema en su estancia en Babilonia? ¿Fue Pitágoras, a partir de su estancia en Babilonia, el que dio el paso de la trilaterometría a la trigonometría? Sea como fuere, el influjo de los babilonios en la matemática y astronomía moderna es innegable.

PaseantesPaseantes

Francis, no he leído con detenimiento tu artículo, pero déjame comentar que en el libro reciente de Josep Pla i Carrera (un catalán de reconocido prestigio, en mi opinión, en historia de las matemáticas) ya se habla de cierta interpretación trigonométrica. El trozo del libro que comento se puede leer a partir de
https://books.google.es/books?id=Sv8...38;pg=PA249

Antonia de OñateAntonia de Oñate

Querido Francis: La historiografía whig es una interpretación de corte liberal cuya característica fundamental -simplificando mucho- no es el presentismo, sino la creencia en la historia como una línea en progresión ascendente. El presentismo consiste en juzgar el pasado a través del prisma del presente; es un error de primero de carrera y es muy improbable que un historiador de oficio lo cometa -es ridículo, como cualquier anacronismo-. Hay mucho presentismo en obras de poco oficio y menos método, pero eso no tiene nada que ver con la corriente whig de la historiografía; no podría concebir, ni echándole fantasía, que alguien como Trevor-Roper pudiera haber caído en análisis presentistas.
Un abrazo

César Tomé López

Come he comentado en otra parte, estoy escribiendo un artículo sobre la “ciencia” en la época babilónica. No os aburriré con los detalles, pero la conlcusión es que la “ciencia” no existía, en el sentido de una búsqueda sistemática del conocimiento. Y ello, básicamente porque la visión del mundo que tenían estaba mediada fundamentalmente por su visión religiosa. Tanto es así que sus desarrollos astronómicos y matemáticos tienen un fin utilitarista, no abstracto. Usan tablas y procedimientos, no abstracciones o fórmulas.

Si contextualizamos el conocimiento matemático dentro de lo que hoy conocemos como ciencias en general, nos encontramos exactamente con las mismas rutinas en ámbitos como la química o la medicina: tablas y algoritmos. Y los babilonios eran de los avanzados en estas dos materias: sus esmaltes han llegado hasta hoy y los conceptos de diagnóstico y síndrome han llegado hasta hoy. Pero las recetas de los primeros eran recetas y las tablas de enfermedades y síntomas son tablas. No existen evidencias de abstracciones, de establecimiento de causalidades, tan solo tablas de correlaciones.
Por ello atribuir a los babilonios abstracciones como la trigonometría, o el propio concepto de ángulo, es presentista, básicamente porque no existen pruebas que lo corroboren: sumaban, restaban, multiplicaban y dividían, apoyados por un potente sistema sexagesimal. Y lo usaban para registrar datos, mediciones de fincas y posiciones de planetas, en forma de tablas. Y construian tablillas con problemas similares para ilustrar algoritmos, sí, pero no tenían el concepto de algoritmo.
En Babilonia encontramos la prototrigonometría, el protocálculo, el protoálgebra, la protoquímica, la protoingeniería (el tornillo de Árquímedes se usaba como sistema de elevación de agua para regar los Jardines Colgantes), y la protomedicina. Pero no hay abstracción, solo recetas. Contables, no matemáticos.

eonicasys

Hola Francisco soy ingeniero, pero no experto en matemática (sigo aprendiendo), donde encuentro más información de lo que tú mencionas “… Los babilonios usaban tablillas escolares con el enunciado de un problema matemático por una cara y su solución por la otra”
¿Cómo resolvían un problema matemático, pienso que deberían tener una formula o no?, no creo que la deducían, pues sería un problema muy complejo para un simple estudiante de aquella época, es decir alguien si la dedujo, pero los estudiantes solo la aplicaban.
¿Las fórmulas que se muestran en el artículo quien las afirma o donde están, en alguna otra tablilla?

Sobre el contenido
“No existía notación para el cero, usándose un espacio largo” por favor pueden agregar algo como:
tenían el concepto del cero, pero no un símbolo o notación asociado a este, tal vez porque está relacionado con la idea de que si no se cuenta objetos no hay representación simbólica. En notación posicional da significado numérico al cero, los babilonios usaban un espacio largo entre el numero deseado para representar un digito, pero esto genera ambigüedad entre ceros consecutivos y separación entre números por que usaban un espacio corto.

Francisco R. Villatoro

Eonicasys, te recomiendo consultar un libro de historia de la matemática, hay muchos; uno específico de matemáticas babilónicas es Jöran Friberg, “A Remarkable Collection of Babylonian Mathematical Texts,” Springer (2007). Si prefieres artículos sobre esta tablilla hay muchos (busca en Google Scholar).

“¿Cómo resolvían un problema matemático?” El concepto de fórmula es moderno, usaban una “receta” que puedes llamar proto-algoritmo, o proto-fórmula. “¿Las fórmulas (…) donde están?” Hay tablillas con “recetas” escritas en forma de texto.

“¿tenían el concepto del cero?” No, no tenían el concepto moderno de cero como cantidad nula (tampoco el concepto de número negativo). Solo tenían el cero posicional, que existe en todas las civilizaciones cuya notación numérica posicional no incluye símbolos diferentes para las potencias de la base.

GroovyGroovy

Estoy de acuerdo con César Tomé acerca de la habilidad de los babilonios como constructores de la proto-geometría, proto-álgebra, proto-medicina, etc. Pero tengo dudas respecto del paso empírico, formulista, a la abstracción. Siguiendo a Boyer nos encontramos con que una vez superada la fase utilitaria los babilonios exploraron la teoría de números y estudiaron los lados y (quizá) los ángulos de los triángulos mediante las proporciones. A partir de aquí Mansfield y Wilberger entienden que la tablilla Plimpton 322 constituye la primera tabla trigonométrica conocida, una tesis que tiene puntos débiles y que no concita el acuerdo de los historiadores de la matemática. Más allá de la polémica y ciñéndonos a la opinión de Boyer no parece descabellado decir que los babilonios alcanzaron cierto grado de abstracción.

Un siglo después de los hechos aparece en escena Hiparco de Nicea. Según Wikipedia, Hiparco construyó una tabla de cuerdas que equivalía a una moderna tabla de senos. Con la ayuda de dicha tabla pudo fácilmente relacionar los lados y los ángulos de todo triángulo plano. Ahora bien, los triángulos dibujados sobre la superficie de la esfera celeste no son planos, sino esféricos, constituyendo la trigonometría esférica. Para mi sorpresa Wikipedia considera que la tabla de Hiparco fue descubierta por los babilonios (la Plimpton 322) con un siglo de antelación. ¿Entonces, la episteme de Hiparco fue abstracta y la de los babilonios no lo fue?

Otra duda que tengo se refiere al término “pre-helénico”. Tales, Pitágoras y Hiparco no fueron helenos continentales, en realidad pertenecían a la diáspora griega establecida en Anatolia (Turquía) e islas adyacentes, una zona de influencia babilónica y egipcia que poseía un desarrollo cultural notable. Orillar los desarrollos científicos y filosóficos de la Jonia y su zona de influencia calificándolos de “pre-helenos” me parece ambiguo.

GroovyGroovy

Corrijo mi error. Wikipedia dice que la tabla Plimpton 322 es mil años anterior a la tabla de Hiparco, que son diez siglos.

LucianoLuciano

Más allá de que las afirmaciones del matemático australiano sean falsas. ¿Proporciona en su libro algún método según el cual los babilonios hubieran podido (según sus hipótesis) convertir las razones trigonométricas racionales obtenidas en fracciones de círculo?

GroovyGroovy

Hay algunos puntos de esta cuestión que me parecen intrigantes. Lo que llama la atención es el periodo de 10 siglos transcurridos entre la Plimpton 322 y la tabla de Hiparco, un vacío espacio-temporal que abre varias incógnitas que exceden el marco de la ciencia y afecta a las circunstancias políticas y culturales acontecidas en aquel periodo. Establecer en el presente un lazo de unión entre los babilonios y los jonios supone aventurar conjeturas arriesgadas y afrontar las suspicacias de la comunidad matemática historiográfica. No obstante, Wikipedia no se corta un pelo al decir que:

“Sin embargo, la creencia actual, inspirada en un trabajo de los investigadores australianos Daniel Mansfield y Norman Wildberger publicado en Historia Mathematica, revista oficial de la Comisión Internacional de Historia de las Matemáticas, es que en efecto se trata de una tabla trigonométrica más de mil años anterior a la que elaboró el astrónomo griego Hiparco de Nicea (190 a. C.-120 a. C.), considerado el padre de la trigonometría gracias a su Tabla de cuerdas, considerada habitualmente como la tabla trigonométrica más antigua del mundo”.

Este asunto me recuerda a los eventos y lagunas acontecidos entre Aristarco de Samos y Copérnico. Aristarco fue otro jonio, astrónomo brillante, que postuló el modelo heliocéntrico en base a una episteme trigonométrica. Su propuesta fue recibida con hostilidad por sus contemporáneos, a este respecto Wikipedia dice que “es cierto que Aristarco no debió ser el único que creía en su hipótesis pero en los textos antiguos se han borrado los nombres de sus sacrílegos seguidores. Al único al que se recuerda es a Seleuco, un astrónomo babilonio, que vivió un siglo después de Aristarco y que retomó la teoría heliocéntrica con bases argumentadas”.

Seleuco, otro babilonio que sale a escena para proponer en la línea de Aristarco el modelo heliocéntrico. Esto quiere decir que había trasvase de información científica entre Jonia y Babilonia, un hecho que Daniel Mansfield y Norman Wildberger sacan a la luz en 2017. Lo sorprendente no es la ligazón efectuada por estos autores sino que Historia Mathematica recepcione su trabajo, un signo de tolerancia que me parece interesante con independencia de los puntos dudosos que sobrevuelan este tema.

GroovyGroovy

Una reflexión final sobre este tema. Soy bastante escéptico sobre el desarrollo “natural”, lineal, que conduce a la ciencia del pasado al futuro. También descreo de las fórmulas reduccionistas para definir la ciencia, entiendo que la actividad científica tiene una faceta utilitaria que resulta eficaz para mejorar e incrementar el conocimiento de las sociedades humanas. De hecho, la investigación pura solo es posible cuando la sociedad supera la fase utilitaria, pero la superación de esta fase solo es posible gracias a la ciencia, se plantee o no como búsqueda sistemática del conocimiento.

Apelar a la visión religiosa como motivación o anti-movitación de la investigación científica conduce a resultados paradójicos. A partir de la revolución industrial las instancias trascendentales se diluyen y el hueco lo llenan la ciencia industrial, de investigación y comercial. Aquí aparece una deidad humana, no trascendente, cuyo poder se asienta en el conocimiento de las leyes de la naturaleza y el desarrollo de la tecnología.

La versión extrema del humanismo científico conduce al militarismo, es decir, la ciencia orientada al militarismo no tiene por objetivo la búsqueda del conocimiento sino que se maneja como instrumento de ataque y defensa. Si se argumenta que la ciencia militarista mejora el bienestar de los ciudadanos entonces resulta irrelevante discriminar entre la ciencia como búsqueda sistemática de conocimiento y la ciencia como búsqueda sistemática de destrucción.

Por último, la ciencia no siempre avanza de pasado a futuro sino que puede regresar al pasado o atascarse en un presente inmovilista y estéril. Entre Aristarco y Copérnico transcurrieron en torno a 17 siglos. Sabemos que la hostilidad con que fue recibido el heliocentrismo de Aristarco tuvo defensa en el babilonio Seleuco. Entonces, cabe argumentar una tercera vía entre ciencia progresista e involucionista, la ciencia fractalizada en núcleos dispersos de comunidades científicas que habitualmente trasvasan información y que sirven de refugio en tiempo turbulentos.

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