Podcast CB S&R 127: Matemáticas babilónicas y mucho más

Dibujo20170909 ivoox coffee break ep 127 babilonia tabby fast radio bursts

He participado en el episodio 127 del podcast Coffee Break: Señal y Ruido [iVoox, iTunes], titulado “Babilonia, Estrella de Tabby, y Fast Radio Bursts”, 07 Sep 2017. “La tertulia semanal ha repasado las últimas noticias de la actualidad científica.”

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En la foto, de izquierda a derecha, Héctor Socas (@pcoffeebreak), Alberto Aparici @cienciabrujula (por videoconferencia), Héctor Vives-Arias @DarkSapiens, y Francis Villatoro @emulenews (por videoconferencia). “Todos los comentarios vertidos durante la tertulia representan únicamente la opinión de quien los hace… y a veces ni eso. CB:SyR es una colaboración entre el Área de Investigación y la Unidad de Comunicación y Cultura Científica (UC3) del Instituto de Astrofísica de Canarias”.

Se inicia el programa con una rectificación de Héctor sobre materia oscura en el Sistema Solar. Usando la densidad estimada para la Vía Láctea, el total de materia oscura dentro de la órbita de Neptuno suma una masa total similar a la del planeta enano Plutón, pero distribuida en un volumen enorme. Por ello su efecto sobre las órbitas de los planetas es imposible de medir. La masa de la partícula responsable de la materia oscura determina su velocidad y por tanto la cantidad que se puede acumular en el Sol y su entorno. Para partículas WIMP habrá un pequeño exceso, como ilustra el vídeo de Héctor (una simulación simplificada al extremo).

Dibujo20170909 babylonian 322 coffee break ep 127 babilonia tabby fast radio bursts

La tablilla babilónica Plimpton 322 se ha puesto de moda por un artículo que afirma que es una tabla trigonométrica sexagesimal exacta. Sexagesimal significa que se usan números escrito en base 60 (en lugar de base 10). Exacta significa que aparecen números decimales con un número finito de dígitos sexagesimales; en concreto el cociente (a/b)² entre la hipotenusa a y un cateto b, donde a y b son números regulares (que solo tienen como divisores primos 2, 3 y 5); estos números en base 10 no son exactos (tienen representación decimal periódica infinita) ya que 3 no divide a 10 (luego 10/3 = 3,3333…). Por supuesto, entre las ternas pitagóricas hay números que no son regulares (tienen divisores primos como 7, 11, …, que no dividen a 60).

En el podcast discuto de forma acalorada con Alberto sobre la interpretación trigonométrica, claramente presentista, del cociente (a/b)² para una terna pitagórica (a,b,c) tal que a²=b²+c² (dicho cociente se interpreta hoy como la secante al cuadrado del ángulo entre los lados a y b de un triángulo rectángulo). En la discusión Alberto recalca una y otra vez que dichos cocientes son exactos (en notación sexagesimal); la cuestión clave es si son exactos por construcción, o solo por casualidad. Cuando la terna pitagórica primitiva se construye con dos números p>q, primos entre sí, vía a = p²+q², b=2 p q, y c = p² – q², hay 38 fracciones exactas con q<60, de las que 15 aparecen en la tablilla. Por tanto, parece que han sido seleccionadas por construcción. Según los expertos la razón es que se han calculado los cocientes usando tablas de división basadas en inversos de números regulares.

Más información en este blog en “El significado matemático de la tablilla babilónica Plimpton 322″, LCMF, 07 Sep 2017. Aparte de las fuentes clásicas citadas en dicha entrada, hay muchas fuentes más fáciles de descargar con la tabla de las 38 líneas de Price, por ejemplo, Abdulrahman Ali Abdulaziz, “The Plimpton 322 Tablet and the Babylonian Method of Generating Pythagorean Triples,” arXiv:1004.0025 [math.HO] (2010); Anthony Phillips, “The numbers behind Plimpton 322,” arXiv:1109.3814 [math.HO] (2011); entre muchos otros.

Dibujo20170909 tabby dip update wherestheflux com

La estrella de Tabby (KIC 8462852 o estrella de Boyajian) sigue siendo noticia y ayer inició una nueva caída de al menos un 2%. Se siguen publicando hipótesis sobre su comportamiento. Parece que se confirma que su magnitud decae de forma secular (poco a poco a lo largo del tiempo). En el podcast Héctor destaca el artículo de Joshua D. Simon, Benjamin J. Shappee, …, Arne A. Henden, “Where Is the Flux Going? The Long-Term Photometric Variability of Boyajian’s Star,” arXiv:1708.07822 [astro-ph.SR], que analiza ~800 días de fotometría de ASAS-SN y ~4000 días de ASAS, mostrando que el brillo de la estrella lleva decayendo al menos una década. Resultados similares con ~1400 días de Swift, Spitzer y AstroLAB IRIS, pero a varias frecuencias desde el UV al infrarrojo medio se publican en Huan Y. A. Meng, George Rieke, …, Sigfried Vanaverbeke, “Extinction and the Dimming of KIC 8462852,” arXiv:1708.07556 [astro-ph.SR].

Dibujo20170909 ringed planet assing in front of its host star arxiv 1708 04600

La caída secular de brillo de la estrella Tabby aún no tiene explicación, pero parece que se confirma que no debido a algún objeto entre nosotros y la estrella. Este comportamiento secular se superpone a la dinámica propia de la estrella, que parece tener un ciclo de unos ocho años. Sin lugar a dudas la estrella Tabby es cada día más interesante. Por cierto, también hablamos del reciente artículo del grupo de investigación del famoso divulgador colombiano Jorge I. Zuluaga, en concreto, Mario Sucerquia, Jaime A. Alvarado, …, Jorge I. Zuluaga, “Anomalous lightcurves of young tilted exorings,” arXiv:1708.04600 [astro-ph.EP]. Se trata más de una curiosidad que otra cosa, pero la idea de que la dinámica de la estrella puede ser debida a un planeta con anillos es muy sugerente.

Dibujo20170909 distant galaxy sends out 25 high-energy radio bursts phys org

Detectados 15 FRBs provenientes de una misma galaxia (FRB121102 que ya se discutió en el epidosido 95). La noticia vuelve a ser la misma, posible señal alienígena. Observado en 2012 por el radiotelescopio de Arecibo en la dirección de Auriga, en el hemisferio norte, FRB 121102 es una señal muy peculiar. En el verano de 2015 se observaron 10 señales de la misma fuente; en diciembre de 2016 se observaron 6 señales más y en agosto de 2017 aparecen otras 15 más. Desde enero de 2017 parece confirmado que su origen extragaláctico, una galaxia enana situada a unos 3000 millones de años luz de distancia. Todavía no está claro cuál es su fuente, pero podría ser el pequeño núcleo activo de esta galaxia o un magnetar (estrella de neutrones con un intenso campo magnético) en dicha galaxia.

La nueva observación es Vishal Gajjar, Andrew P. V. Siemion, …, Scott Ransom, “FRB 121102: Detection at 4 – 8 GHz band with Breakthrough Listen backend at Green Bank,” The Astronomer’s Telegram (02 Sep 2017) [link]; más información divulgativa en Robert Sanders, “Distant galaxy sends out 15 high-energy radio bursts,” Phys.Org, 30 Aug 2017; Paul Gilster, “New Activity of Repeating FRB 121102,” Centauri Dreams, 31 Aug 2017; la conexión alien, por ejemplo, en Greg Wilford, “Mysterious signals from distant galaxy spark row over whether they could be from aliens,” Independent, 02 Sep 2017. Un artículo reciente sobre las primeras detecciones interferométricas es M. Caleb, C. Flynn, …, V. Venkatraman Krishnan, “The first interferometric detections of Fast Radio Bursts,” MNRAS 468: 3746–3756 (2017), doi: 10.1093/mnras/stx638, arXiv:1703.10173 [astro-ph.HE].

Y esto es todo, amigos. Espero que disfrutes del podcast.


33 Comentarios

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benjaminbenjamin

Hola Francis

Perdon por pedirte esto, pero no se a quien recurrir.

Que libro o PDF puedo leer para ver las ecuaciones algoritmos y fisica sobre la prediccion de la trayectoria de huracanes, se que hay dos grandes modelos el europeo y el americano. pero quiero ver los detalles. Yo curse analisis no lineal entiendo de eso, pero no de meteorologia

Desde ya muchisimas gracias

Francisco R. Villatoro

Benjamin, el libro clásico sobre fluidos geofísicos es Joseph Pedlosky, “Geophysical Fluid Dynamics,” Springer (1992); yo lo estudié cerca del año 2000 y te explica muy bien las ecuaciones a resolver; sobre los métodos numéricos y la asimilación de datos debes consultar un libro de predicción numérica del tiempo meteorológico, hay muchos, uno que me gusta es E. Kalnay, “Atmospheric Modeling, Data Assimilation and Predictability,” Cambridge Univ. Press (2003); las técnicas numéricas más usadas son los métodos espectrales, un libro específico es Martin Ehrendorfer, “Spectral Numerical Weather Prediction Models,” SIAM (2012).

Quizás prefieres un artículo de revisión rápido y breve; te recomiendo el articulo clásico (en el que se basan todos los algoritmos actuales) de André Robert, “A Semi-Lagrangian and Semi-Implicit Numerical Integration Scheme for the Primitive Meteorological Equations,” Journal of the Meteorological Society of Japan. Ser. II 60: 319-325 (1982) http://doi.org/10.2151/jmsj1965.60.1_319 [OA].

Pedro MascarósPedro Mascarós

En referencia a usar solo números racionales los contertulios comentan:
“…Si tomas los cuadrados de las distancias al final, tendrás que hacer una raiz cuadrada de todas formas..”
“…es que te estás dejando un montón de números super útiles”
“… es que se está dejando un montón de senos”

Estamos tan acostumbrados, tan introducidos ya en la recta real, que no nos damos cuenta de que los números reales no existen en la naturaleza ( ver Penrose “El camino a la realidad” o Pontriaguin “Generalización de los números”). Son el resultado de la aritmetización de la naturaleza y extraordinariamente útiles, pero es una ilusión pensar que realmente haces un uso de los números irracionales más allá de su utilidad como meros intermediarios hacia un resultado manejable.

Si el ingeniero o el arquitecto obtienen como resultado final raíz de dos, no lo van a usar, no pueden, usan el racional más cercano, y los puentes se mantienen en pie, y las máquinas funcionan perfectamente.

Los irracionales son un atajo extraordinario y yo no comulgo con Wildberger en su visión extremista, pero desde su punto de vista no se “está dejando números ni senos” porque no los hay , de la misma forma que con las distancias al cuadrado no es necesario después hacer una raíz, son esas distancias las que usarías de forma práctica.

Construir las matemáticas con números racionales es como construirlas sin el cero o conjunto nulo, es posible, pero aun precio de obtener unas matemáticas monstruosas…Dice Wildberger que eso ya no es problema gracias a las computadoras…, bueno, pero también gracias a los irracionales.

kurodo77kurodo77

Yo en esto prefiero la visión finitista: ver todos los conjuntos de objetos no numerables, como ficciones útiles para obtener resultados en los números y objetos que si podemos entender intuitivamente. Los irracionales(ni los complejos, o los hiperreales o las geometrías n-dimensionales o lo que se quiera) no son malos ni buenos en ese aspecto: son simples objetos ficticios que mientras no se demuestre lo contrario(todo sometido a la consistencia de ZFC o la teoría de conjuntos que se utilice en su defecto que en últimas no se puede demostrar del todo) me sirven para obtener resultados que de otro modo serían infumables o incluso imposibles de obtener.
Por ejemplo: de los números naturales puede hablarse sin usar una teoría axiomática o usando la aritmética de peano y pueden demostrarse muchos teoremas usando exclusivamente estos axiomas o sin usar axiomas. Pero no resulta posible demostrar todas las afirmaciones en su seno con solo estos axiomas(bueno, lo sabemos por Godel). Pero esto no significa que no tenga sentido decir que determinadas expresiones sean verdaderas o falsas en los números naturales(semánticamente hablando) y que usando estas ficciones útiles(conjuntos no numerables, el axioma de eleccion con sus consecuencias, etc) no se puedan probar hechos sobre los números naturales tal como el Ultimo Teorema de Fermat.

Sin embargo siempre viene bien un poco de “sobriedad” por decirlo de alguna manera: a mi en ninguna parte cuando era colegial me explicaron cual era la diferencia intuitiva entre naturales, racionales y reales. Y cuando hablo de intuición aquí no me refiero a algo impreciso y poco claro, sino que de naturales y racionales podemos tener una idea intuitiva absolutamente precisa de la que podemos hablar sin teorías axiomáticas pero con los reales es otra cosa y ese es un punto del que solo tienes idea cuando entras en la universidad(y con alguna suerte, y que llegues con el profesor adecuado o el libro adecuado que te lo explique). Estos problemas hasta los algebristas en la edad media y la edad moderna los tenían claros no porque los tuvieran resueltos sino porque en esas épocas se preguntaban incluso que coñazos eran los complejos o los infinitesimos pero en mi caso pase a usar alegremente los reales sin entender que hay una diferencia fundamental al menos intuitivamente entre ellos y los otros números(y si lo entiendes bien y si no te las apañas como puedas y aprendes teoremas así no entiendas una mierda de lo que pasa).
Hay una diferencia al menos en nuestros procesos de pensar entre unos números o conceptos de los que podemos hablar sin teorías axiomáticas y otros números o conceptos que si hablamos de ellos sin teorías axiomáticas podemos llegar a contradicciones.
Tiene todo el sentido del mundo crearse una intuición matemática precisa sobre racionales, o naturales o geometrías tridimensionales u otros conceptos de los que pueda hablarse sin teorías axiomáticas(y saber que es así) y luego saber que hay otros conceptos matemáticos con los que solo apoyándome en una teoría axiomática puedo tener un conocimiento preciso(sin que yo diga que no se puede “intuir” algo en los reales o complejos, o infinitesimos, pero allí es forzosamente impreciso lo que intuyamos a no ser que se demuestre partiendo de unos axiomas prefijados).

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

kurodo77

No entiendo cuál es exactamente el punto en tu comentario.

Los números naturales son (por definición) el monoide que construyen los axiomas de Peano cualquier otro sistema de primer orden que los defina es necesariamente igual al de Peano.

Una opinión muy debatible: El concepto de número es por lo menos igual o más primitivo que el concepto mismo de conjunto, por tanto no hay una explicación de lo que es un número, el sistema de Peano no resuelve ningún problema metafísico, sólo formaliza una intuición que podemos usar para hacer matemáticas.

Un comentario fuera de lugar:

La pregunta fundamental es ¿Qué es un número? una respuesta ingenua es que es nuestra forma de definir lo que entendemos por irreducible, una respuesta más astuta es que es un concepto que ayuda a formular el concepto de simetría y con ello el de geometría, dicho de mala forma se puede mencionar que la geometría algebraica estudia la geometría que emerge al remplazar el concepto de número. Cuando cambias el anillo sobre el que haces geometría puedes caer en un universo donde los objetos se comportan de forma muy diferente a lo que observamos.

La gente que hace geometría algebraica suele decir que los números reales son un milagro, más precisamente lo que es un verdadero milagro es que un campo sea arquimediano. Es bastante atípico 😉

Una respuesta que le gustaría a Francis es que el sistema de Peano viene a formalizar el concepto de recursión (o de sistema recursivamente enumerable), hay una relación muy profunda entre computabilidad y números. No por casualidad un número real es no computable con probabilidad uno :) tampoco fueron descubiertos los números surreales estudiando teoría de juegos y muchas cosas más.

¿Qué es un número?

kurodo77kurodo77

Los números naturales no requieren una teoría axiomática que los defina(este era el principio básico de Hilbert y las personas que trabajaron en la fundamentación de la matemática). Es cierto que los axiomas de peano “construyen” de algún modo los naturales pero los axiomas de Peano también son verdaderos para números no estándar(por ejemplo, busca aritmética no estandar). Y nadie en su sano juicio dirá que un número no estándar es un natural.
Otra cosa: es cierto que todas las afirmaciones de Peano son ciertas en los números naturales pero no es cierto que todas las afirmaciones sobre los números naturales puedan demostrarse en Peano(que lo sabemos por Godel). Y sin embargo en los naturales tiene sentido decir(por ejemplo del Último Teorema de Fermat) que una afirmación es verdadera o falsa con independencia de los argumentos que las demuestran: si es cierto el Último Teorema de Fermat no existe ningún n mayor que 2 tal que x^n+y^n=z^n y si no es cierto pues en alguna parte habrá algún n que incumpla la regla, pero yo entiendo lo que significa eso sin ambiguedades y sin necesidad de tener la demostración acerca del hecho. A eso me refiero cuando digo que de los naturales se puede hablar sin necesidad de tener una teoría axiomática. Y la única demostración conocida de este hecho involucra una axiomática muchísimo más potente que la aritmética de Peano.
En cambio en los reales veamos: ¿tiene sentido decir que la suma es conmutativa en ellos sin teorías axiomáticas? De pi+e no sabemos por ejemplo ni siquiera si es racional o irracional por lo que mucho menos vamos a saber si es igual a e+pi a no ser que sea con el “truco” de los axiomas de cuerpo que se cumplen para las cortaduras de Dedekind que viene eso de la teoría de conjuntos(que es una teoría axiomatica).

Postdata: Realmente no importa ¿que es un número? pienso yo. “Número” es una etiqueta para algo. Lo importante suelen ser las relaciones lógicas entre las etiquetas: por ejemplo la relación lógica entre los conceptos “suma”, “número”, “igualdad”. Por ejemplo: la suma de dos números me da otro número o no importa el orden de los números en una suma. Es decir: número es una etiqueta que se relaciona con otras etiquetas de determinada forma.

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

Kurodo77:

Que yo sepa, siempre requieres el sistema axiomático de Peano para construir a los enteros, tal vez me equioco, si es así por favor postea un paper donde los construyan sin un modelo que sea isomorfo a la construcción de Peano.

De nuevo: que yo sepa Hilbert usaba fuertemente la axiomática de Peano, tanto así que propone su primer problema justo porque creía que era suficiente dar la axiomática para tener un sistema completo.

¿Los axiomas de Peano se cumplen para los números no estándar?
Es completamente falso y muestra que no tienes idea alguna de lo que es un número no-estándar, hay como mil maneras de demostrarte que son falsas tus afirmaciones, te presento tres.

Mira la definición básica
https://en.wikipedia.org/wiki/Non-st...rd_analysis

1) Si el sisema de Peano se vale para todos los números no estándar entonces son numerables. Contradicción

2) Los números no estándar tienen un subcampo isomorfo a los reales, simplemente toma 1.5 y si el sistema de Peano se vale como dices ¿Cuál es el sucesor de 1.5?

3) Toma un número no estándar w, supongamos que es cierto que se valen las reglas de Peano y tomemos el sucesor z, sea e infinitésimo, entonces w+e también lo es, preguntamos ¿Es z infinitésimo? supongamos que no, considera el triángulo (w,w+e,z) que es equilátero por ser el campo no arquimediano calcula la longitud de sus lados y nota la contradicción, entonces z es infinitésimo, usamos el razonamiento anterior para formar una sucesión de elementos (los sucesores de peano de cada z_n) que están en cualquier vecindad de w en particular en (w) contradicción otra vez ¿Vez por qué?

3) El el filtro de Frechét toma

Y que quede claro que para definir un número hiperreal necesitas comenzar por los reales y los naturales, es decir ya usaste de nuevo el sistema de Peano.

“Y sin embargo en los naturales tiene sentido decir(por ejemplo del Último Teorema de Fermat) que una afirmación es verdadera o falsa con independencia de los argumentos que las demuestran”

Ese párrafo no tiene ningún sentido.

“Una aritmética mucho más potente que la de Peano”
No sé lo que quieres decir con “más potente” pero es un sinsentido demostrar una afirmación sobre Peano usando una “aritmética más potente” es inválido en todo modelo.
¿Sabes lo que es el principio de transferencia? ¿Sabes que lo que planteas es falaz? Pista: principio de explosión

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

Lamento si voy a desviar los comentarios hacia algo tremendamente especulativo, sin sentido alguno y rayando en la estupidez (Yo mismo considero que es una pérdida de tiempo hablar de esto)

Blasfemando muchísimo: Yo no entiendo la discusión intuicionismo contra su negación, para mi los fundamentos de las matemáticas tienen como principio tratar de entender el mundo en que vivimos o reflejar la intuición que tenemos de él… al menos en un principio.

En ese sentido lo más “natural” es usar números enteros. ¿Puede existir un universo físico basado cuya geometría no sea la de los números reales? (un poco a lo Tegmark), si tal es el caso, entonces es muy extraño que existamos en un mundo donde los números enteros sean “lo natural”. Porque en geometría algebraica lo natural es tener geometrías no arquimedianas o con propiedades mucho más extrañas.Los números naturales son muy singulares e Incluso todos los otros intentos humanos de alejarse de la teoría de conjuntos como la teoría de modelos o la teoría de categorías tienen teoremas de unicidad que muestran lo “especiales” que son los naturales.

Una verguenza el comentario, lo hice porque esta clase de cosas suelen ser muy excitantes filosóficamente hablando. Aunque poco dejan

Pedro MascarósPedro Mascarós

Hola Ramiro. La comparación que haces de los números con la geometría algebraica me ha fascinado, en mi escaso bagaje matemático nunca se me había ocurrido.

A mi siempre me ha parecido que para nosotros lo natural son los enteros, de hecho, ¿como entendemos los números decimales, si no usando enteros para definir las partes de otro entero? Pero cuando contamos en la vida real, estamos identificando siempre cosas vagas, no bien definidas… y el concepto abstracto y puro de número no parece alcanzable por nosotros, es decir, piensas en la unicidad, y dices “un árbol” pero entonces te das cuenta que no tienes una buena definición de árbol…un árbol no merece ser numerado por que no es algo realmente bien definido ¿hay algo en la naturaleza realmente unívoco y no ambiguo?

Hablando de rectas no arquimidianas, me fascinan los complejos y más de una vez me he roto la cabeza colocáncolos en la recta real, los infinitos complejos positivos entre el cero y el uno, y los infinitos negativos entre el cero y el menos uno…y piensas “qué patético soy que no alcanzo a ver esto”

Dos reflexiones fantasiosas:
1) Imagínate que una recta tuviera, no dos sentidos como tiene por definición, + y -, si no cuatro (añado dos signos más inventados que serían ~ y ¬) a saber +, – , ~ y ¬ tal que ~*~= – y ¬*¬ = – es decir, efectivamente, ~1=i y ¬1 = -i ; los número complejos representarían esos dos sentidos extraños y nuevos. Muy divertido de desarrollar ¡sobre todo en física!

2) Imagínate que los números enteros son en realidad tipos de variables en el código en que está programado nuestro universo….

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

Es un mundo Fascinante Pedro, mil gracias por tú interés :) Te obsequio una experiencia que espero sea de vuestro agrado.

Siempre es difícil comenzar con geometría algebraica porque estos géometras no empiezan como en geometría diferencial, quiero decir; no consideran encajes de curvas para medir distancias, o calcular homología ni definen vectores como “flechas” (y obviamente tampoco como derivaciones).

La razón es que la geometría algebraica trata de “estados de la materia y del espacio mucho más densos” 😉 pasa que si comienzas a encajar curvas en una variedad con la topología de zariski es muy seguro que su imagen sea densa D: luego va a ser difícil que distingas entre dos de ellas ¡O que las distingas del propio espacio!

Los géometras algebraicos consideran que es mejor usar “gavillas”, intuitivamente se fijan en las funciones que puedes definir en el espacio, ¿Por qué? piensa en una variedad diferenciable, dar coordenadas a un abierto es equivalente (hasta isotopía) a conocer las funciones escalares sobre ese abierto, ¡Cómo si el espacio fuera el estado de vacío de ciertos campos escalares!; si luego miras gavillas espinoriales, además de coordenadas sabrás de la estructura espín, si ahora miras gavillas tensoriales sabrás sobre cuervatura y así.

Saber el contenido de campos del espacio es equivalente a conocer al propio espacio :) y saber el contenido de campos de más alto espín da cada vez más y más información sobre las propiedades del mismo :)

Un saludo Pedro.

Pedro MascarósPedro Mascarós

Gracias, Ramiro, eres un maestro.
Ojalá cuando termines los estudios tengas un trabajo creativo, y lo disfrutes día a día por que te lo mereces.

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

Pedro:

Comentarios como los suyos así como tenerle a usted para conversar, aún en este modo limitado da sentido a mi vida.

Un gran placer haberle conocido.

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

Hay una manifestación profundísima de la simplicidad y belleza de lo que Grothendieck entendía por “geometría” y es: la definición de esquema.

La geometría debe reflejar en cierto modo lo que intuimos sobre lo que es el espacio y luego extender la definición para que abarque todo lo razonable posible. Antes que geometría lo más elemental que tenemos son los números enteros y ciertamente la geometría diferencial (por decir algo) no exhibe una naturaleza “elemental”. La definición de Grothendieck es tan buena que todo lo razonable (todo esquema) puede ser identificado con un morfismo que lo inyecta en SPEC(Z), el hecho de que SPEC(Z) sea objeto terminal en la categoría de esquemas es un suceso extraordinario que exhibe como la definición captura la noción de “espacio” de manera tan espectacular que aplicándola al objeto básico podemos entender y unificar todas las ideas sobre lo que es geometría que ha tenido la humanidad. Obviamente hasta cierto punto, ahora hay stacks, motivos y otras cosas.

Lo que quiero recalcar es que cuando alguien tiene una idea genuinamente fantástica esta se muestra simple y detona de inmediato una nueva era.

Tal vez si Wildberger avanzara y llegara a estudiar con detalle al menos las propiedades básicas de los esquemas sabría que hasta esa geometría real que rechaza tiene una razón de existir como manifestación de un fenómeno superior, simple y cuyo punto de partida son los números enteros :)

GroovyGroovy

Esto recuerda a la polémica habida entre Kronecker y Cantor. El primero abogaba por la construcción de una matemática fundada en los números enteros y combinaciones finitas de ellos. Cantor se mostraba reluctante a ese respecto, entendía que anulaba otras líneas de investigación que resultaban prometedoras. Si bien Hilbert tomó partido a favor de Cantor, la investigación de Gödel prueba que el formalismo tiene una base endeble, sus teoremas de incompletud indican que no existe un sistema adecuado de axiomas para la aritmética porque sería inconsistente. Gödel “relativiza” la lógica aritmética. Esto quiere decir que el debate sobre los fundamentos últimos de la matemática sigue abierto. La historia y el desarrollo de la ciencia exhiben movimientos de acordeón, avances y retrocesos, como si hubiese terceras vías que esperan investigación.

Ramiro Hum-SahRamiro Hum-Sah

Groovy:

Creo entender cual es tu punto (recordar el debate Kronecker-Cantor), sólo que hay tener un poco de cuidado al usar las palabras. Sí que hay un sistema “adecuado” de axiomas para la aritmética y es el de Peano. No es “endeble” es tan bueno como puede llegar a ser cualquier modelo axiomático que contenga a la artimética.

Muchas de estas preguntas confusas se resuelven mejor en otros contextos, la teoría de categorías es un buen punto de partida para entender mejor cómo es la situación actual.

kurodo77kurodo77

Mira Ramiro Husan que confundes cosas. Trajiste el análisis no estandar(que no tiene nada que ver con lo que hablo de las aritméticas no estandar). Prueba: los modelos no estándar de la aritmética de Peano los probó Thoralf Skolem en 1935. Mira tu mismo: https://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%...t%C3%A1ndar
Lo demás de lo me has dicho se cae por maduro.
Y por supuesto: si para tí no tiene sentido decir que el último teorema de Fermat es verdadero o falso independientemente de los argumentos que demuestran una cosa u otra pues vale…… Supongo que hay siempre quien requiere de una teoría axiomática para decir que la suma en los naturales es conmutativa(lo cual me parece un sinsentido)…..

Pedro MascarósPedro Mascarós

Kurodo77
“Y por supuesto: si para tí no tiene sentido decir que el último teorema de Fermat es verdadero o falso independientemente de los argumentos que demuestran una cosa u otra pues vale……”

Cuando se trata de conjuntos infinitos, no puedes decir que será verdadero o falso con toda seguridad, no puedes excluir una tercera posibilidad, la de que sea al mismo tiempo verdadero o falso, o ninguna de las dos, es decir, que puedas demostrar las dos cosas y por lo tanto, el que sea idemostrable.

kurodo77kurodo77

Tiene todo el sentido del mundo decir que si no hay un N que cumpla la condición del Último Teorema de Fermat pues el teorema será cierto(así no sepa cual es el caso) como que si hay un N que la cumpla el Último Teorema de Fermat es falso. No se necesita una demostración para entender que significa: o se da un caso o se da el otro, pero no los dos casos. Si se dieran los dos casos nuestra teoría axiomática(la que hubiéramos escogido para probar el teorema) sería contradictoria y tendríamos que cambiar nuestra teoría axiomatica(en una teoría contradictoria cualquier afirmación es cierta). Y si es indemostrable en una teoría axiomática eso no significa que sea indemostrable para todas las teorías axiomáticas que pueden definir a los naturales sino que simplemente tendríamos que seguir buscando la verdad o falsedad del acerto usando otra teoría axiomática hasta ver si podemos probar lo uno o lo otro.
Si no existe un N y al mismo tiempo existe un N algo estoy haciendo mal. Y por ejemplo en el caso del Último Teorema de Fermat para probar que tal N no existe, se necesito utilizar ZFC a toda potencia. Te doy un punto: no tenemos completa seguridad de que ZFC sea consistente, Podría probarse que es falso también. Pero si se llega a probar que el Último Teorema de Fermat es verdadero y falso a la vez en ZFC el problema es de ZFC no de los naturales.
Es decir: el Último Teorema de Fermat es cierto o falso independientemente de que teoría axiomática(aritmética de Peano, de robinson, de presburger, ZFC, Kripke- platek, Quine o lo que sea) utilice yo para definir los naturales. Si en alguna de estás teorías se pudieran probar las dos cosas a la vez o no se pudiera demostrar ninguna, el problema es de los axiomas de la teoría que yo elegí y no de los naturales.

Pedro MascarosPedro Mascaros

Kurodo77, la hipótesis del continuo: Está demostrado que existe, y también está demostrado que no existe, y las dos demostraciones son correctas. No hay nada raro ahí. Simplemente significa que no es demostrable, por lo tanto no puedes afirmar que es o verdadero o falso. El tercero excluso no sirve para infinitos.

kurodo77kurodo77

La hipótesis del continuo es diferente al UTF. Sale de una teoría que por fuerza tengo que axiomatizar(la teoría de conjuntos) si no obtengo contradicciones. A diferencia que cualquier afirmación precisa de los naturales(de los que antes de Peano, por ejemplo Gauss y Euler hablaban divinamente sin necesidad de teorías axiomáticas). Así que hablamos de cosas distintas. De todas formas hablar del significado del UTF no es hablar de conjuntos infinitos en absoluto.
Que existan afirmaciones indemostrables no significa que el tercio excluso no es válido para conjuntos infinitos. La prueba del teorema de incompletitud de Godel es completamente finitista y no involucra conjuntos infinitos en lo absoluto. Entonces puesto que Godel prueba la incompletitud con argumentos finitistas(se obtiene una afirmación no demostrable a través de procedimientos finitos) ¿el tercio excluso no sirve para conjuntos finitos tampoco?.
Negar el tercio excluso es renunciar a la doble negación(fácil darse cuenta). y de acuerdo a la wiki a las pruebas de reducción al absurdo(aunque ahí si no meto las manos en el fuego, que eso no lo he mirado).
https://es.wikipedia.org/wiki/Princi...ro_excluido

Pedro MascarósPedro Mascarós

” Entonces puesto que Godel prueba la incompletitud con argumentos finitistas(se obtiene una afirmación no demostrable a través de procedimientos finitos) ¿el tercio excluso no sirve para conjuntos finitos tampoco?.”

Vale, no sabes de qué estás hablando ¿verdad?. Si me estabas tomando el pelo, enhorabuena, lo has conseguido.
Fin de la conversación.

kurodo77kurodo77

Yo debí haber parado la conversación después de que escribiste que el UTF podía ser demostrado “al mismo tiempo verdadero o falso”. Efectivamente: fin de la conversación.

kurodo77kurodo77

Otra cosa: esto no involucra para su entendimiento el concepto de infinito .
Veamos: si existe el N que haría que el ültimo teorema de Fermat fuera falso, no es infinito. Es un N al que puedo llegar contando de uno en uno. No infinito.
Por otro lado si no existe ese N entender lo que significa eso tampoco involucra infinito: significa que por mucho que yo siga adentrándome(sumando de 1 en1) en los naturales jamás encontrare tal N. O sea que N no es igual a 3, N no es igual a 4, a cinco, etc. Y cualquier N que yo construya mayor que 2 no hará que x^N+ y^N=z^N.
Es decir: que no exista un N significa que para cualquier N que yo construya se cumple el UTF y ese N que yo construyo siempre es finito. No necesito el infinito para entender esto.

GroovyGroovy

La demostración o refutación matemática de un teorema, conjetura y hipótesis suele guiarse por un sistema axiomático. Es obvio que sin unas reglas apriorísticas (axiomas) no se puede demostrar o refutar el conjunto de inferencias que dimanan de esos axiomas. La aportación de Gödel hay que entenderla, en mi falible opinión, desde la perspectiva de la lógica de la aritmética, en este sentido lo que hizo Gödel fue demostrar que el mismo enunciado de la consistencia del propio sistema axiomático debe ser una de esas proposiciones indecidibles.

Es decir, la cláusula de restricción que impone Gödel afecta al andamiaje lógico que subyace a los teoremas bien construidos, esto es, que dentro de un sistema axiomático no es posible probar la consistencia o falsedad de los teoremas. Introduce el concepto de indecidible.

Esto no quiere decir que un teorema sea por fuerza inconsistente o que cualquier teorema sea falso y verdadero al mismo tiempo, lo que infringe el principio de no contradicción. Indecidible no es sinónimo de inconsistente, de lo contrario la matemática quedaría bloqueada por completo. Por eso se dice que la lógica godeliana es metalógica.

La posición de Gödel respecto de la hipótesis del continuo es que esta hipótesis está bien construida, no es falsa, mientras que Cohen argumentó que no es verdadera. Esto quiere decir que tanto Gödel como Cohen coinciden en afirmar que el sistema lógico que subyace a la hipótesis del continuo se atiene al principio de indecidibilidad.

kurodo77kurodo77

Estoy de acuerdo en casi todo. Cuando se da la indecibilidad(como en el caso de la hipótesis del continuo), pues lo que hay que preguntarse es si tomamos esa afirmación o su negación como un axioma. Así como ocurre con el axioma de elección(que es objeto de mayor debate ya que este si se usa como un axioma efectivo de la teoría de conjuntos). No es que uno vaya a declarar el sistema axiomático inconsistente ni nada parecido.
La solución actual hasta donde yo se es considerar que existen diferentes interpretaciones(o modelos) de la palabra “conjunto”(de la teoría de conjuntos): hay una teoría de conjuntos con la afirmación del axioma de elección, otra con la negación….Es decir: de acuerdo a la elección que yo haga tengo una interpretación de la palabra “conjunto” y cosas diferentes serán verdaderas para esas distintas interpretaciones.

GroovyGroovy

Ramiro, me refiero a los teoremas de incompletud de Gödel, no saques las cosas de contexto. Siguiendo a Wikipedia:

“El primer teorema de incompletitud afirma que, bajo ciertas condiciones, ninguna teoría matemática formal capaz de describir los números naturales y la aritmética con suficiente expresividad, es a la vez consistente y completa. Es decir, si los axiomas de dicha teoría no se contradicen entre sí, entonces existen enunciados que no pueden probarse ni refutarse a partir de ellos”.

Tal vez la palabra “inadecuado” es incorrecta, tienes razón, pero en ningún momento escribí que los axiomas de Peano son inadecuados. Dicho de otra manera, los teoremas de incompletitud de Gödel son uno de los grandes avances de la lógica matemática, y supusieron —según la mayoría de la comunidad matemática— una respuesta negativa al segundo problema de Hilbert. Más allá de eso reconozco mi incapacidad para conjeturar sobre las últimas novedades de la teoría de categorías.

Pedro MascarósPedro Mascarós

Hola Groovy, la crítica de Ramiro es correcta. Aunque primero de todo, gracias por tus aportaciones históricas que se agradecen mucho.

La frase de la Wikipedia hay que entenderla correctamente. En una teoría consistente, los axiomas, no solo son los verdaderos y adecuados (los axiomas son así por definición), si no que también están completos…lo que no es completa es la teoría ¿por qué? porque al ser consistente, yo siempre voy a poder encontrar enunciados en los que voy a abusar del hecho de que los axiomas no se pueden demostrar todos dentro de la teoría ¿entonces son incompletos o inadecuados? No, por que los axiomas no tienen por qué ser demostrables dentro de la teoría, son axiomas, y los axiomas son verdades que se ajustan a la intuición o como se hace últimamente en la matemática moderna, cualquier cosa que me asegure consistencia.

¿Por qué fue entonces un varapalo? Por que hubiera sido ideal que una teoría consistente pudiera demostrar sus propios axiomas, claro, sería fantástico, pero si los axiomas pueden demostrarse, entonces la teoría sufre de redundancias e inconsistencias,

Siempre se trata mal este tema y se intenta llevar al límite para decir que todo lo demostrado puede ser falso o verdadero, y se mezcla mucho con problemas derivados del infinito donde la subjetividad coge mayor importancia.

También se intenta extrapolar Gödel a la física para intentar demostrar que es imposible obtener una descripción autoconsistente de todo, pero es un error. Imaginate que tuviéramos una explicación autoconsistente, por ejemplo, que demostráramos que el universo tiene una linea temporal de más infinito a menos infinito, y que todos los procesos que se observan en él tuvieran una descripción cíclica perfectamente consistente y explicada. Esta teoría estaría terminada, si bien, siempre podría alguien rebuscar una propiedad no trivial, que dependiera del propio hecho de la existencia de este espacio tiempo, y exigirnos su descripción…no se podría, ya que el propio espacio tiempo sería nuestro axioma.

GroovyGroovy

Mascarós, totalmente de acuerdo con tu argumentación. El segundo problema de Hilbert pretende probar la compatibilidad/consistencia de los axiomas lógicos de la aritmética, de modo que partiendo de esos axiomas se pruebe que siguiendo un número finito de pasos lógicos nunca se llega a resultados contradictorios. Gödel demuestra que en cualquier sistema simbólico formal es posible construir una proposición que no se puede probar ni refutar en el mismo sistema, esto supone la falsación del segundo problema hilbertiano. Para sorpresa de la comunidad matemática, Gödel demostró que el mismo enunciado de la consistencia del propio sistema axiomático debe ser una de esas proposiciones indecidibles.

Dices que “siempre se trata mal este tema y se intenta llevar al límite para decir que todo lo demostrado puede ser falso o verdadero, y se mezcla mucho con problemas derivados del infinito donde la subjetividad coge mayor importancia”.

Estoy de acuerdo con tu opinión. No obstante, en mi crítica al modelo de quarks y a la física de partículas de alta energía me parece percibir una tendencia “infinitista” en el sentido de que se cree que la fragmentación de la materia es ilimitada. Y no lo es, la materia no se puede fraccionar al infinito.

Por último, me gustaría leer (con ánimo pacífico y constructivo) la réplica de Ramiro a las objeciones formuladas por kurodo 77.

GroovyGroovy

kurodo 77, respondo por aquí abajo. Si la memoria no me falla, el axioma de elección fue un recurso para salvar cierta inconsistencia en la axiomática de la teoría de conjuntos. Eso sí, el axioma de elección cobra sentido cuando los conjuntos son finitos. Gödel argumentó que si la axiomática de la teoría de conjuntos es consistente sin el axioma de elección también es consistente si lo incluye. El hecho es que la refutación del axioma de elección ocasiona problemas que la mayoría de la comunidad matemática prefiere evitar.

Coincido contigo que la elección de los axiomas queda al albedrío del matemático, esto es así desde la época de Euclides y Eudoxo. Lo importante de este asunto es que el contraste de opiniones enriquece el debate. Seguiré con atención tus exposiciones.

Pedro MascarósPedro Mascarós

Hola Groovy, el axioma de elección, para conjuntos infinitos, evita que tengas subconjuntos no comparables, pero al tenerlo, estás diciendo que tienes una buena ordenación para ese conjunto, lo que no es construible ni obvio. De ahí la discusión entre matemáticos.

kurodo77kurodo77

Hay “problemas”(al menos con nuestra intuición) tanto negando como afirmando el axioma de elección. Búscate la paradoja de Banach-Tarsky por ejemplo para que mires lo que pasa con el axioma de elección. Y con la negación del axioma de elección pues eso de tener espacios vectoriales sin base a mi me chirria un poco, pero me chirria más que existan conjuntos que no se puedan comparar por cardinalidad. Ambos “modelos” tienen sus detalles.

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