La fórmula de Ramanujan que ya conocía Gauss

Dibujo20171113 ramanujan formula gauss

Algunas fórmulas matemáticas tienen una belleza especial. Destacan las que combinan números populares, como e y π, con fracciones continuas. La figura muestra una bella fórmula de Ramanujan, que como muchas de sus fórmulas ya era conocida en el siglo XIX. Esta fracción continua que incluye los números transcendentes e y π era conocida por Gauss; eso sí, cual zorra que borra con su rabo sus huellas, la escribió de forma general con un número arbitrario x en lugar de π (lo que quizás resta belleza a la fórmula para algunos).

Para los físicos y los químicos esta fórmula también tiene una belleza especial. La sucesión de números enteros que aparecen en ella, en concreto 2, 6, 10, 14, …, sigue la fórmula a_n=2\,(2\,n-1). Estos números corresponden al número de electrones que caben en cada uno de los niveles energéticos de los átomos; en el nivel s caben 2 electrones, en el p caben 6, en el d caben 10, en el f caben 14, etc. Por tanto, la fórmula de Ramanujan que conocía Gauss es triplemente bella, para matemáticos, físicos y químicos; por supuesto, lo bello es bello, y punto.

Por cierto, las fracciones continuas se conocen desde el siglo VI, pero se volvieron populares en el siglo XVII gracias a Fermat y Wallis. En el siglo XIX llegaron a ser muy populares y todos los grandes matemáticos, como Gauss mismo, abusaron de ellas en sus cálculos numéricos. Por ello en el siglo XX se usaron para aproximar muchas funciones en los primeros ordenadores electrónicos. Yo debo confesor que he publicado artículos científicos en los que uso fracciones continuas para aproximar de forma muy eficiente secuencias de funciones de Bessel evaluadas en el mismo punto para su uso en ciertos problemas de ingeniería con simetría cilíndrica. Por supuesto, usé una modificación de Lentz del método de Steed, pero discutirla nos llevaría a los cerros de Úbeda.

Al grano, el miembro izquierdo de la fórmula de Ramanujan es tanh (π/2), la función tangente hiperbólica evaluada en el número π/2. La fracción continua de esta función fue publicada en 1812 por Gauss, en concreto

\displaystyle\tanh(x)=\frac{x}{1+\displaystyle\frac{x^2}{3+\displaystyle\frac{x^2}{5+\ldots}}}.

Como puedes comprobar fácilmente,

\displaystyle\frac{e^x -1}{e^x+1} = \tanh(x/2) = \frac{x}{2 + \displaystyle\frac{x^2}{6 + \displaystyle\frac{x^2}{10 + \ldots}}}.

Sustituyendo x=\pi se obtiene la famosa fórmula de Ramanujan. Te animo a jugar con fracciones continuas, como le gustaba jugar a Ramanujan, usando el comando ContinuedFraction del software Mathematica, o vía la web Wolfram Alpha. Seguro que disfrutarás (como yo mismo hacía cuando las descubrí en mi adolescencia, ¡qué tiempos aquellos!).

Por cierto, esta entrada participa en la edición 8.6 del Carnaval Matemático, cuyo anfitrión es, en esta ocasión, Matemático Soriano. “¿Quieres participar y unirte a la fiesta bloguera? Tan solo tienes que escribir una entrada [que] esté relacionada [con] las matemáticas y publicarla en tu blog. [Puedes] publicar tu entrada desde el 6 de diciembre hasta el 14 (ambos días inclusive).” Puedes anunciarlo con un tuit que incluya el enlace a tu artículo, la etiqueta #CarnaMat86 y mención a las cuentas @Mates_Soriano y @CarnaMat.


6 Comentarios

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SuzudoSuzudo

¿alguien se ha molestado en intentar lo mismo utilizando Tau en lugar de Pi?
¿sale algo bonito también?

(a ver si me acuerdo de probar con el Wolfram Alpha ummm)

SuzudoSuzudo

Por cierto existen herramientas libres como maxima (con wxMaxima y gnu TexMacs) y muchas otras

OciordiaOciordia

Yo me encontré con las maravillosas fracciones continuas en la asignatura de 2º de Teleco “Síntesis de redes”. Al sintetizar dipolos LC mediante redes en T con bobinas y condensadores se podía desarrollar en fracción continua la función de impedancia/admitancia y !voilá¡ los coeficientes de la fracción continua eran los valores de los componentes LC. Una preciosidad que me sirvió para ver una aplicación práctica de las fracciones continuas.
Saludos!

JavierJavier

El método de Steed es peligroso para las funciones de Bessel (si no son las modificadas). Para otra ocasión te recomiendo el algoritmo de Lentz-Thompson. :-)

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